圆锥曲线的基本概念和性质
本章主要从圆锥曲线的概念和性质入手，分为焦三角形的周长，面积中位线等结论，离心率的求值和范围的求解，
一椭圆与双曲线
知识点一：轴长问题
1、将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，1e 与2e 的大小关系为（ ）
2、将离心率为e 1的椭圆C 1的长轴长a 和短轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，1e 与2e 的大小关系为（ ） 牛刀小试
将椭圆1C :
的实半轴长和虚半轴长同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的椭圆2C ，则（ ） A ．e 1＞e 2B ．e 1＜e 2C ．e 1≤e 2D ．e 1≥e 2
知识点二：焦三角
1.椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为.
122
tan 2F PF S b γ
∆=,P PF F y c PF F PF PF S =∠=∆2121sin 21
2
1.2122||||1cos b PF PF θ
=+ 2.双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2
F PF S b co γ
∆=.
P PF F y c PF F PF PF S =∠=∆2121sin 21
2
1。2122||||1cos b PF PF θ
=- 上述三个面积公式可以相互转换，求解未知值。
例1. 已知点P 为双曲线
的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、
右焦点，若
，且△PF 1F 2的面积为2ac （c 为双曲
线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） A ．
+1 B ．
+1 C ．
+1 D ．
+1
19
162
2=+y x
例2．已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长
轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭
圆C 的离心率e=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
牛刀小试：
1.已知P 是椭圆
上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（ ） A. B. C. D.
2.已知椭圆
的左、右焦点分别是、，点P 在椭圆上. 若P 、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到轴的距离为（ ）
A.
B. C. D. 或
参考答案：1.A 2.D
知识点三：斜率问题
1
43212222
22
2122
22
21=++=±=±=±=±=μλμλ在曲线上，，其中、为切点
其中、关于原点对称
其中、中点
为其中、M B O A O M O a
b k k P a
b
k k A A a
b K k AB M a b k k OB OA l OP MA MA OM AB
例1．（2015•兴国县一模）椭圆ax 2
+by 2
=1与直线y=1﹣x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
，则的值为（ ）
19
252
2=+y x 1F 2F 2
1
|
|||2121=
⋅PF PF 21PF F 333233319
162
2=+y x 1F 2F 1F 2F x 59779494
977
9
A ．
B ．
C ．
D ．
例2．（2015•西安校级二模）椭圆C ：
=1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上
且直线PA 2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
牛刀小试：
1．（2015•兴国县一模）椭圆ax 2
+by 2
=1与直线y=1﹣2x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
，则的值为（ ）
2．（2015•西安校级二模）椭圆C ：=1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且
直线PA 2的斜率的取值范围是[﹣3，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．13,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
知识点四：共线问题
已知点F 是离心率为e 的圆锥曲线C 的焦点，过F 的弦AB 与C 的焦点所在的轴的夹角为θ，且(0)AF FB λλ=> ,则有1cos ((0,))12
e λπ
θθλ-=
∈+
例1.双曲线22
221x y a b
-=，AB 过右焦点F 交双曲线于A ，B ，若直线AB 4AF FB = ,则双曲线离心率e= 。
例2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，离心率为e =过右焦点且斜率为(0)k k >的直
线与C 相交于A 、B 两点，3AF FB =
,则k=。
牛刀小试
双曲线22
221x y a b
-=，AB 过右焦点F 交双曲线于A ，B ，若直线AB 4AF FB = ,
则双曲线离心率e= 。
知识点五：张角问题
椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
