与三角形有关的线段主讲：蓝豆三角形的概念和稳定性三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形【知识点】ca bAB CCDAABEDFCB CD三角形的三要素：顶点：点A,B,C是三角形的顶点边：AB,BC,CA是三角形的边，有时也用a,b,c来表示角：∠A,∠B,∠C是相邻两边组成的角，是三角形的内角，简称三角形的角. 【知识点】ca bAB C三角形的表示：“三角形”用符号“△”表示顶点为A,B,C的三角形可表示为“△ABC”读作“三角形ABC”【知识点】ca bAB C【例题】下图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（）.A B C D【答案】C【例题】如图，有个三角形，用符号表示这些三角形 为：， 其中以AD 为边的三角形有； ∠ADE 是的一个内角. 6 △ABD , △ABE , △ABC , △ADE , △ADC , △AEC △ABD , △ADE , △ADC △ADE , △ADC【知识点】三角形的稳定性：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全固定了三角形的稳定性在生活、生产中应用比较广泛.如：大桥钢架、高压电线杆的支架等【例题】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是（）.A.两点之间线段最短B.长方形的对称性C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性【答案】D DA EF B C三角形的分类【知识点】按角分类：钝角三角形：有一个角是钝角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （三条边都相等的三角形是等边三角形）三边都不相等的三角形：三角形 【知识点】三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形【例题】下列说法中，正确的有（）.（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）等边三角形一定是等腰三角形；（3）有两边相等的三角形一定是等腰三角形A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B三角形三边关系三角形两边的和大于第三边如图所示的三角形【知识点】ca bAB C 则有：a+b>c a+c>b b+c>a重点提示：“三角形两边的和大于第三边”的依据是“两点之间，线段最短”三角形两边的差小于第三边如图所示的三角形【知识点】ca bAB C 则有：a−b<c a−c<b b−c<a【知识点】三边关系的应用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（1）判断是否可以组成三角形（2）确定三角形第三边的取值范围若两边为m,n（m≥n），则第三边长x的取值范围是m−n<x<m+n【例题】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）.A.2cm,4cm,10cmB.2cm,4cm.6cmC.4cm,7cm,10cmD.2cm,5cm,2cm【答案】C【例题】有两根钢筋，长度是30cm和50cm，另取一根钢筋，使这三根钢筋可焊接成一个三角形钢架，那么第三根钢筋的长度在什么范围内？【答案】第三根钢筋的长度在20cm到80cm之间.【例题】不等边三角形的三边长为整数a,b,c，且a−32=−b−22，求它的三边长.【答案】3,2,4三角形三边关系（重点、难点）【知识点】方法总结1.三角形的构成问题：只需要将两条较短的线段的和与最长的线段相比较即可2.确定第三边的取值范围：两边之差的绝对值<第三边<两边之和三角形的高、中线与角平分线三角形的高：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.三角形的三条高相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心.【知识点】AB C 符号语言：（1）AD是△ABC的高；（2）AD是△ABC中BC边上的高（3）AD⊥BC于点D（4）∠ADC=90°，∠ADB=90°或∠ADC=∠ADB=90°三角形的中线：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.【知识点】AB COF EAB C重点提示：它把三角形分成两个面积相等的小三角形. 符号语言：（1）AD是△ABC的中线（2）AD是△ABC的BC边上的中线（3）BD=DC=12BC （4）点D是BC边的中点【知识点】三角形的角平分线：如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD 叫做△ABC的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的内心.符号语言：（1）AD是△ABC的角平分线（2）AD平分∠BAC，交BC于点D∠BAC（3）∠BAD=∠CAD=12【知识点】三种线段应用1.三角形的高：线段垂直、角度相等、直角三角形2.三角形的中线：线段相等、面积相等3.三角形的角平分线：角度相等【例题】如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E是AC上两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是（）.A.BE是△ABD的中线B.BD是△BCE的角平分线C.∠1=∠2=∠3D.BC是△ABE的高【答案】C CBDE 123【例题】如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC边上的高，则BD的长为cm.【答案】60【例题】如图，在△ABC 中，D,E 分别为BC,AD 的中点，且△ABC 的面积为4，则图中阴影部分的面积是 .【答案】1 ED AB C。
与三角形有关的线段（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
2．三角形的分类 (1)按角分类：
直角三角形三角形 锐角三角形
斜三角形 钝角三角形
要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类：
要点诠释： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
专题01 与三角形有关的线段考点类型知识串讲（一）三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
（二）三角形的分类三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：（三）三角形的稳定性三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
（四）三角形的三边关系三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边（1）三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b（五）三角形的相关线段（1）①高线概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
②高线性质：利用两个锐角互余（等量代换）；利用等面积法求线段长度（2）①中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
②中线性质：线段中点性质求线段相等；三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形（3）①角平分线概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线②角平分线性质：角度相等求解角度考点训练考点1：三角形的识别与相关概念典例1：（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是_____；在△ACD中，∠C所对的边是_____．【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；在△AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________．【变式2】（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________，读作___________．其中，顶点A所对的边为___________还可用___________表示；顶点B所对的边为___________还可用___________表示；顶点C所对的边为___________还可用___________表示．【变式3】（2021·八年级课前预习）由不在同一直线上的三条线段_______________所组成的图形叫做三角形．如图，线段_______ 、______、______是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母abc来表示，a＝________、b＝________、c＝________，点A、点B、点C是三角形的_______，________、______、________是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作_______．考点2：三角形的个数问题典例2：（2022·全国·八年级专题练习）观察图形规律：（1）图①中一共有________个三角形，图②中共有________个三角形，图③中共有________个三角形．（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有________个三角形．【变式1】（2021秋·江西宜春·八年级上高中学校考期中）如图，以∠B为内角的三角形有_______个【变式2】（2022秋·八年级课时练习）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．（4）△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于_______．【变式3】（2020秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩落在n个三角形内，则n的值为________．考点3：三角形的分类典例3：（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，那么△ABC是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ）【变式1】（2022秋·八年级课时练习）在ΔABC中，若∠A:∠B:∠C=3:5:7，则该三角形是_________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）【变式2】（2022秋·八年级课时练习）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）【变式3】（2020·全国·七年级假期作业）观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．锐角三角形_______，直角三角形________，钝角三角形________．考点4：三角形的三边关系典例4：（2021秋·甘肃武威·八年级校考阶段练习）若a ，b ，c 是△ABC 的三边的长，则化简|a ―b ―c|+|b ―c ―a|+|a +b ―c|=________．【变式1】（2023春·七年级课时练习）若等腰三角形的两边的长分别是5cm 、7cm ，则它的周长为___________cm ．【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知三角形三边长分别为2，9，x ，若x 为偶数，则这样的三角形有___________个．【变式3】（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足(a ―1)2+=0，则c 的取值范围是______．考点5：三角形三边关系的应用典例5：（2022秋·浙江·八年级专题练习）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长x 是不等式组x ―1⩽23x +25x ―7>2x +13的正整数解．则第三边的长为：______．【变式1】（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 都在格点上．其中到四边形ABCD 四个顶点距离之和最小的点是_________．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，AB =700米．一个行人P 在马路MN 上行走，当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于______米．【变式3】（2021秋·黑龙江佳木斯·八年级校联考期中）如图，填空：由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD>____________，PD+CD>____________．将不等式左边､右边分别相加，得AB+AD+PD+CD>__________，即AB+AC>_________________．考点6：与三角形高线有关的计算问题典例6：（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校考期中）如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，EF ⊥BC 于点F．若S=24，BD = 4 ，则EF 长为___________．△ABC【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ADF中，点B，C分别在AD，AF上，DC与BF交于点E，若DE:CE=2:1，S△DEF=6，S△DBE=4，则△ABC的面积=______．【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，则∠DAE的度数为___________．【变式3】（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC边上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.若S△ABC=PE+PF=______．考点7：三角形稳定性典例7：（2022秋·云南昆明·八年级云大附中校考期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 _____根木条．【变式2】（2019·全国·八年级统考假期作业）下列图中哪些具有稳定性？________．【变式3】（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的_____（选填“稳定性”或“不稳定性”）．考点8：与三角形角平分线有关的计算问题典例8：（2023春·七年级课时练习）如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30cm，则AB+AC=______cm．【变式1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，BC=12 cm，则BM=CM=______cm；（2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC=______；若∠BAC=106°，则∠DAC=______；（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是______三角形．【变式2】（2022春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列说法：①线段AG是△ABE的角平分线；②线段AE是△ABG的边BG上的高；③BG是△ABD的中线；④△ABG与△DBG的面积相等；⑤∠1+∠ACF=90°．其中正确的有______ （填序号）．【变式3】（2020秋·八年级课时练习）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为_________．考点9：与三角形中线有关的周长、面积问题典例9：（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．【变式1】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，S△ABD=S△ACD，已知AB=8cm，AC=5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是________cm．【变式2】（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BE是△ABC的中线，点D是BC边上一点，BD＝2CD，BE、AD交于点F，若△ABC的面积为24，则S△BDF﹣S△AEF等于_____．【变式3】（2022春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知在ΔABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且SΔBEF=4cm2，则SΔABC的值为______cm2．考点10：利用网格求三角形的面积典例10：（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）如图所示的正方形网格，A、B、C、D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC ______S△ABD．填“>”、“=”或“<”）【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF都是是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC与△DEF的面积比为__________．【变式2】（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）已知点A2，2，B5，6，C 4，8，那么S△ABC=__________．【变式3】（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为a，b，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是______．（用a，b的代数式表示）同步过关一、单选题1．（2022秋·全国·八年级阶段练习）如图，线段BD是△ABC高的图形是（）A．B．C．D．2．（2022春·云南保山·七年级统考期中）如图，AB⊥BC于点B，AC⊥CD于点C，连接AD．若AD＝8，BC＝6，则AC的长可能为（）．A．5B．6C．7D．93．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）下列说法中，正确的个数有（）①三角形具有稳定性；②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；③三角形的角平分线是射线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内；A．2B．3C．4D．54．（2023春·七年级课时练习）图中，以DE为边的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（）A．①B．②C．③D．④6．（2022秋·广东珠海·八年级校考期中）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）A．5B．6C．7D．87．（2022春·福建漳州·七年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD=DC，BE=ECD．DE是△ABC的中线8．（2022秋·八年级课时练习）如图，有下列说法：①若∠1=∠3，AD//BC，则BD是∠ABC的平分线；②若AD//BC，则∠1=∠2=∠3；③若∠1=∠3，则AD//BC；④若∠C+∠3+∠4=180∘，则AD//BC．其中正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．49．（2023春·全国·八年级专题练习）若a、b、c+|b-a-c|=().A．2b-2c B．2a C．2(a+b―c)D．2a-2c10．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是（）A．28B．32C．30D．29二、填空题11．（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）超重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了______________．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段______是△ABC中BC边上的高．13．（2023·全国·八年级专题练习）已知三角形的三边长均为偶数，其中两边长分别为6和8，则第三边长为________．14．（2021秋·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期中）在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD 的面积等于6，则△ABC的面积等于____．15．（2019·上海·七年级阶段练习）△ABC的三边长为a，b，c，且a，b b2―6b+9=0.则c的取值范围是_______.16．（2020春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）一个三角形的三边长都是整数，其中两条边的长度分别为3和8，第三边长为奇数，那么三角形的周长是__________．三、解答题17．（2022秋·全国·八年级专题练习）请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明．已知：如图，△ABC．求证：AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC．18．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移，使点C移到点C'的位置.(1)请画出△A'B'C'；(2)连接A A'、B B'，则这两条线段的关系是______；(3)在方格纸中，画出△ABC的中线BD和高CE．19．（2021春·河北石家庄·七年级石家庄市第十九中学校考期末）（1）如图1，直线a∥直线b，点A、D 在直线a上，点B、C在直线b上，连接AB、AC、BD、DC，得△ABC和△BDC，△ABC的面积_______△BDC 的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）．（2）如图2，已知△ABC，过点A有一条线段，将△ABC的面积平分，且交BC于点D，则BDBC=．（3）如图3，已知四边形ABCD，请过点D作一条线段DG将四边形ABCD面积平分．20．（2023春·七年级单元测试）△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A'B'C'，若B的对应点B'的坐标是(―2,2)．(1)在图中画出△A'B'C'；(2)此次平移可看作将△ABC向____平移了______个单位长度，再向____平移了______个单位长度得△A'B' C'；(3)△ABC的面积为______．21．（2023·陕西西安·校考三模）已知：a、b、c满足(a―2+|c―=0求：(1)a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．22．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）在下列网格中建立平面直角坐标系，如图所示，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知A（1，1），B（3，4）和C（4，2）．(1)在图中标出点A，B，C；(2)将点C向下平移3个单位到点D，将点A先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点E，在图中标出点D和点E；(3)求△EBD的面积．23．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）若不等式组2x―a<1x―2b>―3的解集是―1<x<3，（1）求代数式(a+1)(b―1)的值；（2）若a，b，c为某三角形的三边长，试求|c―a―b|+|c―3|的值．24．（2022秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分,求该三角形的腰长和底边的长.。
