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知识讲解1.三角形的分类：1)按边分类:2）按角分类：2.三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的_____________.（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的_____的线段叫做三角形的中线. （3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的_______和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角：✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的_____.✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于__________.✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其_______度数；③求一个三角形中各角之间的关系。
（2）三角形的外角✓定义：三角形一边与另一边_____组成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角和为_____。
✓性质：①三角形的一个外角等于与它____相邻的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于与它______相邻的任何一个内角.4．三角形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和______第三边，任意两边之差_____于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和____最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.考点/易错点1关于三角形的高的注意事项：（1）三角形的高线是一条线段；（2）锐角三角形的三条高都在三角形______，三条高的交点也在三角形____部；钝角三角形有两条高落在三角形的_____部，一条在三角形_____部，三条高所在直线交于三角形___一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。
中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.三角形的定义：三条线段首尾顺次连接组成的图形。
2.三角形的分类：①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。
等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。
3.三角形的中线、高线、角平分线：①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。
平分三角形的面积。
②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。
得到两个直角三角形。
③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。
4.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
专项练习题1．（2022•大庆）下列说法不正确的是（）A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【分析】根据直角三角形概念可判断A，C，由等腰三角形，等边三角形定义可判断B，D．【解答】解：∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；故选：A．2．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，故选：D．3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（）A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，故选：A．5．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，故选：D．6．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD 的面积是．【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC 的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：2．7．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【解答】解：A、∵3+3＝6，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＜10，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D、∵4+5＝9，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C．8．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．观察选项，只有选项A符合题意，故选：A．9．（2022•南通）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．10．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，．解得＜a＜3．所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集．∴a只能取2．故选：B．11．（2022•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．5 C．10 D．11【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，∴6﹣4＜a＜6+4，∴2＜a＜10，∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；故选：B．12．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．13．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、3+4＞5，能构成三角形；C、4+5＜10，不能构成三角形；D、2+6＜9，不能构成三角形．故选：B．14．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，∴第三边的长度可能是：6cm．故选：C．15．（2022•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为2km，8km，3km，故选：A．。
与三角形有关的线段知识点总结
知识点总结：
1、线段的概念：线段是指两端都有端点，不可延伸的直线。
线段可以用两个大写字母表示，如线段AB。
2、线段的基本性质：
(1)线段是有限长的，可以进行度量。
(2)线段有两个端点，分别是A和B。
(3)线段具有对称性，对称轴为线段的中垂线。
3、线段的中垂线：线段的中垂线是指经过线段两端点，且距离相等的点的集合。
中垂线是线段的对称轴。
4、线段的基本作图：可以作出线段的垂直平分线和线段的中点。
重难点精析：
1、线段的交点问题：两条线段相交，会形成一个交点。
这个交点可以用来进行几何证明和作图。
需要注意的是，交点的位置是唯一的，不会因为不同的作图而产生变化。
2、线段的垂直平分线问题：线段的垂直平分线是指经过线段两端点，且垂直于这条线段的直线。
垂直平分线的性质是解决线段问题的重要工具。
例如，可以利用垂直平分线的性质证明两个三角形全等。
3、线段的中垂线问题：线段的中垂线是线段的对称轴，也是线段上所有点的均匀分布。
可以利用中垂线的性质证明三角形全等、求线段长度等。
与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类 (1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三： 【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ， 在△ODC 中有OD+OC ＞CD ， 在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA 即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三： 【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A ．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。
三角形（一）——与三角形有关的线段第一部分：知识梳理知识点一、三角形的定义不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
1、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
2、三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b 表示,顶点A所对的边BC可用a表示.知识点二、三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边.三角形的任意两边之差小于第三边。
知识点三、三角形的高从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点知识点四、三角形的中线连接三角形的与对边的线段，叫做三角形的中线三角的三条中线相交于一点拓展：三角形中线分三角形面积相等的两个三角形知识点五、三角形的角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点提示：1、三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部；2、而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
知识点六、三角形的稳定性三角形具有稳定性第二部分：例题精讲例题1.一个等腰三角形的周长为32cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6cm.求各边长.例题2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例题3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例题4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例题5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
第一课时与三角形有关的线段知识点一：三角形及其相关概念1．三角形的概念：如图：由不在___________上的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形．用符号“△”表示．即可表示为△ABC．2．三角形的要素与关系：（1）三角形的边：组成三角形的___________叫做三角形的边．（2）三角形的角：三角形的两条边组成三角形的内角，简称三角形的角．（3）三角形的顶点：三角形两边的___________是三角形的顶点．（4）邻边与邻角、对边与对角：①邻边与邻角：AB与BC构成∠B，则AB与BC是∠B的邻边．∠B是AB和BC的邻角．同理：AB与AC是___________的邻边．∠A是___________和___________的邻角．AC与BC是___________的邻边．∠C是___________和___________的邻角．②对边与对角：不参与构成的角的边是角的对边．∠A的对边是___________．BC的对角是___________．∠B的对边是___________．AC的对角是___________．∠C的对边是___________．AB的对角是___________．特别提示：在三角形中角越大，它的对边越长．反之边越长，对角越大．【类型一：三角形的数量判断】1．如图，图中有个三角形，的对边是．2．如图，以AB为边的三角形的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有对．知识点二：三角形的分类1．按边是否相等分类：2．按内角大小分类：特别提示：等腰三角形相等的两边叫做三角形的腰，另一边叫做三角形的底．【类型一：三角形分类的熟悉】4．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）A．甲分法错误，乙分法正确B．甲分法正确，乙分法错误C．甲、乙两种分法均正确D．甲、乙两种分法均错误5．如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【类型二：三角形形状的判断】6．下列图形中，是直角三角形的是（）A．B．C．D．7．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能知识点三：三角形的三边关系：1．内容：三角形中，任意两边之和___________第三边，任意两边之差___________第三边．2．符号语言：如图，△ABC中，有：通过移项即可证明任意两边之差小于第三边．特别提示：考题中常用两边之差＜第三边＜两边之和解题．【类型一：判断三边能否构成三角形】9．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（ ）A．3，4，5B．5，7，7C．5，7，12D．6，8，10 10．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．4cm，6cm，10cm B．2cm，5cm，8cmC．3cm，4cm，5cm D．5cm，7cm，13cm【类型二：根据三边关系求值或求取值范围】11．在△ABC中，，，，a的值可能是（）A．1B．3C．5D．712．已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A．8B．7C．5D．613．四根长度分别为的木条，以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（）A．B．C．D．14．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）A．10B．11C．12D．1315．三角形三边为3，5，x，则x的范围是．16．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是．17．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣6|＋（b﹣2）2＝0，c为偶数，则c ＝．【类型三：根据三边关系化简】18．已知三角形的三边长为4、x、11，化简．19．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为．20．已知的三边长分别为3、5、a，化简的结果为．知识点四：三角形的高、中线、角平分线：1．高线：（1）定义如图，从三角形的一个顶点作它对边所在直线的___________，顶点和垂足之间的___________线段___________叫做三角形这条边上的高线．BD是△ABC的高BD___________AC（2）三角形高线的画法：如下图图①图②图③（3）垂心：由（2）中图可知，三角形都有___________条高，且三条高都交于同一点．这个交点叫做三角形的___________．由图①可知，锐角三角形的三条高与垂心均在三角形___________．由图②可知，直角三角形有两条高是直角三角形的边，垂心在三角形___________．由图③可知，钝角三角形有两条高在三角形外，垂心也在三角形___________．特别提示：可以通过高线与垂心所在位置判断三角形的形状．【类型一：高线的理解】21．如图，，，下列说法正确的是（）A．是的高B．是的高C．是的高D．是的高22．如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（ ）A．2条B．3条C．4条D．5条23．数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）．A．B．C．D．24．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高【类型二：利用高线与垂心所在位置判断三角形形状】25．有两条高在三角形外部的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定26．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【类型三：等面积法求线段长度】27．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD ＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是．28．如图，在中，的面积与的面积相等，于点E，于点F，，则．2．中线：（1）定义：如图，连接三角形的一个顶点与它所对的边的___________得到的___________线段___________叫做三角形的中线．AM是三角形的中线M是BC的___________BM___________CM=___________BC（2）中线的性质：①中线平分三角形的___________．即：②中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差．即：（3）重心：三角形的三条中线都在三角形的内部，且他们交于同一点，这个点叫做三角形的重心．【类型一：中线的理解】29．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．30．如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 31．如图，是的中线，，则的长为（）A．B．C．D．【类型二：中线与面积的计算】32．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形33．如图，点、分别是边、的中点，的面积等于，则的面积为（）A．B．C．D．34．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为．【类型三：中线与周长的计算】35．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）A．16B．18C．20D．2236．如图，中，是边上的中线，，，那么和的周长的差是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定37．如图，AD是△ABC的中线．若△ABD的周长比△ACD的周长长6cm，则AB-AC= cm．3．角平分线：（1）定义：如图．三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的___________是三角形的角平分线．AD是三角形的角平分线∠1___________∠2．特别提示：三角形的角平分线是线段，角的角平分线是射线．（2）内心：三角形的三角角平分线交于一点，这一点叫做三角形的___________．【类型一：角平分线认识理解】38．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，则（ ）A．∠1=∠BAC B．∠1=∠ABC C．∠1=∠BAC D．∠1=∠ABC 39．如图，在中，，则下列说法中，正确的是（ ）A．是的中线B．是的角平分线C．是的高线D．是的中线【类型二：角平分线有关的计算】40．如图，点D是的角平分线上的一点，过点D作，．(1)若，，求的度数．(2)是的角平分线吗？请说明理由．知识点五：三角形的稳定性如图三角形的三条边确定，则这个三角形的___________和___________就会确定．这就是三角形的稳定性．特别提示：稳定性是三角形的特有性质，只有三角形具有．【类型一：三角形稳定性的实际应用】41．下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．42．下列事物所运用的原理不属于三角形稳定性的是（）A．长方形门框的斜拉条B．埃及金字塔C．三角形房架D．学校的电动伸缩大门43．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）A．两点之间线段最短B．三角形具有稳定性C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短一、选择题（10题）44．下列判断错误的是（）A．三角形的三条高的交点在三角形内B．三角形的三条中线交于三角形内一点C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点45．若一个三角形的两边长分别为4，8，则它的第三边的长可能是（）A．3B．4C．10D．1246．如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（）A．17B．23C．25D．2847．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A．0根B．1根C．2根D．3根48．长度为3，7，的三条线段构成三角形，则的值可能是（）A．3B．4C．8D．1249．在中，作出边上的高，正确的是（）A．B．C．D．50．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（）A．点一定在直线上B．点一定在直线外C．点一定在线段上D．点一定在线段外51．已知一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的长为整数，则该三角形的周长可能为（）A．7B．8C．13D．1452．如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E、F为AB上的一点,CF⊥AD于H，下列判断正确的有()A．AD是△ABE的角平分线B．BE是△ABD边AD上的中线C．AH为△ABC的角平分线D．CH为△ACD边AD上的高53．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（）①的面积的面积②；③④．A．①②③④B．①②④C．①②③D．③④一、填空题（6题）54．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有．55．已知三角形的三边长为4、x、11，化简．56．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为cm．57．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有个．58．已知a，b，c是的三边长，满足，c为奇数，则．59．△ABC的三边分别是a，b，c，化简|a﹣b＋c|＋|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|的结果为．一、解答题（4题）60．先化简，再求值．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a-b-c|-|b-c+a|，当a=2、c=3时，求出代数式的值．61．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为20，求△BCD的周长．62．已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．63．若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．参考答案：1． 3 ，【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数，再由对边的定义进行填空即可．【详解】解：图中的三角形有：△ABC、△ACD、△ABD共3个．∠B的对边是AD和AC．故答案为：①3；②AD和AC.【点睛】本题主要考查了数三角形的个数和角对边的定义，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识进行求解.2．D【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．【详解】解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．3．3【分析】找到以为边的三角形，即可得解．【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有与、与、与共3对．故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键．4．A【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【详解】按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．∴甲分法错误，乙分法正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．根据三角形角、边的特点，按边或按角分类．5．B【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．6．B【详解】略7．B【分析】根据三角形按角分类的方法进行判断即可．【详解】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角，且第三个角也小于90度，由此判定为锐角三角形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．B【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．【详解】从题中可知，只能看到一个角是钝角．所以这个三角形为钝角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用．9．C【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：A.，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；B. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意；C. ，∴不能组成三角形，故选项错误，符合题意；D. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．10．C【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．【详解】解：A.4+6=10，不能构成三角形，故此选项不符合题意；B.2+5＜8，不能构成三角形，故此选项不符合题意；C.3+4＞5，能构成三角形，符合题意；D.5+7＜13，不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．11．B【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【详解】解：，即，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解三角形三边关系是解本题的关键．12．D【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵x为整数，∴x的最大值为6．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．13．B【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】∵只有的三条线段能组成三角形，∴周长可能是：3+5+7=.故选B.【点睛】题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键. 14．D【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5-2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为6+2+5=13．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．15．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出不等式，进行求解即可．【详解】解：∵三角形三边为3，5，x，故答案为：．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．16．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据两边之和大于第三边，即可得答案．【详解】解：在△ABC中，若∠C为直角，AC＝3，BC＝4，则；∵∠C为钝角，两边之和大于第三边，∴5<AB<3+4，∴5<AB<7，故答案为：5<AB<7．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形两边之和大于第三边，解题的关键是掌握∠C为钝角这关键点．17．6【分析】先根据两个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a、b的值，再根据三角形三边之间的关系求出c的范围，在这个范周内取偶数值即可【详解】∵|a﹣6|+（b﹣2）2＝0，∴a﹣6＝0，b﹣2＝0，解得a＝6，b＝2，根据三角形的三边关系，得6﹣2＜c＜6+2，即：4＜c＜8，又∵c为偶数，∴c＝6．故答案是：6．【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，及三角形三边之间的关系．要求学生要会用三角形三边之间关系求第三边的长．熟练掌握以上知识是解题的关键．18．11【分析】根据三角形三边关系可求出x的取值范围，即可求解．【详解】∵三角形的三边为4、x、11，∴11-4＜x＜11+4，∴，∴，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了构成三角形三边大小的关系和去绝对值的知识，利用三角形三边关系求出x的取值范围是解答本题的关键．19．b+c﹣a【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，去掉绝对值号后合并同类项即可．【详解】∵a、b、c是△ABC的三边，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，∴|a﹣b+c|+|a﹣c﹣b|﹣|b﹣c﹣a|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣c﹣b）+（b﹣c﹣a）＝a﹣b+c﹣a+c+b+b﹣c﹣a＝b+c﹣a．故答案为：b+c﹣a．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，绝对值的应用，合并同类项，解题的关键是根据三边关系来判定绝对值内式子的正负．20．##【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．【详解】解：∵的三边长分别为3、5、a，∴，解得：，故．．故答案为：．【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算的应用，三角形的三边关系的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．21．B【分析】根据三角形的高的定义判断即可．【详解】解：观察图像可知：是的高，故A，C，D错误，B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的高，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键．22．B【详解】试题分析：根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为△ABC的高的条数．解：可以作为△ABC的高的有AC，BC，CD，共3条.故选B.点睛：本题主要考查三角形的高. 正确理解三角形的高线是解题的关键.23．A【分析】满足两个条件：①经过点B；②垂直AC，由此即可判断．【详解】解：根据垂线段的定义可知，A选项中线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选：A．【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．C【分析】根据三角形高的定义分别进行判断.【详解】解:△ABC中，AC⊥BC,则AC是BC边上的高，所以A正确;△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上的高，所以D正确.故答案为:C.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.25．C【分析】利用三角形高线的性质，可知三角形高线交点对应的位置，依次可对本题进行判定．【详解】解：∵在三角形中，锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形斜边上的高在三角形内部，另外两条高线在三角形边上；钝角三角形三条高线有一条在形内，两条在三角形外部．∴有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形中的重要险段—高线的性质，掌握其性质是解题的关键．26．C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】A．锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A项错误；B．钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故B项错误；C．直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故C项正确；D．能确定C正确，故D项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键．27．1.8【分析】根据点到直线的距离的概念解答即可．【详解】解：∵BD⊥AC，AD=1.8，∴点A到BD的距离为1.8，故答案为：1.8．【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．28．2【分析】由题意可知的面积与的面积相等；利用面积相等，问题可求．【详解】解：∵于点E，于点F，，，∴，∴，∴，故答案为：2．【点睛】此题考查了三角形的面积，利用面解法求解是解答本题的关键．29．B【分析】根据三角形的中线的定义判断即可．【详解】解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，∴AE=EC=AC，AB=2BF=2AF，BC=2BD=2DC，故A、C、D都不一定正确；B正确．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．30．C【分析】根据三角形的中线的概念解答即可．【详解】解：∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm，∴BM＝AB＝5cm，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．31．B【分析】直接根据三角形中线定义解答即可．【详解】解：∵是的中线，，∴BM= ，故选：B．【点睛】本题考查三角形的中线，熟知三角形的中线是三角形的顶点和它对边中点的连线是解答的关键．32．B【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【详解】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．33．A【分析】由点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，可得DE是△ABC的中位线，得出DE//AC，DE=AC，进而得出△BDE∽△BAC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合△ABC的面积等于8，即可得出答案．【详解】解：∵点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AC，DE=AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∵△ABC的面积等于8，∴△BDE的面积=，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．34．1【分析】根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形得出，，进而求得，然后代入数据进行计算求解即可【详解】解：∵点D、E分别是边BC、AD的中点∴，，∴∵点F是CE的中点故答案为：1【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．35．D【分析】利用三角形的周长公式先求解再证明再利用周长公式进行计算即可．【详解】解：AC＝8，△ACD的周长为20，点D是BC边上的中点，AB＝10，的周长为：．故选：D.【点睛】本题考查的是三角形的周长的计算，三角形的边的中点的应用，掌握“三角形的周长公式及中点的含义”是解本题的关键．36．B【分析】由CD是AB边上的中线，即可知，再根据三角形周长的求法即可得出答案．【详解】∵CD是AB边上的中线，∴．∵，，∴．故选B．【点睛】本题考查三角形中线．掌握三角形中线的定义是解题关键．37．6【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差；【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD比△ACD的周长大cm，即cm，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．38．A【分析】根据角平分线的定义可得出结论.【详解】∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠BAC,故选A.【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．39．B【分析】利用已知条件可得，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，即，∴是的角平分线，故选：B．【点睛】本题考查三角形中线高线、角平分线的判断，解题的关键是根据题意得到．40．(1)(2)DO 是△DEG的角平分线；理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝50°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝25°，再根据直角三角形性质可求∠BAD的度数；（2）根据EF BC，得出∠EDB＝∠DBG ，根据DG AB，得出求得∠EBD＝∠BDG，根据。
第一节与三角形有关的线段-学而思培优本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。
文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。
最后，文章提供了基础演练题目。
1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。
2.三角形的分类：按边分类。
3.三角形的三边关系定理及其应用：1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。
4.三角形的三条重要线段：1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。
3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
5.三线交点位置：1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。
2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。
3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。
6.三角形具有稳定性。
7.整数边三角形：1) 边长都是整数的三角形。
2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。
8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。
9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。
基础演练：1.(1) C (2) A2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得OA=15米，OB=10米。
求估计池塘岸边A、B两点的距离。
已知A、B间的距离不可能是（）A.5米B．10米C．15米D．20米。
3.如果三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．均有可能。
4.如果一个三角形的两边长分别为5和7，则周长L的取值范围是多少？如果x为最长边，则x的取值范围是多少？5.设三角形三边之长分别为3，8，2a-1，则a的取值范围是多少？6.根据图11-1-2，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定。
与三角形有关的线段（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC ＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE 是哪些三角形的边?(3)∠B 是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A 、E 再找一个第三点，使这点不在AE【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD ，△ABE ，△ABC ，△ADE ，△ADC ，△AEC ．(2)线段AE 分别为△ABE ，△ADE ，△ACE 的边．(3)∠B 分别为△ABD ，△ABE ，△ABC 的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA）．【答案】证明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA）．类型三、三角形中重要线段4.（2016春•江阴市月考）如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（）A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A、△ABC中，AD是BC边上的高正确，故本选项错误；B、△GBC中，CF是BG边上的高正确，故本选项错误；C、△ABC中，GC是BC边上的高错误，故本选项正确；D、△GBC中，GC是BC边上的高正确，故本选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB 、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。
