配套K12高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲双曲线知能训练轻松闯关理北师大版
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小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 第7讲 双曲线
1．(2016·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1
C.x210－y26＝1 D.x26－y210＝1
解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为x24－y212＝1，故选A.
2．(2015·高考福建卷)若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
解析：选B.由题意知a＝3，b＝4，所以c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6.所以|PF2|＝9.
3．(2016·惠州调研)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )
A．±2 B．±2
C．±12 D．±22
解析：选B.因为双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，
所以e＝ca＝1＋b2a2＝3，解得ba＝2，
所以其渐近线的斜率为±2.故选B.
4． (2015·高考湖南卷)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.73 B.54
C.43
D.53
解析：选D.由双曲线的渐近线过点(3，－4)知ba＝43，
所以b2a2＝169. 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 又b2＝c2－a2，所以c2－a2a2＝169，即e2－1＝169，
所以e2＝259，所以e＝53.
5．(2015·高考四川卷)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A.433 B．23
C．6 D．43
解析：选D.由题意知，双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43.
6．(2016·太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且F1P→·(OF1→＋OP→)＝0(O为坐标原点)，若|F1P|＝2|F2P|，则该双曲线的离心率为( )
A.6＋3 B.6＋32
C.6＋2 D.6＋22
解析：选A.设线段PF1的中点为D，则F1P→·(OF1→＋OP→)＝F1P→·(2OD→)＝0，所以F1P→⊥OD→，又因为点O为线段F1F2的中点，所以OD∥PF2，所以F1P⊥PF2，所以|F1P|2＋|PF2|2＝4c2，①
又因为点P在双曲线的右支上，所以|F1P|－|PF2|＝2a，②又因为|F1P|＝2|PF2|，③联立①②③得e2＝c2a2＝33－22，所以e＝6＋3，故选A.
7．已知双曲线x29－y2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：依题意知(13)2＝9＋a，所以a＝4，
故双曲线方程为x29－y24＝1，
则渐近线方程为x3±y2＝0.
即2x±3y＝0.
答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝0
8．已知双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y2n－x2m＝1的焦距等于4，则n＝________．
解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为y2－3m－x2－m＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为y2n＋x2＝1，且n>0，又椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)． 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 答案：5
9．(2015·高考湖南卷)设F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
解析：不妨设F(－c，0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c，2b)．又点P在双曲线上，
则c2a2－4b2b2＝1，故c2a2＝5，即e＝ca＝5.
答案：5
10．(2016·南昌模拟)过原点的直线l与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两支分别相交于A，B两点，F(－3，0)是双曲线C的左焦点，若|FA|＋|FB|＝4，FA→·FB→＝0，则双曲线C的方程是________．
解析：如图所示，设双曲线的右焦点为F2(3，0)，连接F2A，F2B，由双曲线的对称性和FA→·FB→＝0知四边形AFBF2为矩形，由|FA|＋|FB|＝4得|FA|＋|AF2|＝4，又因为|FA|－|AF2|＝2a，所以|FA|＝2＋a，|F2A|＝2－a，由|F2A|2＋|FA|2＝(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2，得a2＝2，b2＝1，所以双曲线的方程为x22－y2＝1.
答案：x22－y2＝1
11．已知椭圆D：x250＋y225＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.
所以|5a|b2＋a2＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为x29－y216＝1.
12．设A，B分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程； 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 (2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM→＋ON→＝tOD→，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝23，
所以一条渐近线方程为y＝b23x.
即bx－23y＝0.
所以|bc|b2＋12＝3.
所以b2＝3，所以双曲线的方程为x212－y23＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得
x2－163x＋84＝0，
则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12.
所以x0y0＝433，x2012－y203＝1，所以x0＝43，y0＝3.
所以t＝4，点D的坐标为(43，3)．
1．(2016·南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：选A.由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c＞a，
所以有|PF2|＜|F1F2|，
所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，
即2x±y＝0.
2．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学 a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是________．
解析：c＝a2＋b2，由题意得A(a，0)，F(c，0)，不妨设Bc，b2a，Cc，－b2a.
由于kAC＝b2a（a－c），kAB＝b2a（c－a），从而过B且与AC垂直的直线为y－b2a＝a（c－a）b2(x－c)①.
过C且与AB垂直的直线为y＋b2a＝a（a－c）b2·(x－c)②.
①②联立，解得x＝b4a2（a－c）＋c.
由题意，得c－b4a2（a－c）＋c
b2
设该双曲线渐近线的斜率为k，则k2<1，
又k≠0，所以0
答案：(－1，0)∪(0，1)
3．(2016·湛江模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为x22－y22＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足y0x0·(－3)＝－1，
所以x0＝3y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y20＋y20＝c2，
即y0＝12c，
所以x0＝32c，
所以点A的坐标为32c，12c，
代入双曲线方程得34c2a2－14c2b2＝1，
