实数的概念及运算

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩实数⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎫⎨⎬⎭⎩正整数整数零负整数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎫⎨⎬⎭⎩有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数第1讲 实数的概念及运算

1. 实数的概念(分类)

(1)按定义分类：

(2)按正、负分类：实数还可以分为：正实数、0、负实数．

2. 实数的表示

(1)“数”的方面：用字母表示实数，如实数a 等．

(2)“形”的方面：用数轴上的点表示实数．

(3)数轴的三要素：原点，正方向和单位长度．

(4)数轴上的点与实数一一对应．

3. 实数大小的比较

“数”的方面：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；

“形与数结合”的方面：

两个正数，绝对值大的较大；

两个负数，绝对值大的反而小；

“形”的方面：从数轴上看，数轴上右边的点表示的实数大于左边的点所表示的实数．

4. 实数的运算

(1)在实数范围内加、减、乘、除、乘方运算都可以进行(规定：除数不能为0；01(0)a a =≠；1(0)p p

a a a -=≠)； (2)正数可以开任何次方，负数不能开偶次方.

(3)有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算；

(4)进行实数的运算，需做好“三确定”：一是确定运算顺序，二是确定结果的符号，三是确定结果的绝对值.

5.两实数的关系

(1)相反数

①定义：实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零.

②从“数”的角度：a b 、互为相反数0a b ⇔+=

③从“形”的角度：在数轴上表示相反数的两点与原点对称.

④从“形数结合”角度：由0a b +=得a b =-，即直线y x =-上的点横、纵坐标互为相反数，以互为相反数作为点的横、纵坐标，所组成的图形为直线y x =-．

(2)倒数

①定义：乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数.

②从“数”的角度：111;,.ab a a b b

-=== ③从“形”的角度：面积为1的矩形的长和宽的关系．

④从“形数结合”角度：函数1y x =图像上的点横、纵坐标的关系；过函数1y x

=图像上的点向x 轴y 轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴所围矩形的面积．

6. 平方根与立方根

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.

如：4=±

②任何一个实数都有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立

2=

4=-

7.实数的绝对值与非负性

(1)绝对值.

①定义：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．

②从“数”的角度：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

③从“形”的角度：实数a 的绝对值就是在数轴上表示实数a 的点离开原点的距离． ④从“形数结合”角度：函数y x =的图像．

⑤绝对值的非负性：a 为实数，||0a ≥．

(2)实数的三个非负性：

2||0, 0,0(0)a a a ≥≥≥≥

(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩

8. 准确数、近似数、精确度、有效数字、科学计数法

(1)准确数与近似数：用数表示事物的多少，一般有两种，一是准确数，二是近似数．四

舍五入法是常用的取近似数的方法．

(2)精确度：用来刻画一个近似数的精确程度，精确度有两种表示方法，一是精确到指定的位数(如精确到个位、百位、万位、0.01等)，二是保留若干个有效数字．

(3)有效数字：一个数，从左边的第一个不是0的数字起，到精确到的这位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

(4)科学计数法：是一种记数的方法，把一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数这种记数法叫做科学记数法．科学计数法常用来表示绝对值较大或较小的数．有时候，只有利用科学计数法才能表示一个数的精确度及有效数字．