概率问题中的递推数列
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概率问题中的递推数列
一、a
n=p·a
n－1+q型
【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合12
起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率132335
是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为P
n。 25
(1)求：P
2；
(2)求证：P
n< (n≥2) ； 12
(3)求。 lim
nnP
解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P
2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是
红灯。于是P
2=P
1·+(1－P
1)·=。 1335715
(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率P
n，要考虑第n－1次闭合后出现绿灯的情况，有
P
n=P
n－1·+(1－P
n－1)·=－P
n－1+， 133541535
再利用待定系数法：令P
n+x=－(P
n－1+x)整理可得x=－ 415919
∴{P
n－}为首项为(P
1－)、公比为(－)的等比数列 919919415
P
n－=(P
1－)(－)n－1=(－)n－1，P
n=+(－)n－1 919919415138415919138415
∴当n≥2时，P
n<+= 91913812
(3)由(2)得=。 lim
nnP
919
【例2】 A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数
不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第n次由A掷的概率为P
n，
(1)求P
n；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.
解析：第n次由A掷有两种情况：
① 第n－1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为P
n－1； 1236
② 第n－1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1－)(1－P
n－1)。 1236
∵两种情形是互斥的 ∴P
n=P
n－1+(1－)(1－P
n－1)(n≥2)，即P
n=－P
n－1+(n≥2) 123612361323
∴P
n－=－(P
n－1－)，(n≥2)，又P
1=1 121312
∴{P
n－}是以为首项，－为公比的等比数列。 121213
∴P
n－=(－)n－1，即P
n=+(－)n－1。 121213121213
⑵。 2881
二、a
n+1=p·a
n+f(n)型
【例3】 (传球问题)A、B、C、D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A手中，则不同的
传球方式有多少种？若有n个人相互传球k次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？
分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模
型则可深入问题本质。
4人传球时，传球k次共有3k种传法。设第k次将球传给A的方法数共有a
k(k∈N*)种传法，则不传给A的有3k－a
k种，故a
1=0，且
不传给A的下次均可传给A，即
a
k+1=3k－a
k。两边同除以3k+1得=－·+， ak+1
3k+113ak
3k13
令b
k=，则b
1=0，b
k+1－=－(b
k－)，则b
k－=－(－)k－1 ak
3k141314141413
∴a
k=+(－1)k
3k434
当k=5时，a
5=60.
当人数为n时，分别用n－1，n取代3，4时，可得a
k= + (－1)k。 (n－1)knn－1n
【例4】 (环形区域染色问题)将一个圆环分成n(n∈N*，n≥3)个区域，用m(m≥3)种颜色给这n个区域染色，要求
相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？
分析：设a
n表示n个区域染色的方案数，则1区有m种染法，2区有m－1种染法，3，……，n－1，n区各有m－
1种染色方法，依乘法原理共有m(m－1)n－1种染法，但是，这些染中包含了n区可能和1区染上相同的颜色。而n区与1区相同时，就
是n－1个区域涂上m种颜色合乎条件的方法。
∴a
n=m(m－1)n－1－a
n－1，且a
3=m(m－1)(m－2)
a
n－(m－1)n=－[a
n－1－(m－1)n－1]
a
n－(m－1)n=[a
3－(m－1)3](－1)n－3
∴a
n=(m－1)n+(m－1)(－1)n(n≥3)
用这个结论解：2003年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4
种1
2
3n
n-1……
1
23456
12
3
456不同颜色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有 种。
只需将图变形为圆环形，1区有4种栽法。不同的栽法数为
N=4a
5=120。
三、a
n+1=a
n·f(n)型
【例5】 (结草成环问题)现有n(n∈N*)根草，共有2n个草头，现将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，求打结后所有草能
构成一个圆环的打结方法数。
分析：将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，要
使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m
2=a
n。
将草头编号为1，2，3，……，2n－1，2n。
草头1可以和新草头3，4，5，……，2n－1，2n共2n－2个新草头相连，如右图所示。
假设1和3相连，则与余下共n－1条相连能成圆环的方法数为a
n－1。
∴a
n=(2n－2)a
n－1，(n≥2，n∈N*)，a
1=1，得=2n－2 an
an－1
a
n=··……··a
1=(2n－2)(2n－4)……2×1=2n－1(n－1)! an
an－1an－1
an－2a2
a1
变式游戏：某人手中握有2n(n∈N*)根草，只露出两端的各自2n个草头，现将两端的2n个草头各自随机平均分成n组，并将每组的
两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率。
分析：两端的2n个草头随机两个相连不同的方法数为N=()2 CC……C
n!
能够构成圆环的连接方法分两步：
第一步，先将一端的2n个草头平均分成n组，每两根连接起来，得到n组草，认为得到n根“新草”，连接方法数m
1=。 CC……C
n!
第二步，将另一端的2n个草头平均分成n组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m
2=2n－1(n－1)!。
∴所求的概率P
n== m1m2N(n－1)!n!22n－1
(2n)!
变式：(06 江苏) 右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，
就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端
的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收
器能同时接收到信号的概率是(D)
（A） （B） （C） （D） 445136415815
四、a
n+1=p·a
n+q·a
n－1型
【例6】 某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站.一12
枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k到k+1)；若掷出反面，棋子向前跳两
站(从k到k+2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为P
n
. 34
……12
56
2n-12n信号源(1)求P
0、P
1、P
2的值；
(2)求证：P
n－P
n－1=－(P
n－1－P
n－2)，其中n∈N，2≤n≤99； 12
(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率。
(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，P
0=1.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，P
1=. 1212
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为. 1412
∴P
2=+=. 141234
(2)证明：棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为P
n－2； 12
②棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为P
n－1. 12
∴P
n=P
n－2+P
n－1. 1212
∴P
n－P
n－1=－(P
n－1－P
n－2). 12
(3)解：由(2)知当1≤n≤99时，数列{P
n－P
n－1}是首项为P
1－P
0=－，公比为－的等比数列。 1212
∴P
1－1=－，P
2－P
1=(－)2，P
3－P
2=(－)3，…，P
n－P
n－1=(－)n. 12121212
以上各式相加，得P
n－1=(－)+(－)2+…+(－)n， 121212
∴P
n=1+(－)+(－)2+…+(－)n=[1－(－)n+1](n=0，1，2，…，99). 1212122312
∴获胜的概率为P
99=[1－()100]， 2312
失败的概率P
100=P
98=·[1－(－)99]=[1+()99] 121223121312
【例7】 (上楼梯问题)从教学楼一楼到二楼共有15级楼梯，学生A一步能上1级或2级，那么A从一楼上到二楼的不同方法数共有
多少种？
设上到第n级楼梯的方法数为a
n(n∈N)，则a
1=1，a
2=2，a
n=a
n－1+a
n－2(n≥3)，
由此可得,\{a
n}斐波那契数列：1，2，3，5，8，……得a
13=377，a
14=610，a
15=987。
【例8】 从原点出发的某质点M，按向量=(0，1)移动的概率为，按向量=(0，2)移动的概率为，设M可到达点(0，n)的概率为ar23br13
P
n
