必修5--数列知识点总结及题型归纳

数列知识总结一.知识网络 :等差数列的正等差数列性质有整数列的观点通项及关前 n 项和数应集等比数列等比数列的用性质二.重点提示:1.数列的定义 :按必定序次摆列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，，n ｝上的函数当自变量由小到大挨次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前 n 项和:关于随意数列a n , 其通项是 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是: a n S1,(n 1)S n (n.Sn 1 2, n N *)3.求数列通项公式的方法:①察看法:找项与项数的关系,而后猜想查验, 即得通项公式 a n ,注意利用前几项得出的通项公式不必定独一 .②利用通项 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是:,③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.④其余方法: 迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列, 常用的两种基本方法 : 一是利用定义; 二是．．．．利用等差中项（或等比中项）来进行证明.( 注意:通项的特色与前 n 项和的特色只用于判断)5.等差数列的性质:(1) 数列 a n为等差数列，则a m= a n＋（m－n）d,或d a n a m n m(2) 数列 a n为等差数列的充要条件是:其通项公式能够写成a n= an＋b (a,b为实．．．．常数).(3) 数列 a n 为等差数列的充要条件2a n an 1 a n 1,推广．．．．2a n a n k a n k( n>k. >0)(4) 数列a n为等差数列:若 m n p q ,则a m a n a p a q.(5)数列 a n为等差数列,去掉前m项,剩下的项组成等差数列.推行：数列 a n为等差数列,则每隔k项取m项的和仍组成等差数列.(6)数列 a n是公差为d的等差数列,则奇(偶)数项组成公差为2 d的等差数列.推行①:数列a n为公差为 d 等差数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公差为 (k 1)d 的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.推行②:数列a n是公差为 d 的等差数列 ,则项下标成等差数列的项也成等差数列.(7) 数列a n , b n 项数同样的等差数列 :则ka n , pa n qb n , panq ( p, q 为常数) 仍为等差数列.(8) 数列a n 为等差数列,其前n 项和S n能够写成S n an 2 bn, (a, b 为常数).(9)数列 a n为等差数列:则数列中挨次每连续k项之和组成的数列也是等差数列.(10)数列 a n为等差数列: S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,若项数为2n 项时, 则有S奇－S偶 = nd , S奇 / S偶= a n / a n+ 1 ;若项数为 2n － 1 项时 , 则有奇－S偶= an, 奇/S偶= n/ (n－S S 1), S2 n 1(2n 1)a n .6.等比数列的性质:(1) 数列a n 为等比数列: a n a1q n 1, a m a n q m n , a n 2 an man m.(2) 数列a n 为等比数列: a n 2 an 1 a n 1 ,推行 a n 2 a n m a n m ( n>m >0)(3) 数列a n 为等比数列: m n p k ,则 a m a n a p a k.(4)数列 a n为等比数列,取掉前若干项,节余的项也组成等比数列.推行：数列 a n为等比数列,则每隔k项取m项的和(积)仍组成等比数列.(5) 数列 a n 为等比数列,则奇(偶)数项组成等比数列.推行① :数列 a n 为公比为 q 等比数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公比为 q k 1 的等比数列.推行②:数列 a n 为等比数列 ,则项数成等差数列的项成等比数列.1 a n } , ka n , a n b n , a n k(k 为 (6) 数列 a n , b n 为项数同样的等比数列: 则 { } , {b n a n常数) 等仍为等比数列.(7) 数列 a n 为公比为 q(q ≠±1) 的等比数列:则数列中连续 k 项之和(积) 组成的数列是等比数列.(8) 数列 a n 为等比数列: ( S 奇 表示奇数项的和, S 偶 表示偶数项的和 )若项数为 2n 项时,则有 S 偶 / S 奇 = q;若项数为 2n －1 项时, 则有( S 奇 － a 1 )/ S 偶 =q.(9) 递推公式为 a n 1 pa n q( p 1) 的递推数列 { a n } , 都能够转变为an 1q p a nq 进而结构等比数列.p1 p 17.等差数列与等比数列比较:名称等差数列等比数列定义a n+ 1 ―a n =da n 为等差数an 1q ( q0 )a n 为等比数列a n列通项公 a n = a 1＋( n －1) d = a m ＋( n －a n = a 1q n－1 = a m q n －m 式 m) d前 n 项 S nn a 1 a nna 1q 1 , 2S n a 1 1 q n a 1a n q和公式 1n n1q 1 q 1 .na 1dq2a ，A ，b 成等差数列a ，G ，b ，成等比数列中项Aa b，或 2 A=a ＋b ．Gab ，或 G 2=ab28.等差数列与等比数列的关系:(1) 各项为正的等比数列 a n ,其对数数列{log a a n }( a 0, a 1) 为等差数列.(2) 数列 a n 为等差数列,则数列{ C a n }( C 为正常数) 为等比数列.9.数列乞降的一般方法( 联合于详细的示例解说): ①倒序乞降法:(等差数列的乞降);②错位相减法:(等比数列和差比数列);例 1:乞降: a 2a 2 3a 3 4a 4na n (n N *) .③裂项相消法:(数列中的各项能够拆成几项, 而后进行消项);例 2:乞降:1 1 55 1 (2n 1) 1.1 3 3 7(2n 1)例 3:求数列{1} 的前 n 项和.nn1④通项化归法:(化出通项, 由通项确立乞降方法 );例 4:求数列:1,1 , 1 , ,2 1 , 的前 n 项和 S n .1 2 1 2 3 1 3n⑤分组乞降法:(将一个数列分红几组,每组都能够用乞降公式来求解); 例 5:求数列 2,2 1 ,3 1 ,4 1, , n1 , 的前 n 项之和.2 4 82n 1⑥公式法:( 应用等差或等比数列的乞降公式直接来求解). ⑦.累差迭加法例 6:已知数列 6,9,14,21,30, , 此中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.⑨∑乞降记法n用 a k = a 1a 2a 3a n 。

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

第二章 数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。

其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。

注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。

如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。

②数列中的数是按一定次序排列的。

因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。

如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。

③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。

因此，同一个数在数列中可以重复出现。

如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。

④{}n a 与n a 是不同的概念。

{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。

⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。

（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。

高中数学必修5《数列》知识点总结及题型分析1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列； 2°.通项公式：;11k n k n n q a qa a --==. 3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公比为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公比为q n的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）； 2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 3.正确理解与运用等差、等比数列基本公式1°.注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2°．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.4．巧设“公差、公比”是解决问题的重要方法①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）” ②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )” ③四数成等差数列，可设四数为：“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或” ④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或” 5.由递推公式求通项公式的方法①1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++-，进而求解。

必修五第二章数列归纳总结一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．3. an 与Sn 的关系设Sn ＝a1＋a2＋a3＋…＋an,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这样的数列叫做等差数列．2. 等差中项如果三数a 、A.b 成等差数列, 则A 叫做a 和b 的等差中项, ∴A ＝ .3. (1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法: 累加法an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法: 倒序相加法.4. 用函数观点认识等差数列(1)an ＝nd ＋(a1－d)是n 的一次函数.(2)Sn ＝ n2＋(a1－ )n, 是关于n 的常数项为零的二次函数．5. 等差数列的判定方法(1)定义法: an ＋1－an ＝d(常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法: 2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法: an ＝kn ＋b(k, b 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列.(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6. 等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中, 若p ＋q ＝m ＋n, 则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q, 则有2am ＝ap ＋aq, (p, q, m, n ∈N*).(2)任意两项的关系在等差数列{an}中, m 、n ∈N*, 则am －an ＝(m －n)d 或am ＝an ＋(m －n)d 或 ＝d.(3)在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an, an ＋m, an ＋2m, …为等差数列, 公差为md.等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列, 即Sn, S2n－Sn, S3n－S2n, ……为等差数列, 公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列, 下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.(4)设等差数列{an}的公差为d, 那么d>0⇔{an}是递增数列；d<0⇔{an}是递减数列；d＝0⇔{an}是常数数列.(5)①数列{λan＋b}仍为等差数列, 公差为λd.若{bn}, {an}都是等差数列, 则{an±bn}仍为等差数列, {λ1an＋λ2bn}(λ1, λ2为常数)也是等差数列.②项数为n的等差数列中, n为奇数时, 设m＝ , 则S奇－S偶＝am, ＝ , Sn＝na 中＝nam.n为偶数时, S偶－S奇＝ d.③若{an}与{bn}为等差数列, 且前n项和分别为Sn与S′n, 则＝ .④等差数列{an}中, 若an＝m, am＝n(m≠n), 则am＋n＝0.⑤若数列{an}的前p项和为Sp＝q, 前q项和为Sq＝p(p≠q), 则Sp＋q＝－(p＋q).⑥若数列{an}的前n项和为Sn, Sp＝Sq(p≠q), 则Sp＋q＝0.三、等比数列1. 等比数列的定义一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列．2. 等比中项如果三个数a、G、b成等比数列, 那么G叫做a和b的等比中项, 即G2＝ab.3. 等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*).推导方法: 累乘法: ·……·＝qn－1.4. 等比数列的前n项和当q＝1时, Sn＝na1,当q≠1时. Sn＝＝.推导方法: 乘公比、错位相减法.5. 等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数, n∈N*, an≠0)⇔{an}是等比数列.(2)an＝cqn－1(c, q均是不为0的常数, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)Sn＝A·qn－A(A.q为常数且A≠0, q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．6. 等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an}中, 若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q, 则am·an＝ap·aq.特别地, 若2m＝p＋q, 则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)任意两项的关系若{an}为等比数列, 则＝qm－n或am＝an·qm－n(m、n∈N*).(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.例如: {an}是等比数列, 则①a1, a3, a5, …, a2n－1；②a1＋a2, a2＋a3, a3＋a4, …；③a1a2, a2a3, a3a4, …；④a1＋a2, a3＋a4, a5＋a6……均成等比数列．(4)等比数列{a n}的单调性当, 或时, {an}为递增数列；当或时, {an}为递减数列.(5)①{an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0).②{an}、{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{ }仍是等比数列.③若{an}是等比数列, 则{an2}、{ }(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列.④非零常数列既是等差数列, 也是等比数列.⑤若{an}是等差数列, 则{ban}是等比数列.若{an}是正项等比数列, 则{lgan}是等差数列．误区警示1. 数列与数集应予区别, 数列中的数排列有序, 数集中的元素无序；数列中的数可重复出现, 数集中的元素互异.2. 并不是每一个数列都有通项公式, 给出前n项时, 写出的通项公式可以不止一个.3．已知{an}的前n项和Sn求an时,用an＝求解应注意分类讨论.an＝Sn－Sn－1是在n≥2条件下求出的, 应检验a1是否适合. 如果适合, 则合写在一块, 如果不适合, 则分段表示. 千万注意用an＝Sn－Sn－1判断数列{an}是否为等差(或等比)数列时, 不要忘记验证a1是否满足.如: Sn＝n2＋n时, {an}是等差数列.Sn＝n2＋n＋1时, {an}不是等差数列.Sn＝2n－1时, {an}是等比数列.Sn＝2n＋1时, {an}不是等比数列.4. 在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时, 不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.如: 在等差数列{an}中, 已知a1＝20, 前n项和为Sn, 且如S10＝S15, 求当n取何值时, Sn有最大值, 并求出它的最大值．取最大值的应为S12和S13.5. G是a、b的等比中项 G＝.6. 在应用等比数列的前n项和公式时, 一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论.7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零, 项与公比的符号有着密切的联系, 解题时应特别注意．。

数学必修五数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

在必修五的数学课程中，数列是一个重要的知识点，学好数列的相关知识对于理解高中数学以及以后的数学学习都是至关重要的。

本文将对数学必修五中的数列知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握数列的概念和性质。

一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，这些数之间存在一种特定的关系。

2. 通项公式：数列中的每一项可以由一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。

3. 等差数列：如果一个数列中的任意两项之差都是一个常数，那么这个数列就是等差数列。

4. 等比数列：如果一个数列中的任意两项之比都是一个常数，那么这个数列就是等比数列。

5. 递推公式：等差数列、等比数列中的每一项可以通过前一项来计算的公式，称为递推公式。

二、等差数列1. 基本性质：等差数列的基本性质包括公差、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

三、等比数列1. 基本性质：等比数列的基本性质包括公比、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

四、数列的应用1. 数列在初等数学中的应用：数列的应用不仅限于数学学科本身，在初等数学中，数列还有很多实际应用，例如求和、求平均数等。

2. 数列在自然科学中的应用：数列在自然科学中也有着广泛的应用，例如物理学中的运动学问题、化学中的化学反应速率等都可以通过数列来描述和求解。

五、数列知识点的拓展1. 等差数列和等比数列的推广：除了等差数列和等比数列之外，还存在其他形式的数列，例如等差递推数列和等比递推数列。

2. 数列的收敛性：数列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它与数列中项的趋势和极限有关。

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习〔一〕一．数列的概念与简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，假设组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．〔一〕由数列的前几项求数列的通项公式[例1](2012·天津南开中学月考)以下公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝(－1)n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，…. [答案] C 由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn，也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.〔二〕由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据以下条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )A.56 B.65 C.130D ．30解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，则a 5＝15×6＝130.〔三〕数列的性质[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？[自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，假设a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；假设a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119D.1060解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．二．等差数列及其前n 项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 三、等差数列的性质1．假设m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd .3．假设{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .假设其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这表达了方程思想．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，假设奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；假设偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断与证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *，∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列． 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，CS n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列. 等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.(2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案：(1)44 (2)6 等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，假设a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，假设S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，假设a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)假设数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴kn 的值为7.答案：(1)35 (2)B三．等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，假设m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k ；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)； a n ＝a m q n －m.(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12.∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.在本例条件下，假设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列． 证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：假设a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：假设数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：假设数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }()A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log a a n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列，求以下各值： (1)a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求a n ；(2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 6－a 4＝a 1q3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q 32＝64. ②由②得a 1q 3＝±8，将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)．将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1qn －1＝2n －1.当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1.∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.(2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝3，a 7＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝12，a 7＝3.∴q 4＝a 7a 3＝4或14.∴q ＝±2或q ＝±22.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可无视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n＝32＋34＋…＋32n ＝9(1－9n )1－9＝98(9n －1)． 等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，假设a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12 B.32C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，假设能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. (2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －5. 故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )． 练习题1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n2n ＋3答案：B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋1)(n ＋2)＝1(n ＋1)(n ＋2)>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：545．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________.解析：由已知得⎩⎨⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：941．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝( )A.32B.12 C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解析：选B S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.4．在数列{a n }中，假设a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，假设a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n . 答案：1 14n 2＋14n1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．假设S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴nnn 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，假设S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．假设b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－(－2)10－3b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，假设对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n (n ＋1)2.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22， ∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12(a 11＋a 22)2＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值， 应有1<n <32，从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝⎛⎭⎫32nB ．4·⎝⎛⎭⎫23n C ．4·⎝⎛⎭⎫32n －1D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －1 解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5， a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝⎛⎭⎫32n －1. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，假设a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12. 答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0.∵a 1≠0，∴q ＝－2.答案：－21．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，假设S 3＝3a 3，则公比q 为( )A ．－12B ．1C ．－12或1 D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2， 解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1. 2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152B.154 C ．4 D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152. 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4.又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知：2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n＝( )A.32B.32或23C.23 D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n}是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋qq 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11. 答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，假设a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________. 解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎫1－14n . 答案：2 13⎝⎛⎭⎫1－14n 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2. (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3. ∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？假设存在，求出a 1的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1. 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0， 所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1， b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n . 要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2. 所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎨⎧ 5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．(2)对m ∈N *，假设a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.。

人教版高一数学必修 5 第二章数列总结1、数列的基本观点(1)定义：依据必定的序次摆列的一列数叫做数列．(2)通项公式：假如数列 { a n} 的第n项a n与n之间的函数关系能够用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：假如已知数列 { a n} 的第一项 ( 或前几项 ) ，且任何一项a n与它前一项a n－1( 或前几项 ) 间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式 a n与前 n 项和公式 S n间的关系：S1n＝1a n＝.S n－ S n－1n≥2(2)等差数列a n＝a1＋( n－1) d＝ a m＋( n－ m) d.11S n＝2n( a1＋ a n)， S n＝ na1＋2n( n－1) d.a＋ bA＝2( 等差中项 )．（3）等比数列a n＝a1q n－1， a n＝a m· q n－m.1q ＝ 1S n＝naa1－ n1－n.a q a 1 q≠1＝1－q1－q q＝±(等比中项 )．G ab3．主要性质(1)若 m＋ n＝ p＋ q( m、 n、 p、q∈N*)，在等差数列 { a n} 中有：a m＋a n＝a p＋a q；在等比数列 { a n} 中有：a m·a n＝a p·a q.(2)等差 ( 比) 数列挨次k之和仍旧成等差 ( 比 ) ．一数列的通公式的求法1．察法依据下边数列的前几，写出数列的一个通公式．5 79(1)1,1，7，15，31，⋯；2．定法等差数列 {n是增数列，前和n1， 3， 9 成等比数列，2.求数列 {na n S，且＝aa a a S a的通公式．3．前n和法(1) 已知数列 {n}的前n 和n＝n2＋ 3 ＋ 1，求通an；a S n(2) 已知数列 { a n} 的前n和S n＝2n＋ 2，求通a n.4．累加法已知 { a n} 中，a1＝ 1，且a n＋1－a n＝ 3n( n∈ N* ) ，求通a n.5．累乘法1已知数列 { a n} ，a1＝3，前n和S n与a n的关系是S n＝ n(2 n－1) a n，求通 a n. 6．助数列法已知数列 {a} 足a＝ 1，a＝ 3＋ 2(n*a} 的通公式．∈N ) ．求数列 {n1n＋1n n7．倒数法已知数列 { a } 中，a＝ 1，a a n* a .＝a＋1( n∈N ) ．求通n1n＋ 1n二数列的前n 和的求法1．分化乞降法假如一个数列的每一是由几个独立的合而成，而且各独立也可成等差或等比数列，数列的前1乞降： S n＝1＋22n和可考拆后利用公式求解．1＋ 31＋⋯＋ ( ＋1n) ．48n 22．裂乞降法于裂后明有能相消的的一数列，在乞降常用“裂法”，分式的乞降多利用此法．可用待定系数法 通 公式 行拆 ，相消 注意消去 的 律，即消去哪些 ，保存哪些 ，常 的拆 公式有：11 1 1(1) n n ＋k ＝ k ·(n － n ＋ k ) ； (2) 若 { a n } 等差数列，公差d ，1＝1(1－ 1)；a n ·a n ＋ 1 d a n a n ＋ 11(3)＝ n ＋ 1－ n 等．n ＋ 1＋ n3． 位相减法若数列 { a n } 等差数列，数列{ b n } 是等比数列，由 两个数列的 乘 成的新数列{ a n b n } ，当求 数列的前n 的和 ，经常采纳将 { a n b n } 的各 乘以等比数列 { b n } 的公比 q ，而后 位一 与{ a n b n } 的同次 相减，即可 化 特别数列的乞降，因此 种数列乞降的方法称 位相减法．已知数列 { a n } 中， a 1＝ 3，点 ( a n ， a n ＋1) 在直 y ＝ x ＋2 上．(1) 求数列 { a n } 的通 公式；n(2) 若 b n ＝ a n ·3，求数列 { b n } 的前 n 和 T n . 4．分段乞降法假如一个数列是由各自拥有不一样特色的两段组成， 可考 利用分段乞降． 已知数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 a n ＋ S n ＝ 1( n ∈ N * ) ．(1) 求数列 { a n } 的通 公式；(2) 若数列 { b n } 足 b n ＝ 3＋ log 4a n ， T n ＝ | b 1| ＋ | b 2| ＋⋯＋ | b n | ，求 T n .附注：常用1） 1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对照（1）判断数列的常用方法看数列是否是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数 ).看数列是否是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数 ).④正数列 {} 成等比的充要条件是数列{} （）成等比数列 .（ 2）等差数列与等比数列对照小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．1．，1．，性质称为与的等差中项称为与的等比中项2．若（、、、2．若（、、、），则），则3．，，成等差数3．，，成等比数列列4.，4.（3）在等差数列｛｝中 , 相关 Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可以下确立或。

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质（1）定义：1n n a a d +-=（d 为常数），通项公式：()11n a a n d =+-（2）等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ （3）前n 项和：()()11122n na a n n n S nad +-==+（4）性质：{}n a 是等差数列①任意两项间的关系式； a n ＝a m ＋(n －m )d （m 、n ∈N +） ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为dn 2；④若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，⑤若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=⑥{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.⑦项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.⑧项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有：)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质（1）定义：1n naq a +=（q 为常数，0q ≠），通项公式：11n n a a q -=.（2）等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =（3）前n 项和：()11(1)1(1)1nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） （4）性质：{}n a 是等比数列①任意两项间的关系：a m ＝a n . q m －n （m 、n ∈N +）. ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列，公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a 解 ：1n =时，112152a =⨯+，∴114a =①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+……②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a 注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n na na a n +==+，，求n a 解： 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n aa n=又13a =，∴3n a n =.（3）等差型递推公式 由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求na （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11da c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法 如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n na a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法 （1）公式法 （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭· ∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………，（3）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （4）分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

必修5数列全章知识回顾一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()144n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （2）数列}{n a 的通项为1n na n =+，则n a 与1+n a 的大小关系为___二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例如设{}n a 是等差数列,n S 是前n 项和，求证：以b n =n Sn（*n N ∈）为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如 （1）等差数列 {}n a 中，公差12d =，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-①求数列通项n a ； ②求数列{||}n a 的前n 项和n T4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2. (2)等差数列 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d .A ＝a ＋b 2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m . S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q＝a 11－q n 1－q q ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…； 2．定义法等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式．3．前n 项和法(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n. 4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n. 5．累乘法已知数列{a n }，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．7．倒数法已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)．求通项a n . 专题二 数列的前n 项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )． 2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1n ＋k)； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)1n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等．3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义公式1．2．1．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则），则3．，，成等差数列4. 3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

高中数学必修五数列知识点总结
归纳
一、数列的概念和简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
二、等差数列
1.理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
三、等比数列
1.理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
四．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类
(3)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
五．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.
1．辨明两个易误点
(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．。