著《高等数学Ⅰ》练习题
系 专业 班 姓名 学号
6．1 二重积分（1）
一．选择题
1．设积分区域D 是412
2≤+≤y x ，则
⎰⎰D
dxdy = [ B ]
（A ）π （B ）3π （C ）4π （D ）15π
2．设积分区域D 是1≤+y x ，则
⎰⎰D
dxdy = [B ]
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
3．设平面区域D 由1,21
=+=
+y x y x 与两坐标轴所围成，若⎰⎰+=D
dxdy y x I 91)][ln(， ⎰⎰+=D
dxdy y x I 92)(，⎰⎰+=D
dxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ]
（A ）321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤
4．设区域D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则
⎰⎰D
xydxdy ＝ [ D ]
（A ）
41 （B ）81 （C ）121 （D ）24
1 二．填空题
1．设区域D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 ⎰⎰≤++≤D
dxdy y x )1(
2．设⎰⎰≤+++=10
||||2
2sin cos 100y x y x d I σ
，则I 的取值范围是 ≤≤I 3．
120
x dx xy dy ⎰⎰
=
三．计算题
1．设区域D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求
⎰⎰-D
dxdy x y xy )(
2
8100
51
2115
1
1
1
221112
()0
3dx xy x y dy xdx ---=-==⎰⎰⎰
解：原式也可以利用对称区间上的奇偶函数的性质解题。
2．设D 是由直线2=x ，x y =及双曲线1=xy 所围成的平面区域，求
⎰⎰
D
dxdy y x 2
2
3．设区域D 由x y x y ==2
2,所围成，求
σd y x D
)(2
⎰⎰+.
2
2231211112;9
()4x x D x y x x x dx dy x x dx y
⎧⎫
=≤≤≤≤⎨⎬
⎩⎭==-=
⎰⎰⎰解：所以，原式
《高等数学Ⅰ》练习题
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6．1 二重积分（2）
一．选择题
1．设区域D 是顶点为)0,0(O 、)1,10(A 、)1,1(B 的三角形，则
⎰⎰
-D
dxdy y xy 2= [ C ]
（A ）3 （B ）5 （C ）6 （D ）10
2．设),(y x f 是连续函数，则
(,)a x
dx f x y dy ⎰
⎰= [ B ]
{
2251
1
2
420
01;333)()22140
x
D x x y x dx x y dy x x dx =≤≤≤≤=+=+
-=⎰⎰解：所以，原式
（A ）
(,)a y dy f x y dx ⎰⎰ （B ）0
(,)a a
y
dy f x y dx ⎰⎰
（C ）
(,)a y a
dy f x y dx ⎰
⎰ （D ）0
(,)a a
dy f x y dx ⎰⎰
3．二次积分
220
(,)x dx f x y dy ⎰
⎰
的另一种积分次序是 [ A ]
（A
）
420
(,)dy f x y dx ⎰ （B
）40
(,)dy f x y dx ⎰
（C ）
2420
(,)x
dy f x y dx ⎰
⎰ （D
）40
2
(,)dy f x y dx ⎰⎰
4．设f 是连续函数，而D ：12
2≤+y x 且0>y ，则
dxdy y x f D
)(22⎰⎰
+= [ A ]
（A ）10
()rf r dr π
⎰
（B ）10
()f r dr π⎰ （C ）210
()rf r dr π⎰ （D ）21
()f r dr π⎰
二．填空题
1．改换积分的次序
1220
1
(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰
⎰⎰⎰
= 2
．改换积分的次序
2
1
2(,)x
dx f x y dy -⎰
⎰
=
120(,)y
y
dy f x y dx
-⎰⎰
1
102(,)y dy f x y dx -⎰
⎰1
20sin
cos (cos ,sin )d rf r r dr π
θθ
+⎰⎰
