基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程
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基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程
(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)
命题点一 基本初等函数Ⅰ难度：中、低 命题指数：☆☆☆☆☆题型：选择题、填空题
1．(2015·山东高考)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
C．b
解析：选C 因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b
2．(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即－b2a＝2.所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a>0，故选A.
3．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
解析：选D 当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当00)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.
4．(2015·陕西高考)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f a＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．p＝r＜q
C．q＝r＞p D．p＝r＞q 第 2 页 共 5 页
解析：选B 因为b＞a＞0，故a＋b2＞ab.又f(x)＝ln x(x＞0)为增函数，所以f a＋b2＞f(ab)，即q＞p.又r＝12(f(a)＋f(b))＝12(ln a＋ln b)＝lnab＝p，即p＝r＜q.
5．(2015·山东高考)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：选C 因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1>3，即2x＋12x－1－3>0，即2x＋1－32x－12x－1>0，故不等式可化为2x－22x－1<0，即1<2x<2，解得0
6．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
C．c
解析：选C 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c
7．(2014·安徽高考)168134－ ＋log354＋log345＝______.
解析：原式＝23434－ ＋log354×45＝23－3＝278.
答案：278
8．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
9．(2015·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________. 第 3 页 共 5 页
解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[]－1，0上为增函数，由题意得 a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0
答案：－32
10．(2015·天津高考)已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．
解析：由于a>0，b>0，ab＝8，所以b＝8a.
所以log2a·log2(2b)＝log2a·log216a＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，
当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4.
答案：4
11．(2015·福建高考)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
解析：因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图象关于直线x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是[)1，＋∞，由函数f(x)在[)m，＋∞上单调递增，知[)m，＋∞⊆[)1，＋∞，所以m≥1，故m的最小值为1.
答案：1
命题点二 函数与方程难度：高、中 命题指数：☆☆☆☆题型：选择题、填空题
1．(2014·湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x≥0 时， f(x)＝x2－3x. 则函数g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}
解析：选D 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－7(正根舍去)．选D.
2．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( ) 第 4 页 共 5 页
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝32－log24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
3．(2015·湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
答案：(0,2)
4．(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2的零点个数为________．
解析：f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2.
设y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．
答案：2
命题点三 函数模型及其应用难度：高、中 命题指数：☆☆☆题型：选择题、填空题
1．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
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A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718„为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝4819212＝1412＝12.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24.
答案：24
