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数字信号处理答案第二章习题解答

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————第二章———— 教材第二章习题解答

1. 设()jwXe和()jwYe分别是()xn和()yn的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）0()xnn； （2）()xn； （3）()()xnyn； （4）(2)xn。 解：

（1）00[()]()jwnnFTxnnxnne

令''00,nnnnnn，则 '00()'0[()]()()jwnnjwnjwnFTxnnxneeXe



（2）****[()]()[()]()jwnjwnjwnnFTxnxnexneXe （3）[()]()jwnnFTxnxne 令'nn，则 '''[()]()()jwnjwnFTxnxneXe



（4） [()*()]()()jwjwFTxnynXeYe 证明： ()*()()()mxnynxmynm

[()*()][()()]jwnnmFTxnynxmynme 令k=n-m，则 [()*()][()()] ()() ()()jwkjwnkmjwkjwnkmjwjwFTxnynxmykeeykexmeXeYe



2. 已知001,()0,jwwwXeww 求()jwXe的傅里叶反变换()xn。 解： 000sin1()2wjwnwwnxnedwn 3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)()()(),jwjwjwHeHee如果单位脉冲响应()hn为实序列，试证明输入0()cos()xnAwn的稳态响应为 00()()cos[()]jwynAHewnw。

解： 假设输入信号0()jwnxne，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为

00000()()()*()()()()jwnjwnmjwnjwmjwmmynhnxnhmeehmeHee





上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

000000000000

0

()()1()cos()[]21()[()()]21 [()()]2jwnjwnjjjwnjwjwnjwjjjwnjwjwjwnjwjwjjxnAwnAeeeeynAeeHeeeHeAeeHeeeeHee

 上式中()jwHe是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，

000000()()00()(),()()1()()[]2 ()cos(())jwjwjwjwnjwjwnjwjjjwHeHewwynAHeeeeeeeAHewnw



4. 设1,0,1()0,nxn其它将()xn以4为周期进行周期延拓，形成周期序列()xn，画出()xn和()xn的波形，求出()xn的离散傅里叶级数()Xk和傅里叶变换。

解： 画出x(n)和()xn的波形如题4解图所示。

231

422

004444()[()]()1 ()2cos()4jknjknjknnjkjkjkjkXkDFSxnxneeeeeeke





,

()Xk以4为周期，或者

11111222

24111024441sin1()2()1sin1()4jkjkjkjkjknjkjkjkjkjknkeeeeXkeekeeee





,

()Xk以4为周期

422()[()]()()44 ()()22 cos()()42jwkkjkkXeFTxnXkwkXkwkkewk







5. 设如图所示的序列()xn的FT用()jwXe表示，不直接求出()jwXe，完成下列运算： （1）0()jXe；

（2）()jwXedw；

（5）2()jwXedw 解： （1）703()()6jnXexn

（2）()(0)24jwXedwx （5）7223()2()28jwnXedwxn 6. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）211()(1)()(1)22xnnnn；

（3）3()(),01nxnauna 解： （2）

2211()()1221 1()1cos2jwjwnjwjwnjwjwXexneeeeew



（3） 301()()1jwnjwnnjwnjwnnXeauneaeae 7. 设: （1）()xn是实偶函数，

（2）()xn是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，()xn的傅里叶变换性质。 解：

令 ()()jwjwnnXexne

（1）x(n)是实、偶函数，()()jwjwnnXexne 两边取共轭，得到 *()()()()()jwjwnjwnjwnnXexnexneXe



因此*()()jwjwXeXe 上式说明x(n)是实序列，()jwXe具有共轭对称性质。 ()()()[cossin]jwjwnnnXexnexnwnjwn 由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么 ()sin0nxnwn

因此()()cosjwnXexnwn 该式说明()jwXe是实函数，且是w的偶函数。 总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换()jwXe是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于x(n)是实序列，()jwXe具有共轭对称性质，即

*()()jwjwXeXe

()()()[cossin]jwjwnnnXexnexnwnjwn

由于x(n)是奇函数，上式中()cosxnwn是奇函数，那么()cos0nxnwn 因此()()sinjwnXejxnwn 这说明()jwXe是纯虚数，且是w的奇函数。 10. 若序列()hn是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: ()1cosjwRHew 求序列()hn及其傅里叶变换()jwHe。 解：

/211()1cos1[()]()221,12()1,01,120,01,0()(),01,12(),00,()()12cos2jwjwjwjwnReeneeejwjwnjwjwnHeweeFThnhnenhnnnnnhnhnnnhnnwHehneee











其它n

12. 设系统的单位取样响应()(),01nhnauna，输入序列为()()2(2)xnnn，完成下面各题： （1）求出系统输出序列()yn； （2）分别求出()xn、()hn和()yn的傅里叶变换。 解： （1）

2()()*()()*[()2(2)] ()2(2)nnnynhnxnaunnnaunaun （2） 202()[()2(2)]121()()112()()()1jwjwnjwnjwnjwnnjwnjwnnjwjwjwjwjwXenneeHeauneaeaeeYeHeXeae







 13. 已知0()2cos(2)axtft，式中0100fHz，以采样频率400sfHz对()axt进行采样，得到采样信号()axt和时域离散信号()xn，试完成下面各题： （1）写出()axt的傅里叶变换表示式()aXj； （2）写出()axt和()xn的表达式； （3）分别求出()axt的傅里叶变换和()xn序列的傅里叶变换。 解： （1）

000()()2cos() ()jtjtaajtjtjtXjxtedttedteeedt





 上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以 表示成：

00()2[()()])aXj

（2） 0ˆ()()()2cos()()aannxtxttnTnTtnT 0()2cos(), xnnTn 0012200,2.5sfradTmsf

（3）

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数字信号处理-标准答案-第二章

数字信号处理-标准答案-第二章

第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0 即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

数字信号处理课后习题答案

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数字信号处理（姚天任江太辉）第三版课后习题答案第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-nej（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k = 2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n) 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n). 解 ω(n)=x(n)*h 1(n)=∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n)=∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

数字信号处理 答案 第二章

数字信号处理 答案 第二章

第二章判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（ ） 685ππ+n （ ） )8(π-ne j （ ）343ππ+n 解 对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于)5(16516取k k =。

（ ）对照复指数序列的一般公式 ωσj + 得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（ ）对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，又343ππ+n ＝ -2π343ππ-n ＝ 6143-n π ，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于 )3(838取k k =在图 中， 和 分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的 和 的线性卷积以得到系统的输出 ，并画出 的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 的每一个取样值。

≥ δ δδ δ δδ δ δ∑∞-∞=--kkn knuku a)()( ∑∞-∞=-kknaaa n--+111计算线性线性卷积λn解： ∑∞-∞=-kknuku)()(∑∞=-)()(kknuku ≥ 即∑∞-∞=-kk knuku)()(λ∑∞=-)()(kk knukuλ λλ--+111n≥即 λλ--+111n图 所示的是单位取样响应分别为 1 和 2 的两个线性非移变系统的级联，已知1 δ δ2 n 求系统的输出解 ω 1∑∞-∞=k k u )( δ δω 2∑∞-∞=k k k u a )(∑∞-=3n k ka≥已知一个线性非移变系统的单位取样响应为 n- 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

信号处理-习题(答案)

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数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2。

1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a （j Ω)还原,其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1（t ）=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t )，y 2(t ）有无失真？为什么？分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。

解:已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t ）=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1(t ）无失真；因为x 2（t )=cos5πt ,而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。

2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析:利用信号的采样定理及采样公式来求解.错误!采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m○，2采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz,f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz (2）由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果.第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3。