罗尔定理万能构造公式
罗尔定理是微积分中的一个重要定理，通常用来证明一些函数在一些
区间上存在一个点，其导数为零。这个定理在数学教育中经常被提到，因
为它具有简单且易于理解的推导过程。
罗尔定理的完整表述如下：如果一个函数$f(x)$满足以下条件：
1.在闭区间$[a,b]$上连续；
2.在开区间$(a,b)$上可导；
3.$f(a)=f(b)$。
则存在一个点$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。
罗尔定理可以看作是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。拉格朗日中
值定理是说如果一个函数$f(x)$满足以下条件：
1.在闭区间$[a,b]$上连续；
2.在开区间$(a,b)$上可导；
则存在一个点$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
相比于拉格朗日中值定理，罗尔定理的条件更为严格，因为它要求函
数在区间的两个端点上的函数值相等。但正是这个严格的条件使得罗尔定
理在数学教育中容易理解和应用。
一般情况下，罗尔定理用于证明一些函数在开区间上存在一个点，其
导数为零。证明过程如下：
首先，由于$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是连续的，根据闭区间上的连
续函数的性质，可以知道存在两个点$p$和$q$，使得$f(p)$是$f(x)$在区
间上的最大值，$f(q)$是$f(x)$在区间上的最小值。
接下来，考虑两种情况：
1. 如果$f(x)$在区间内的所有点上的函数值都相等，即$f(x)=c$，
其中$c$为常数。此时，任意点$c \in (a,b)$满足$f'(c)=0$。
2. 如果$f(x)$在区间内的一些点上的函数值不相等。根据函数在闭
区间上连续的性质，可以知道$f(x)$在区间上必须取到其最大值和最小值。根据罗尔定理的条件，$f(a)=f(b)$。因此，根据最大值和最小值的性质，必然存在一个点$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。
可以看到，罗尔定理的证明过程非常简单和直观。它通过连续函数的
最大值和最小值的特性，以及函数在两个端点上的函数值相等，得出了导
数为零的结论。
在实际应用中，罗尔定理经常用于证明函数的性质，比如证明函数在
一些区间上单调递增或递减；证明函数在一些区间上存在极值等。通过利
用罗尔定理，可以推断函数的导数为零的点，从而得出函数的性质。
总结来说，罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它利用连续函数在
闭区间上的最大值和最小值的性质，以及函数在两个端点上的函数值相等，推导出函数在区间上存在导数为零的点。这个定理在数学教育中常常被提到，因为它的推导过程简单且易于理解。通过应用罗尔定理，可以证明函
数的性质，从而推断函数的导数为零的点，进一步研究函数的行为。
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理 洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 ②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+ Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项
高等数学公式 ·平方关系： s i n^2(α)+c o s^2(α)=1 t a n^2(α)+1=s e c^2(α) c o t^2(α)+1=c s c^2(α)·积的关系： s i nα=t a nα*c o sα c o sα=c o tα*s i nα t a nα=s i nα*s e cα c o tα=c o sα*c s cα s e cα=t a nα*c s cα c s cα=s e cα*c o tα ·倒数关系： t a nα·c o tα=1 s i nα·c s cα=1 c o sα·s e cα=1 直角三角形A B C中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： c o s(α+β)=c o sα·c o sβ -s i nα·s i nβ c o s(α-β)=c o sα·c o sβ +s i nα·s i nβ s i n(α±β)=s i nα·c o sβ±c o sα·s i nβ t a n(α+β)=(t a nα+t a n β)/(1-t a nα·t a nβ) t a n(α-β)=(t a nα-t a n β)/(1+t a nα·t a nβ) ·三角和的三角函数： s i n(α+β+γ)=s i nα·c o s β·c o sγ+c o sα·s i nβ·c o s γ+c o sα·c o sβ·s i nγ-s i n α·s i nβ·s i nγ c o s(α+β+γ)=c o sα·c o s β·c o sγ-c o sα·s i nβ·s i nγ-s i nα·c o sβ·s i nγ-s i n α·s i nβ·c o sγ t a n(α+β+γ)=(t a nα+t a nβ+t a nγ-t a nα·t a nβ·t a n γ)/(1-t a nα·t a nβ-t a n β·t a nγ-t a nγ·t a nα) ·辅助角公式： A s i nα+ B c o sα =(A^2+B^2)^(1/2)s i n(α+t)，其中 s i n t=B/(A^2+B^2)^(1/2) c o s t=A/(A^2+B^2)^(1/2) t a n t=B/A A s i nα+ B c o sα =(A^2+B^2)^(1/2)c o s(α-t)，t a n t=A/B ·倍角公式： s i n(2α)=2s i nα·c o sα =2/(t a nα+c o tα) c o s(2 α)=c o s^2(α)-s i n^2(α)= 2c o s^2(α)-1=1-2s i n^2(α) t a n(2α)=2t a nα /[1-t a n^2(α)] ·三倍角公式： s i n(3α)=3s i nα -4s i n^3(α) c o s(3 α)=4c o s^3(α)-3c o sα ·半角公式： s i n(α/2)=±√((1-c o s α)/2) c o s(α/2)=±√((1+c o s α)/2) t a n(α/2)=±√((1-c o s
浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用 摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性. 关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数 一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述 若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导； ()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广 2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且 ()()lim lim f x f x A x x a b ==+- →→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=. 证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令 ()()()()(0),, ,,,0,. f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪ =∈⎨⎪ -=⎩ 容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使 ()()0F f ξξ''==. (2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，
当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与 ()()2 2 ,x f x ，即()()1 2 f x f x c ==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在 []()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=； (3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间. 做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果. 1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则 ()g t 在,22ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而 ()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>， 于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=； 2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换 ()() t m a x t m t -= -，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使 ()0g τ'=，而 ()() ()() 2 ( )m a m a m g f m τττ--''=-， 于是取() (),m a a m ττ ξ-∈+∞-= ，就有()0f ξ'=. 3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换 ()(),t b s x t t s -=- s t b <<，其中b 为负数，
编号 几种高等数学中的构造函数法 摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用. 关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法 中图分类号 O172 The constructor of higher mathematics Chengyan Instructor Wang Renhu (N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China) Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application. Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法 分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明. 例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式 成立. 分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证 需证 f(ξ)- ' f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡ =0,而等式左边可转化为⎢f(x)- b-a⎣ ⋅x ⎤ ,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ '
精心整理内容概要
习题3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ξ。 （1） ]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2） ]30[3)(,,x x x f -=。 知识点：罗尔中值定理。 思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。 解： )5.即为所（2∴ f (f '★2.思路 解 ∴5(01)12,ξ±?= ，使(1)(0) ()10 f f f ξ-'=-，验证完毕。 ★3.已知函数 4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。 解：要使 (2)(1)()21 f f f ξ-'=-，只要3 415ξξ=?=(12)ξ,= 即为满足定理的ξ。 ★★4.试证明对函数 r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为][a,b ，则函数r qx px y ++=2在][a,b 上连续，在) (a,b 内可导，从而有 ()() ()f b f a f ξb a -'= -，即a b r qa pa r qb pb q ξ-++-++=+)()(222， 解得2 a b ξ += ，结论成立。 ★5.函数 3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。 知识点：柯西中值定理。 思路解，所以满 ★★★6.存在ξ思路，然后再证明)0(F ()()()0F ξf ξξf ξ''=+=，即() ()f ξf ξξ '=- 。 注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使() ()f x f x x '=- ，只要 ∴只要设辅助函数)() (x xf x F = ★★7.若函数 )(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f ==
高等数学十大定理公式 摘要： 1.高等数学概述 2.高等数学中的十大定理公式 3.总结 正文： 【高等数学概述】 高等数学是数学的一个重要分支，主要研究多元函数微分学、积分学、级数、常微分方程、线性代数等。高等数学在工程、物理、化学等自然科学领域中具有广泛的应用，是这些学科的基础。在高等数学的学习过程中，理解和掌握一些重要的定理和公式对于提高解题能力至关重要。 【高等数学中的十大定理公式】 1.洛必达法则：求极限的一种方法，通过求导来解决极限问题。 2.泰勒公式：用多项式来表示函数的近似值，可以用来求解函数的值、导数和误差。 3.柯西中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的值等于该点的导数。 4.罗尔定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且在区间端点的函数值相等，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的导数等于0。 5.牛顿- 莱布尼茨公式：定积分与原函数的关系，可以用来求解定积分。 6.积分中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可积，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的积分等于该点的平均值。
7.拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的积分等于该点的导数与区间长度的乘积。 8.柯西- 施瓦茨不等式：求和的不等式，可以用来求解最值问题。 9.空间解析几何中的向量公式：用来求解向量的模、夹角和投影。 10.微分方程解法：一阶微分方程的解法，如分离变量法、常数变易法等。 【总结】 高等数学中的十大定理公式是学习高等数学的重要基础，对于解决各类问题具有指导意义。
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 ②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足 P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)； P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0） =Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）
罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用 本科毕业论文 题目罗尔定理在函数零点问题中的应用 系别数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 指导教师 评阅教师班级级2班 姓名学号 年 5 月 10 日 目录 摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………? 引言……………………………………………………………………………………… (1) 1概念及定理 (1) 2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3) 2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)
2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应 用 (4) 2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应 用 (5) 2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问 题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5) 2.4.2 Hermite多项 式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8) 2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应 用 (9) 结束 语……………………………………………………………………………………… (10) 参考文 献……………………………………………………………………………………… (11) 致 谢……………………………………………………………………………………… (12) 摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎 推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： kdx kx C =+⎰（k 为常数） 1 1u u x x dx C u +=++⎰ 1ln dx x C x =+⎰ 21 arctan 1dx x C x =++⎰ arcsin x C =+ cos sin xdx x C =+⎰ sin cos xdx x C =-+⎰ 2 21sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰ 2 21csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰ sec tan sec x xdx x C =+⎰ csc cot csc x xdx x C =-+⎰ x x e dx e C =+⎰ ln x x a a dx C a =+⎰ 两个重要极限： 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln 1 (log )ln x x a x x x x x x x x x x a a a x x a '='=-'=⋅'=-⋅'=' = 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arccot )1x x x x x x '= '='= +'=- +0sin lim 1 1lim(1)x x x x x e x →→∞=+=
三角函数公式： sin 22sin cos ααα= 2222cos 22cos 112sin cos sin ααααα=-=-=- 22sin cos 1αα+= 22sec 1tan αα=+ 零点定理： 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 上至少一点ε，使()0f ε=。 （考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性） 罗尔定理：如果函数()f x 满足三个条件： （1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =， 那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使得()' 0f ε=。 （选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题） 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足 （1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导， 那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使等式()()()()f b f a f b a ε'-=-成立。（证明题） 定积分应用相关公式 函数的平均值()1b a y f x dx b a = -⎰ 空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离12d M M ==
考研概率论需要注意的公式 五大公式包括减法公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。下面进展详细介绍： 一、减法公式，P(A-B)=P(A)-P(AB)。此公式来自事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。 二、加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。此公式来自于事件关系中的和事件，一样结合概率的可列可加性总结出来。学生还应把握三个事件相加的加法公式。 以上两个公式，在应用当中，有时要结合文氏图来讲明会更清楚明白，同时这两个公式在考试中，更多的会出此刻填空题当中。因此记住公式的形式是全然要求。 3、乘法公式，是由条件概率公式变形取得，考试中较多的出此刻计算题中。在温习进程中，局部同窗分不清楚何时用条件概率来求，何时用积事件概率来求。例如“第一次抽到红球，第二次抽到黑球〞时，因为第一次抽到红球也是未知事件，因此要考虑它的概率，这时用积事件概率来求;若是“在第一次抽到红球的情形下，第二次抽到黑球的概率〞，这时因为抽到了红球，它已是一个确信的事实，因此这时不用考虑抽红球的概率，直接用条件概率，求第二次取到黑球的概率即可。 4、全概率公式 五、贝叶斯公式 以上两个公式是五大公式极为重要的两个公式。结合起来学习比拟容易明白得。第一，这两个公式第一背景是一样的，即，完成一件情形在逻辑或时刻上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为缘故。第二，若是是“由因求果〞的问题用全概率公式;是“由果求因〞的问题用贝叶斯公式。例如;买零件，一个零件是由A、B、C三个厂家生产的，别离次品率是a%，b%，c%，此刻求买到次品的概率时，就要用全概率公式;假设买到次品了，问是A厂生产的概率，这就要用贝叶斯公式了。如此咱们第一分清楚了何时用这两个公式。 那么，在应用进程中，咱们要注意的问题确实是，如何划分完备事件组。通常咱们用“因〞来做为完备事件组划分的依据，也确实是看第一时期中，有哪些全然领件，依照他们来划分整个样本空间。 高等数学是每位考生都很畏惧的考试科目，在温习进程中有许多公式和概念命名及其相似或定理条件区分不开，致使最后题目做不出来。为了帮忙列位考生避免显现如此的错误，中公考研总结整理了易混淆的概念和公式。 一、几个易混概念 持续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数持续，左持续，右持续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。 二、罗尔定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上持续(其中a不等于b)，在开区间(a,b)上可导，且
高等数学专升本复习公式定理最全版
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='⋅-='⋅='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222⎰ ⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
考研概率论需要注意的公式五大公式包括减法公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。下面进行详细介绍： 一、减法公式，P(A-B)=P(A)-P(AB)。此公式来自事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。 二、加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。此公式来自于事件关系中的和事件，一样结合概率的可列可加性总结出来。学生还应掌握三个事件相加的加法公式。 以上两个公式，在应用当中，有时要结合文氏图来解释会更清楚明白，同时这两个公式在考试中，更多的会出此刻填空题当中。所以记住公式的形式是大体要求。 3、乘法公式，是由条件概率公式变形取得，考试中较多的出此刻计算题中。在温习进程中，部份同窗分不清楚何时用条件概率来求，何时用积事件概率来求。比如“第一次抽到红球，第二次抽到黑球”时，因为第一次抽到红球也是未知事件，所以要考虑它的概率，这时用积事件概率来求;若是“在第一次抽到红球已知的情况下，第二次抽到黑球的概率”，这时因为已知抽到了红球，它已是一个肯定的事实，所以这时不用考虑抽红球的概率，直接用条件概率，求第二次取到黑球的概率即可。 4、全概率公式 五、贝叶斯公式 以上两个公式是五大公式极为重要的两个公式。结合起来学习比较容易理解。首先，这两个公式首先背景是相同的，即，完成一件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为原因。其次，若是是“由因求果”的问题用全概率公式;是“由果求因”的问题用贝叶斯公式。例如;买零件，一个零件是由A、B、C三个厂家生产的，别离次品率是a%，b%，c%，此刻求买到次品的概率时，就要用全概率公式;若已知买到次品了，问是
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值 定理+罗尔(总7页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理 洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 ②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘
积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx →x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出 A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)； P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ
高等数学公式 导数公式： 根本积分表： kdx kx C =+⎰〔k 为常数〕 1 1u u x x dx C u +=++⎰ 1ln dx x C x =+⎰ 21 arctan 1dx x C x =++⎰ arcsin x C =+ cos sin xdx x C =+⎰ sin cos xdx x C =-+⎰ 2 21sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰ 2 21csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰ sec tan sec x xdx x C =+⎰ csc cot csc x xdx x C =-+⎰ x x e dx e C =+⎰ ln x x a a dx C a =+⎰ 两个重要极限： 三角函数公式： sin 22sin cos ααα= 2222cos 22cos 112sin cos sin ααααα=-=-=- 22sin cos 1αα+= 22sec 1tan αα=+ 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln 1 (log )ln x x a x x x x x x x x x x a a a x x a '='=-'=⋅'=-⋅'=' = 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arccot )1x x x x x x '= '='= +'=- +0sin lim 11 lim(1)x x x x x e x →→∞=+=
零点定理： 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 上至少一点ε，使()0f ε=。 〔考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性〕 罗尔定理：如果函数()f x 满足三个条件： 〔1〕在闭区间[],a b 上连续； 〔2〕在开区间(),a b 内可导； 〔3〕在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =， 那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使得()'0f ε=。〔选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题〕 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足 〔1〕在闭区间[],a b 上连续； 〔2〕在开区间(),a b 内可导， 那么在(),a b 内至少有一点()a b εε<<，使等式()()()()f b f a f b a ε'-=-成立。〔证明题〕 定积分应用相关公式 函数的平均值()1b a y f x dx b a =-⎰ 空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离)()(1221121d M M x x y y z == -+-+- 向量b 在向量a 方向上的投影() Pr j cos ,a b b a b = 设() ,,x y z a a a a =，() ,,x y z b b b b =，那么 两向量的数量积cos x x y y z z a b a b a b a b a b θ⋅=⋅=++是一个数，θ为a 与b 的夹角； a 与b 的夹角 cos x y z x a b a b a b a a a b θ++= ++⋅+。 两向量的向量积x y z x y z i j k a b a a a b b b ⨯=，sin a b a b θ⨯=⋅。 〔考点：利用向量积求三角形的面积〕
内容概要
课后习题全解 习题3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ξ。 （1） ]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2） ]30[3)(,,x x x f -=。 知识点：罗尔中值定理。 思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ =ξf ，得到的根ξ便为所求。 解：（1）∵32)(2 --=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ， ∴ 32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得 )511(4 1 .,ξ-∈= 即为所求。 （2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴ x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令 ()0 f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数 25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。 知识点：拉格朗日中值定理。 思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0) ()10 f f f ξ-'= -，若得到的根]10[,ξ∈则 可验证定理的正确性。 解：∵32 ()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴2542 3 -+-=x x x y 在 区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又 2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+， ∴要使 (1)(0) ()010 f f f ξ-'= =-，只要：(01),ξ= ， ∴(01),ξ∃= ，使(1)(0) ()10 f f f ξ-'=-，验证完毕。 ★3.已知函数 4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。