届全国大联考高三第二次联考数学试卷
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2007届全国大联考高三第二次联考数学试卷
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={y| y=x+1},N={(x ,y)|x 2 +y 2
=1},则M N 中元素的个数是 A .0 B .1 C .2 D .多个
2.已知复数1z =a+i ,z 2=1+a 2 i ,若1
2z z 是实数,则实数a 的值等于 A .1 B .-1 C .-2 D .2
3.函数()x log a x f a x +=在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为4
1-,最大值与最小值之积为8
3-,则a 等于 A .2 B .
21 C .2或21 D .32 4.若函数f (x)= e x sin x ,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为
A .2
π B .0 C .钝角 D .锐角 5.已知实数a 、b 满足等式b log a log 32=,下列五个关系式:
① 0 其中不可能成立的关系式有 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3,f (1)=-1,则f (2006)等于 A .0 B .1 C .一1 D .2 7.设f (x)的定义域为R 且存在反函数,若f (2x -1)与()1x f 1+-互为反函数,且已知()x f lim 1x -+∞→存在,则()x f lim 1x -+∞ →)等于 A .1 B .21 C .2 D .2 3 8.函数() 2ax x log y 2a +-=在[2,+∞]上恒为正数,则实数a 的取值范围是 A .0 5 D . 2θ 的概率 是 A .21 B .31 C . 127 D . 12 5 10.已知函数f (x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0 时,f(x) 的图象如图所示,则不等式f (x) cosx<0的解集是 A .(-3,-2π) (0,1) (2 π,3) B .(-2π,一1) (0,1) (2 π,3) C .(-3,-1) (0,1) (1,3) D .(-3,- 2π) (0,1) (1,3) 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上 11.在平面直角坐标系中,x 轴的正半轴上有4个点,y 轴的正半轴上有5个点,这9个点 任意两点连线,则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个. 12.已知函数()()()()⎩⎨⎧≥<-+-=1x a 1x 2 a 7x 1a 2x f x 在(-∞,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是_________________. 13.若() ()()()()11112210921x a 1x a 1x a a 2x 1x -++-+-+=-+ ,则 ()()=+++-+++2104221131a 10a 4a 2a 11a 3a ______(用数字作答). 14.如图正六边形ABCDEF 中,AC ∥y 轴.从六个顶点中任取三点,使这三点能 确定一条形如y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的抛物线的概率是 _______________. 15.购买手机的“全球通”卡,使用时须付“基本月租费” (每月须交的固定月租费)50元,在市区通话时每分钟另收 话费0.4元;购买“神州行”卡,使用时不收“基本月租费”, 但市区内通话时每分钟另收话费0.6元.若某用户每月手机 费预算为120元,则在这两种手机卡中,购买__________卡 较合算. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16.(本小题满分12分) 二次函数f (x)满足f (x+1)-f (x)=2x ,且f (0) =1. (1) 求f (x)的解析式; (2) 在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在y=2x 十m 的图象上方,试确定实数m 的取值范围. 17.(本小题满分12分) 小张有一只放有a 个红球,b 个黄球,c 个白球的箱子,且a+b+c =6 (a ,b ,c ∈N),小刘有一只放有3个红球,2个黄球,1个白球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球,规定:当两球同色时小张胜,异色时小刘胜. (1) 用a 、b 、c 表示小张胜的概率; (2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分,否则得0分,求小张得分的期望的最大值及此时a 、b 、c 的值. 18.(本小题满分14分) 已知函数f (x) = (x -a)(x -b)(x -c). (1) 求证:()x 'f = (x -a)(x -b)+(x -a)(x -c)+(x -b)(x —c); (2) 若f (x)是R 上的增函数,是否存在点P ,使f (x)的图象关于点P 中心对称? 如果存在,请求出点P 坐标,并给出证明,如果不存在,请说明理由. 19.(本小题满分14分) 某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,因此,该年A 型商品定价为每件70元,年销售量为11.8万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为p %的管理费(即销售100元要征收p 元),于是该商品的定价上升为每件100 p 170-元,预计年销售量将减少p 万件. (1) 将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p 的函数,并指出这个函数的定义域; (2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元,则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少? (3) 第二年,商场在所收管理费不少于14万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p 应为多少? 20.(本小题满分14分) 已知函数y= f (x)对于任意实数x ,y 都有f (x+y) =f (x)+f (y)+2xy . (1) 求f (0)的值; (2) 若f (1)=1,求f (2),f (3),f (4)的值,猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n ∈N *);