北师大版数学【选修2-2】《函数的极值》导学案(含答案) - 副本

03课堂效果落实1. 函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( )A ．1，－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1，－3解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. 答案：A2. [2012·陕西高考]设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．答案：D3. [2014·广东高二检测]函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，f (x )取得极小值．答案：24. 如下图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则函数f (x )的极小值点是x ＝________.解析：f ′(x )在x ＝－1两侧的符号满足“左负右正”，则x ＝－1是f (x )的极小值点，同样f ′(x )在x ＝4的两侧的符号也满足“左负右正”，则x ＝4也是f (x )的极小值点．答案：－1和45. 若函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，试求a ，b 的值．解：设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，。

【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.【重点难点】求可导函数的极值的步骤【学习内容】学习过程一、课前准备y，那么函数y=f(x) 在这复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的个区间内为函数；如果在这个区间内0函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数()f x.②令解不等式，得x的范围就是递增区间.③令解不等式，得x的范围，就是递减区间. 二、新课导学※学习探究探究任务一：a b c d e f g h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么y f x在,,,,,,,问题1：如下图，函数()y f x的导数的符号有什么规y f x在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()关系？()律？f a比它在点x a附近其它点的函数值都，看出，函数()y f x在点x a的函数值()f x0. 类似地，函数f x0，右侧()()f a；且在点x a附近的左侧()f b；f b比它在点x b附近其它点的函数值都，()()y f x在点x b的函数值()f x0.而且在点x b附近的左侧()f x0，右侧()新知：y f x的极小值；点b叫做我们把点a叫做函数()f a叫做函数()y f x的极小值点，()y f x的极大值.f b叫做函数()y f x的极大值点，()函数()极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的，刻画的是函数的.试试：（1）函数的极值（填“是”，“不是”）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.。

函数的极值教学设计一．教材分析函数的极值,是北师大选修第三章内容，就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的根底，起着承上启下的作用就整个高中教学而言二．教学目标知识与技能：1、理解极大值、极小值的概念；2、能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3、掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：1、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；2、培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

三．重点与难点重点是会用导数求函数的极值．难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤四．学情分析基于本班学生根底较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程1．引入让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点？〞并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近上下各不同〞，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点〞与“谷点〞，这就是数学上研究的函数的极值引出课题．【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．2．极值的定义[问题1] 观察下面函数图像〔图1〕答复相应的问题问题：函数在点的函数值与它两侧附近的函数值之间有什么关系？[生]：观察分析后发表自己的见解．[师]：总结后给出函数极小值的定义并要求学生类比极小值给出极大值的定义．极小值的定义：函数在点的函数值比点两侧附近其他点的函数值都小，我们把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．[生]：类比得出极大值的定义．[师]：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值；强调极值点是横坐标，极值是纵坐标．【设计意图】使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，了解极值点和极值的概念．图3[问题2] 图3中、、、、、等点中哪些是极小值点？哪些点是极大值点？[变形2] 下面几种说法中正确的选项是__________〔填写正确选项序号〕①函数的极大值是最大值；②函数的极大、极小值是唯一确定的；③函数的极大值一定大于它的极小值；④函数的极值点一定不是区间的端点．[生]：学生抢答；互评．[师]：总评．【设计意图】使学生知道极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念，进一步了解极值点和极值的概念．3 极值与导数的关系[问题1] 图2中极大值点是否也有同样的性质呢？[生]：探究后抢答．[师]：让学生归纳出极大值点处及附近导数符号的一般性结论：学生观察归纳得出；是增减的分界点教师画图验证．可导函数，是极大值点且两侧附近导数左正右负；〔学生类比得出〕是极小值点且两侧附近导数左负有正．【设计意图】通过教师的点拨，帮助学生构建知识体系，完善、深化对知识、规律内涵的认识．[问题3] 如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？如果把函数图象改为导函数的图象呢图5[生]：思考后抢答；互评．[师]：点拨；总评．【设计意图】通过此问题使学生会从原函数及导函数的图象判断极值点，知道导数值为0的点不一定是函数的极值点〔如〕．4．深化某点取得极值的条件[问题1] 函数在极值点处的导数值有什么特征？[问题2] 函数在极值点两侧附近导数符号有什么关系？[问题3] 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？为什么？[生]：思考后抢答；互评．[师]：点拨；总评．可导函数，导数值为0的点，是极值点的必要不充分条件【设计意图】通过层层追问，引导学生从正反方向辨析可导函数在某点取得极值的条件，突破难点，强化重点．5．用导数求极值例4．求函数的极值“问答式〞教师板演师生共同完成后让学生总结用导数求极值的步骤：〔1〕求定义域；〔2〕求导数；〔3〕求导数的零点；〔4〕判符号，〔通常列表〕；〔5〕左正右负，极大值；左负右正，极小值．【设计意图】通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法与步骤，突出本节课的重点，培养学生标准的表达能力．6．稳固练习求以下函数的极值〔1〕〔2〕【设计意图】学生通过练习反应所学知识及标准表达能力，突出本节课的重点7．小结[师问生答，师生共同回忆]a 用导数求函数极值的步骤有哪些？b〔带着此问题预习下一课时〕极值与最值有关系吗？八．板书设计图】给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系．备课反思本节课内容是介绍极值的概念，学会用导数求函数的极值，课时1课时．本设计让学生观察庐山图片并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近上下各不同〞，庐山的连绵起伏形成好多的“峰点〞与“谷点〞，这就是数学上研究的函数的极值引出课题．因为课本中极值概念没有严格的定义，只是从函数的极值与导数的关系引出极值，所以我选择将极值的概念与导数的关系分开来讲，先通过函数图象观察、分析极值的特征后给出极值的概念，然后讨论极值与导数的关系．本节课重在用导数求函数的极值，以及函数的极值点与导数零点并不等价关系的探析，导数的零点只是它成为极值点的必要条件，这也是本节课的重点及难点所在．我们目前研究的根本都是可导函数的极值，因此求极值时先求导数的零点，再区分此零点是否是原函数的极值点．函数的极值点一定是导数的零点吗？要不要问，课本上没有强调函数在极值点处不可导的情况，假设问的话怕偏离主题，这里仍然是值得商榷的．。

3.2.2 最大值、最小值问题学习目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.学习重点：求函数的最值及求实际问题的最值.学习难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.学习过程：（一）回顾复习：在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的( )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）复习引入1、问题1：观察函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值．2、思考：⑴ 极值与最值有何关系？⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？⑶ 怎样求最大值与最小值？例1、求函数y ＝44313+-x x 在区间[0, 3]上的最大值与最小值．（三）讲授新课1、函数的最大值与最小值一般地，设y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，在[a ，b ]上y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。

函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。

2、求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值，可分为两步进行：⑴ 求y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；⑵ 将y ＝f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．例2．求函数y ＝x 4－2x 2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．例3. 求函数]4,0[,2)(∈+=x x x x f 的最大值和最小值.例4：证明不等式（1）已知x ＞1，求证：x ＞ln(1＋x ).（2）已知x ＞0，求证：1+2x ＞x e2.小值点？分别是极大值点还是极）判断（的值；、、）求常数（时取得极值，且在已知例121.1)1(1)0()(.523±=-=±=≠++=x c b a f x a cx bx ax x f小结：函数的导数的三个应用，求单调性，求极值和求最值，这三个方面是密切联系的，一定要掌握方法和步骤，多去做题，熟能生巧。

1.2 函数的极值课后训练案巩固提升A组1.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图像,则x12+x22等于( )A.23B.43C.83D.123解析:∵函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点(0,0),(1,0),(2,0),∴d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0.∴b=-3,c=2.∴f'(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-43=83.答案:C2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图像可能是( )解析:由函数f(x)在x=-2处取得极小值,可知x<-2时f'(x)<0,则xf'(x)>0;x>-2时,f'(x)>0,则当-2<x<0时,xf'(x)<0,当x>0时,xf'(x)>0.答案:C3.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于点(1,0),则f(x)有( )A.极大值为427,极小值为0B.极大值为0,极小值为427C.极小值为-427,极大值为0D.极大值为-427,极小值为0解析:∵f'(x)=3x2-2px-q,∴f'(1)=3-2p-q=0. ①又f(1)=1-p-q=0, ②由①②解得p=2,q=-1,即f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1,令3x2-4x+1=0,解得x1=13,x2=1.当x<13时,f'(x)>0;当13<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.∴当x=13时,f(x)有极大值427,当x=1时,f(x)有极小值0.答案:A4.若函数f(x)=sinx-kx存在极值,则实数k的取值范围是( )A.(-1,1)B.[0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)解析:f'(x)=cosx-k,当k≥1时,f'(x)≤0,此时f(x)在定义域上是减少的,无极值,当k≤-1时,f'(x)≥0,此时f(x)在定义域上是增加的,也无极值;当-1<k<1时,令f'(x)=0,得cosx=k,从而可以确定x的值,使f(x)在定义域内存在极值,因此实数k的取值范围是(-1,1).答案:A5.若函数f(x)=x3-6x2+9x-10-a有三个零点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-10)B.(-6,+∞)C.(-10,-6)D.(-∞,-10)∪(-6,+∞)解析:令f(x)=0,得x3-6x2+9x-10=a,令g(x)=x3-6x2+9x-10,则g'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).由g'(x)=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,g'(x)>0,g(x)是增加的;当1<x<3时,g'(x)<0,g(x)是减少的.所以g(x)的极大值为g(1)=-6,g(x)的极小值为g(3)=-10.作出函数g(x)的大致图像如图所示.函数f(x)有三个零点,即直线y=a与函数g(x)的图像有三个交点,所以-10<a<-6,故选C. 答案:C6.函数f(x)=-lnx+x的极小值等于.,令f'(x)=0,则x=1.解析:f'(x)=1-1x当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表所示:故f(x)的极小值是f(1)=1.答案:17.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围是. 解析:由题意知,f'(x)=3x2+2x-a,则f'(-1)·f'(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得1<a<5,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)上没有极值点.答案:[1,5)8.如图是y=f(x)导数的图像,对于下列四种说法:①f(x)在[-2,-1]上是增加的;②x=-1是f(x)的极小值点;③f(x)在[-1,2]上是增加的,在[2,4]上是减少的;④x=3是f(x)的极小值点. 其中正确的是 .解析:根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断. 答案:②③9.设函数f(x)=a 3x 3+bx 2+cx+d(a>0),且f'(x)-9x=0的两根分别为1,4. (1)当a=3且曲线y=f(x)的图像过原点时,求f(x)的解析式; (2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a 的取值范围. 解(1)由f(x)=a 3x 3+bx 2+cx+d,得f'(x)=ax 2+2bx+c.∵f'(x)-9x=ax 2+2bx+c-9x=0的两根为1,4, ∴{a +2b +c -9=0,16a +8b +c -36=0,a =3. ∴{a =3,b =-3,c =12.又f(x)=a 3x 3+bx 2+cx+d 过原点, ∴d=0.∴f(x)=x 3-3x 2+12x.(2)∵a>0,∴f(x)=a3x 3+bx 2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点等价于f'(x)=ax 2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立.由(1)知a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0, ∴2b=9-5a,c=4a.∵f'(x)≥0在(-∞,+∞)内恒成立, ∴Δ=(2b)2-4ac=(9-5a)2-16a 2 =9(a-1)(a-9)≤0.∴a ∈[1,9],即a 的取值范围为[1,9]. 10.导学号88184036已知函数f(x)=x-alnx(a ∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数f(x)的极值.解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ax.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f'(x)=1-2x(x>0),∴f(1)=1,f'(1)=-1.∴y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f'(x)=1-ax =x-ax,x>0,可知①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增加的,函数f(x)无极值.②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a,∵x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取极小值a-alna,无极大值.B组1.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数图像如图所示,则函数f(x)的极小值是( )A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c解析:由导函数的图像可知,f(x)在(-∞,0)上是减少的,在(0,2)上是增加的,所以f(x)在x=0时取得极小值为c.答案:D2.设函数f(x)=x3-4x+a,0<a<2,若f(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则( )A.x1>-1B.x2<0C.x2>0D.x3>2解析:∵函数f(x)=x3-4x+a,0<a<2,∴f'(x)=3x2-4.令f'(x)=0,得x=±2√33, ∵在x ∈(-∞,-2√33)上,f'(x)>0; 在x ∈(-2√33,2√33)上,f'(x)<0; 在x ∈(2√33,+∞)上,f'(x)>0.∴f (-2√33)是极大值,f (2√33)是极小值. 又∵f(x)的三个零点为x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,可得x 1<-2√33,-2√33<x 2<2√33,x 3>2√33,根据f(0)=a>0,且f (2√33)=a-16√39<0,可得2√33>x 2>0.答案:C3.已知f(x)=x 3-6x 2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论: ①f(0)·f(1)>0;②f(0)·f(1)<0;③f(0)·f(3)>0;④f(0)·f(3)<0. 其中正确的结论序号为 .解析:设g(x)=x 3-6x 2+9x=0,则x 1=0,x 2=x 3=3,其图像如图(1).图(1)要使f(x)=x 3-6x 2+9x-abc 有3个零点, 须将g(x)的图像向下平移,如图(2).图(2)又f'(x)=3x 2-12x+9=0时,x 1=1,x 2=3,即得f(1)是极大值,f(3)是极小值,所以f(0)·f(1)<0,f(0)·f(3)>0. 答案:②③4.导学号88184037已知函数f(x)=13x 3+12(a-1)x 2+ax(a ∈R).(1)若f(x)在x=2处取得极值,求f(x)的递增区间.(2)若f(x)在区间(0,1)内有极大值和极小值,求实数a 的取值范围. 解f'(x)=x 2+(a-1)x+a(1)因为f(x)在x=2处取得极值,所以f'(2)=0. 所以4+2(a-1)+a=0.所以a=-23. 所以f'(x)=x 2-53x-23=(x +13)(x-2). 令f'(x)>0,则(x +13)(x-2)>0, 所以x>2或x<-13.所以函数f(x)的递增区间为(-∞,-13),(2,+∞).(2)因为f(x)在区间(0,1)内有极大值和极小值,所以f'(x)=0在(0,1)内有两个不等实根,对称轴为x=-a -12,所以{ Δ>0,0<-a -12<1,f '(0)>0,f '(1)>0,即{Δ=(a -1)2-4a >0,-1<a <1,a >0,1+a -1+a >0,所以0<a<3-2√2.5.导学号88184038已知函数f(x)=alnx-bx 2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2. (1)求a,b 的值;(2)若方程f(x)+m=0在区间[1e ,e]内有两个不等实根,求m 的取值范围.解(1)∵f'(x)=ax -2bx,f'(2)=a2-4b,f(2)=aln2-4b,∴a2-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2,解得a=2,b=1.(2)f(x)=2lnx-x 2,设h(x)=f(x)+m=2lnx-x 2+m, 则h'(x)=2x -2x=2(1-x 2)x, 令h'(x)=0,得x=1(x=-1舍去).当x∈[1e,1)时,h'(x)>0,h(x)是增加的; 当x∈(1,e]时,h'(x)<0,h(x)是减少的.则方程h(x)=0在[1e ,e]内有两个不等实根的充要条件是{ℎ(1e)≤0,ℎ(1)>0,ℎ(e)≤0.解得1<m≤1e2+2.。