广东省广州市2017届高三下学期第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案

惠州市2014届高三第二次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式： 球的体积公式：343V R π=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位）的虚部为（ ）.A 1.B 1- .C 1± .D 02．设集合{3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B = （ ） .A (1,2) .B [1,2] .C [1,2).D (1,2]3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3,a a a ==,则9S =（ ）.A 72- .B 54- .C 54 .D 724. 按右面的程序框图运行后,输出的S 应为（ ） .A 26 .B 35 .C 40 .D 575.“1a =”是“直线1l :210ax y +-=与2l :(1)40x a y +++=平行”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是 （ ）.A 16π .B 14π .C 12π .D 8π7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ）.A 7 .B 9 .C 10 .D 158．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（）.A π .B 2π .C 3π .D 4π二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．若向量(2,3),(4,7),BA CA ==则BC = .10. 若tan()2πα-=，则sin 2α= .11. 已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为 .12.若6(x 展开式的常数项是60，则常数a 的值为 .13．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩则(2)g -的值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

江西省南昌市2017届高三第一次模拟数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{lg }A x y x ==，集合{1}B y y ==，那么()U A C B =（ ）A ．φB ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1,)+∞ 2.若复数321z i=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．i - C ．1 D ．i3.已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y （1,2,3,i =…，n ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为^0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本的中心点(,)x yC ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg . 5.若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）A ．BC ．13-D ．136.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．2log 101-B ．22log 31-C ．92D ．6 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，若()1f α=，则3()2f πα+=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．28.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线21y x =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则cos AOB ∠=（ ）A ．10 B ．10- C ．910 D ．910-9.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱.A ．28B ．32C ．56D ．7010.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323 B ．643C ．16D ．32 11.抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若124x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[1,2]x ∈时，()ln 1f x x x =-+，若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 21ln 2(,)86--⋃ln 21ln 21(,)68-- B ．ln 21ln 21(,)68-- C ．1ln 21ln 2(,)86-- D ．1ln 2ln 21(,)86-- 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在多项式65(12)(1)x y ++的展开式中，3xy 项的系数为 ．14.已知单位向量12,e e 的夹角为3π，122a e e =-，则a 在1e 上的投影是 ．15.如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．16.已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，345S S S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）； （2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用X 元，求X 的分布列及数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，2AD DC BC ===，4AB =，PAD ∆为正三角形.（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）设AD 的中点为E ，求平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角的余弦值.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为12,A A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，点(4,0)B ，2F 为线段1A B 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 的交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A M 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21. 已知函数2()(24)(2)x f x x e a x =-++（0,x a R >∈,e 是自然对数的底数）. （1）若()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）当1(0,)2a ∈时，证明：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-+-，a R ∈.（1）若不等式()21f x x ≤--有解，求实数a 的取值范围； （2）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．120; 14. 32; 15. (3)π; 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=， 即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =． ∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=-- ． 18.（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为 (0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）．（Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000， 则：3464(0)()5125P X ===，1231424(10000)()105125P X C ==⨯⨯=221233141410827(20000)()()()()105105500125P X C C ==⨯⨯+⨯⨯==31132111449(30000)()10101051000P X C C ==+⨯⨯⨯⨯=222233111427(40000)()()10101051000P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=223113(50000)()10101000P X C ==⨯⨯=311(60000)()101000P X ===． ∴ X 的分布列为101000020000300004000050000600001252501251000100010001000EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 9000=（元）．19.（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图所示：有1,AE DE BD ===∴在ABD ∆中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .（Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件2AD D C BC ===，则1AE DE ==，PE =BD = 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E，B，P ．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示：则在Rt CDF ∆中，有CF =，1DF =，∴(C -．（另解:可不做辅助线，利用2AB DC =求点C 坐标）∴(1,CD =，(1,0,PD =- ，设平面PDC 的法向量1111(,,)n x y z =则11111100n CD x n PD x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =11y =，11z =-， ∴面PDC的法向量1,1)n =-．同理有(0,0,PE =，(PB =- ，设平面PBE 的法向量2222(,,)n x y z =则22222200n PE n PB x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取21y =，则2x =20z =，∴面PBE的法向量2n =．--10分设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，∴12cos cos ,n n θ=<>==． 即平面PEB 与平面PDC． 20.（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ② 联立方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-= 所以椭圆C 的方程为22143y x +=． （Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上． 假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点N 8(5，则联立直线120A M l y -+和直线220A N l y +-可得点G 据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*）因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 联立两直线方程得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证：1212322y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+，即证1212410()160x x x x -++= 将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++ 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上． 方法二：设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N2212222122222212123(1)3(1)444(4)(4)(4)(4)x x y y y x x x x x --=⇒=⇒=-----， 整理得：121225()80x x x x -++= 又1,,A M G112y x =+ ①又2,,A N222y x =- ② 将①与②两式相除得： 222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===-------- 即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++， 将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得：2332()92x x +=- 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y . 由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，则212232k x x +=，21226412k x x -=，12||x x -==由1,,A M G 112yx =+ ①由2,,A N 222y x =- ② ①与②两式相除得：32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====------++-+ 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上． 21.（Ⅰ）'()2(24)2(2)(22)2(2)x x x f x e x e a x x e a x =+-++=-++， 依题意：当0x >时，函数'()0f x ≥恒成立，即(22)22x x e a x -≥-+恒成立，记(22)()2xx e g x x -=+，则22(2)(22)'()(2)x x xe x x e g x x +--==+22(222)0(2)x x x e x ++>+， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=-，所以21a -≤-，即12a ≥； （Ⅱ）因为['()]'220x f x xe a =+>，所以'()y f x =是(0,)+∞上的增函数， 又'(0)420f a =-<，'(1)60f a => ，所以存在(0,1)t ∈使得'()0f t = 且当0a →时1t →，当12a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)．又当(0,)x t ∈，'()0f x <，当(,)x t ∈+∞时，'()0f x >， 所以当x t =时，2min()()(24)(2)tf x f t t e a t ==-++．且有(1)'()02tt e f t a t -=⇒=-+∴2min ()()(24)(1)(2)(2)t t t f x f t t e t t e e t t ==---+=-+-．记2()(2)t h t e t t =-+-，则22'()(2)(21)1)t t th t e t t e t e t t =-+-+-+=--（-0<，所以(1)()(0)h h t h <<，即最小值的取值范围是(2,2)e --． 22.（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t，联解241y xx a y ===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==， 又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ∴当122t t =时，有2122212311036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意． 当122t t =-时，有21222121442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=-=-⋅=-=⎩，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136a =或94． 23.（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112ax x -+-≤．而由绝对值的几何意义知||1|1|22a ax x -+-≥-，------- 2分由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤．∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a< ∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------- 7分如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a+∞单调递增，∴min ()()1322a a f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．。

广东省广州市2014届高三下学期4月综合测试（二）数学（理科）试题（word 版）2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是图1俯视图侧视图正视图 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则A E A F ⋅的值 为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，D CB A a 图3重量/克0.0320.02452515O 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =，∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin A ==.……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1= ∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分M OH FEDCB A∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分 在△AME 中，AE =1AM =，EM = ∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE 中，tanAOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分∴直线AE 与平面BDE ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414nn n -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n n x x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<.故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。

一、选择题1 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）若0>x 、0>y ,则1>+y x 是122>+y x 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】B 2 ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））在四边形ABCD中,“AB DC =,且0AC BD ⋅=”是“四边形ABCD 是菱形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 3 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）下列命题正确的是 （ ）A ．2000,230x R x x ∃∈++=B ．32,x N x x ∀∈> C ．1x >是21x >的充分不必要条件 D ．若a b >,则22a b >【答案】C4 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如果命题“()p q ⌝∨”是假命题,则下列说法正确的是（ ）A ．p q 、均为真命题B ．p q 、中至少有一个为真命题C ．p q 、均为假命题D ．p q 、中至少有一个为假命题【答案】B5 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知命题p :,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b+=;命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥恒成立,则下列命题是假命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．()p q ⌝∧【答案】B6 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b⊥的充要条件是 （ ）A ．0x =B ．5x =C ．1x =-D ．12x =-【答案】A7 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）“1a =”是“(1)(2)0a a --=”成立的A . 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 【答案】A 8 ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）给出下述四个命题中:①三角形中至少有一个内角不小于60°; ②四面体的三组对棱都是异面直线;③闭区间[a ,b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点;④当k >0时,方程x 2+ ky 2= 1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】解:当k =1时,曲线是圆,故D 错误.其余三个命题都是正确的.选 C ． 9 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知x R ∈,则1x ≥是|1||1|2||x x x ++-=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A10．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x <<C ．1x >- D ．1x >【答案】D 画出直线y x =与双曲线1y x=,两图象的交点为(1,1)、(1,1)--,依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*),显然1x >⇒(*);但(*)⇒/1x >. 11．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）设向量=a ()21x ,-,=b ()14x ,+,则“3x =”是“a //b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A分析:当//a b 时,有24(1)(1)0x x ,解得3x =±;所以3//x a b =⇒,但//3a bx =,故“3x =”是“//a b ”的充分不必要条件12．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题,则 （ ）A ．命题p 、q 均为假命题B ．命题p 、q 均为真命题C ．命题p 、q 中至少有一个是真命题D ．命题p 、q 中至多有一个是真命题 【答案】D 13．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）设命题p:函数y=sin2x 的最小正周期为2π; 命题q:函数y=cosx 的图象关于直线x=2π对称,则下列的判断正确的是 （ ）A ．p 为真B ．⌝q 为假C ．p ∧q 为假D ．p q ∨为真【答案】C14．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）“22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B15．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）下面是关于复数21z i=- 的四个命题:1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为.A 23,p p .B 12,p p .C 24,p p .D 34,p p【答案】C 16．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）设x,y ∈R,则“x=0”是“复数x+yi为纯虚数”的A 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））“|x -1|<2成立”是“x(x -3)<0成立”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 18．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A19．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若a b ≤,则221a b ≤-”; ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”④等比数列{}n a 中,首项10a <,则数列{}n a 是递减数列的充要条件是公比1q >; 其中不正确．．．的命题个数是 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C20．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））设命题p:“若对任意x R ∈,|x+1|+|x-2|>a,则a<3”;命题q:“设M 为平面内任意一点,则 （ ） A ． B ．C 三点共线的充要条件是存在角α,使22sin cos MB MA MC αα=+⋅”,则（ ）A ．p q ∧为真命题B ．p q ∨为假命题C ．p q ⌝∧为假命题D ．p q ⌝∨为真命题 【答案】C解析:P 正确,q 错误:22sin cos MB MA MC αα=+⋅,<==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC,==>A,B,C 三点共线.反之,不成立.例如,A(0,0),B(1,0),C(2,0),BA=(-1,0),BC=(1,0),不存在角a,使向量MA=(sina)^2*向量MB+(cosa)^2*向量 M C ．所以这个命题是假的. 21．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知:230p x x ---≤,:3q x ≤,则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A22．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ,则p ⌝是（ ）A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R【答案】C 二、填空题 23．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）命题“∃0x ∈R,0x e ≤0”的否定是______________.【答案】∀x ∈R,x e >0 24．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知函数()4||21f x a x a =-+.若命题:“0(0,1)x ∃∈,使0()0f x =”是真命题,则实数a 的取值范围为____________.【答案】由“∃)1,0(0∈x ,使得0)(0=x f ”是真命题,得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >. 25．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知命题2:,10,p x R x x ∃∈+-<则命题p ⌝是______________________. 【答案】2,10x R x x ∀∈+-≥三、解答题26．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））已知0a >,设命题p :函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点;命题q :()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值.若()p q ⌝∧是真命题,求实数a 的取值范围.【答案】(本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点,必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.解得1212a -<≤.所以当1212a -<≤时,函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围:方法1:因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥①当1a >时,()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减,()g x 在()0,+∞上无最小值; ②当1a =时,()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-; ③当01a <<时,()g x 在()0,a 上单调递减,在[),a +∞上单调递增,()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-所以当01a <≤时,函数()g x 在()0,+∞上有最小值方法2:因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥因为0a >,所以()10a -+<.所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的要使()g x 在()0,+∞上有最小值,必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数 即10a -≥,即1a ≤所以当01a <≤时,函数()g x 在()0,+∞上有最小值若()p q ⌝∧是真命题,则p ⌝是真命题且q 是真命题,即p 是假命题且q 是真命题所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或解得01a <-或112a <≤ 故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦。

2017届高三理科数学午练（9-4）2016.101. 设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）A ．415x -B ．415xC ．420i x -D ．420i x2. 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．48C ．60D ．72 3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ，x 的值分别为3，2. 则输出v 的值为（ ）A ．9B ．18C ．20D ．35 4. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 斜率的最大值为（ ）A B ．23 C D ．15. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||=||=||DA DB DC ，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||=1AP ，PM MC =，则2||BM 的最大值是（ ）A ．434B ．494CD 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是__________．7. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =， 则5(1)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________.。

2023届新高考高三核心模拟卷（中）数学（二）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分､共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若12i i 1i a b ，其中,a b R ，则1i a b （ ）A. 2B.C.D.2. 设集合{2A x x ∣或 4},1x B xa x a ∣，若A B R ð，则a 的取值范围是（ ） A. 1a 或4aB. 1a 或4aC. 1aD. 4a 3. 已知函数 log 322(0a y x a 且1)a 的图象过定点A ，若抛物线22y px 也过点A ，则抛物线的准线方程为（ ）A. 2xB. =1x C 92x D. 94x 4. 若两个向量a 、b 的夹角是2π3，a 是单位向量，2b ，2c a b ，则向量c 与b 的夹角为（ ） A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π65. 一种高产新品种水稻单株穗粒数y 和土壤锌含量x 有关，现整理并收集了6组试验数据，y （单位：粒）与土壤锌含量x （单位：3mg /m ）得到样本数据 ,1,2,3,4,5,6i i x y i ，令ln i i z y ，并将 ,i i x z 绘制成如图所示的散点图.若用方程e bx y a 对y 与x 的关系进行拟合，则（ ）.A. 1,0a bB. 1,0a bC. 01,0a bD. 01,0a b6. 61x展开式中常数项为（ ） A. 479 B. 239 C. 1 D. 481 7. 已知 f x 是定义域为R 奇函数，当0x 时， 2ln 1f x xx ，则不等式 211ln2f x 的解集为（ ） A. {1}∣ x x B. {0}x x ∣ C. {1}x x ∣D. {0}x x ∣ 8. 在三棱锥A BCD 中，ABC 和BCD △都是边长为A BCD 的表面积最大时，其内切球的半径是（ ）A. 4B.C. 2D. 3二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设1,1a b ，且 1ab a b ，那么（ ）A. a b有最小值2B. 2a b 有最小值7C. ab有最小值3 D. 11a b有最小值3 10. 已知函数 22sin 3sin 1f x x x ，则（ ）A. f x 是偶函数的B. f x 在区间,04上单调递增 C. f x 在 , 上有4个零点D. f x 的值域是 0,611. 已知曲线C 方程为222410 x y x y ，曲线C 关于点1,2m的对称曲线为'C ，若以曲线'C与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为m 的值可能为（ ）A. 1B. 1C. 2D. 012. 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，1112,1,AA A B AD O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，则（ ）A. ,,A M O 三点共线B. 1A M 的长度为1C. 直线AO 与平面11BCC BD. 1A MO △的面积为6三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知双曲线2222:1(01)1y x C a a a 的一个焦点到直线y ax 的距离为45，则C 的离心率为__________.14. 已知 为锐角，且1cos 63，则cos _______．的15. 已知等比数列 n a 的公比为(0)q q ，前n 项和为n S ，且满足1514,a q a a S .若对一切正整数n ，不等式1322n n n m ma mS 恒成立，则实数m 的取值范围为__________.16. 在锐角ABC 中，4,sin sin 2sin BC B C A ，则中线AD 的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列 n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S .（1）求数列 n a 的通项公式；（2）若数列 n b 满足212log n n b a ，设12n n T b b b ，求n T .18. 如图，在四边形ABCD 中，已知4,6AB AD BC .（1）若2,33A C ，求cos BDC 的值； （2）若2CD ，四边形ABCD 的面积为4，求cos()A C 的值.19. 如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22,AB AD E 为线段AB 上一点.（1）求证：11D E A D ；（2）在线段AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D 的大小为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.20. 现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢1,N k k k 局，谁便赢得全部奖金a 元.假设每局甲赢的概率为 01p p ，乙赢的概率为1p ，且每场比赛相互独立.在甲赢了()m m k 局，乙赢了()n n k 局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P甲乙分配奖金. （1）若33,2,1,4k m n p ，求:P P 甲乙； （2）记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当4,2,2k m n 时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率()f p ，并判断当617p 时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b过点1,2，直线:l y x t 与C 交于,M N 两点，且线段MN 的中点为,H O 为坐标原点，直线OH 的斜率为12. （1）求C 的标准方程；（2）已知直线2y kx 与C 有两个不同交点,,A B P 为x 轴上一点.是否存在实数k ，使得PAB 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数 22ln f x ax a x x a R . （1）讨论 f x 的单调性；（2）若 f x 有两个零点12,x x ，证明：122x x a.的2023届新高考高三核心模拟卷（中）数学（二）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分､共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】CD【12题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】7【14题答案】【答案】6【15题答案】 【答案】3256m【16题答案】【答案】 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）12nn a （2）2223,12,223264,13.2n n n n T n n n【18题答案】【答案】（1）4（2）56【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在，23AE【20题答案】【答案】（1）15:1；（2）2(12)11)()(f p p p （617p ），事件A 是小概率事件，理由见解析. 【21题答案】 【答案】（1）22142x y （2）存在，1k 时，P 点坐标2,03；当1k 时，P 点坐标为2,03 【22题答案】【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【公众号：一枚试卷君】为。

湖北省黄石二中2017届高三年级二月份调研考试数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分 ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．）1．若集合{|2,}x M y y x R ==∈,{|1}P y y x ==≥, 则M P ⋂=（ ）A ． {|1}y y >B ． {|1}y y ≥C ． {|0}y y >D ． {|0}y y ≥ 2. 已知命题p 、q,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()sin(2)(0)3f x x πωω=->的最小正周期为π，则函数()f x 的图像的一条对称轴方程是（ ）☆A ．12x π=B ．6x π=C ．512x π=D ．3x π=4．如图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图。

经过12周期后，甲点的位置将移至（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A ．若向量a=(x ，y )，向量b =(－y ，x ), (x y ≠ 0 )，则a ⊥bB ．平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是0))((=-+.C ．点G 是△ABC 的重心，则+GB +CG =D ．△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A6.设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题：（ ）①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β； ③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b . 其中正确命题是:( )A. ④B.③C. ①③D. ②④7.某企业2010年初贷款a 万元，年利率为r ，按复利计算，从2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）万元．A ．1)1()1(55-++r r aB ．1)1()1(55-++r r arC ．1)1()1(45-++r r ar D ．5)1(r ar + 8.已知二次不等式的220ax x b ++>解集为1|x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭且a b >，则22a b a b +-的最小值为9．在棱锥P ABC -中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，Q 为底面ABC ∆内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ 为直径的球的表面积为（ ） A ．100π B ．50π C ．25π D．10．已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A．3 B ．23 C．2D ．59二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．4.向量V=(nnn n a a a a 2,2211++-)为直线y=x 的方向向量，a 1=1,则数列{}n a 的前2011项的和为__________. 12．已知定义在R 上的减函数()f x 的图像经过点(3,2)A -、(2,2)B -，若函数()f x 的反函数为1f -（x ），则不等式12|2(2)1|5f x --+<的解集为 。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知,,O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB += ,则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【答案】A2 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知向量a =(x ,1),b=(3,6),a ⊥b ,则实数x 的值为 （ ）A ．12B ．2-C ．2D ．21-【答案】B3 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(3,4)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转23π后得向量OB ,则点B 的坐标是3.(22A -+--3.(22B ---+3.(22C -+-+ .(4,3)D -【答案】B4 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）OAB ∆,点P 在边AB 上,3AB AP = ,设,OA a OB b ==,则OP =12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -PBA【答案】B5 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①⊗=⊗a b b a ,②()()λλ⊗=⊗a b a b ,③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c , ④若1122(,),(,)x y x y ==a b ,则1221x y x y ⊗=-a b . 恒成立的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 解析: ①恒成立; ② ()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,当0<λ时,()()λλ⊗=⊗a b a b 不成立;③当,,a b c 不共面时,()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c 不成立,例如取,,a b c 为两两垂直的单位向量,易得()+⊗=a b c ()()2⊗+⊗=a c b c ;④由sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,cos ,=⋅<>a b a b a b ,可知2222()()⊗+=⋅ a b a b a b,2()⊗=a b 222222222112212121221()()()()()x y x y x x y y x y x y ⋅-=++-+=- a b a b ,故1221x y x y ⊗=-a b 恒成立.6 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ,则cos 2θ等于（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．2【答案】B 解析:212cos 0cos 20θθ⊥⇔-+=⇔=a b .7 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））在平行四边形ABCD 中,AE →=13AB →,AF →=14AD →,CE 与BF 相交于G 点.若AB →=a ,AD →=b ,则 AG →=（ ）A ．27a +17bB ．27a +37bC ．37a +17bD ．47a +27b【答案】C8 ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b（ ）A ．2B C ．D ．【答案】C9 ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）若向量)1,1(),0,2(==b a ,则下列结论正确的是（ ）A ．1=⋅B ．||||b a =C ．⊥-)(D ．//【答案】C10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）如图2,一条河的两岸平行,河的宽度600d =m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km,水流速度为2km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中 的速度大小为（ ）A ．8 km/hB ．C ．km/hD．10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. 【答案】B11．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）平面四边形ABCD 中0AB CD += ,()0AB AD AC -=⋅,则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】B 由0AB CD += ,得AB CD DC =-=,故平面四边形ABCD 是平行四边形,又()0AB AD AC -=⋅ ,故0DB AC =⋅,所以DB AC ⊥,即对角线互相垂直.12．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知(1,2)=a ,(0,1)=b ,(,2)k =-c ,若(2)+⊥a b c ,则k =（ ）A ．2B ．8C ．2-D ．8-【答案】B13．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（ ）A ．2B ．2-C ．D ．-【答案】B 解析:1cos 22232AB BC AB BC ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））向量(2,0),(,)a b x y == ,若b 与b a - 的夹角等于6π,则|b |的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2 D【答案】A15．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知点A (1,5)-和向量a =(2,3),若3AB a =,则点B 的坐标为（ ）A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14) 【答案】设(,)B x y ,由3AB a = 得1659x y +=⎧⎨-=⎩,所以选D ．16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,//()a a b +,则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．3【答案】【解析】向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,()(2,1)a b m +=+,因为//()a a b +∴(1)2m -+=,3m =-故选C .17．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是 （ ）A ．=a b a b B ．+=+a b a b C．()()= a b c a b cD ．2= a a a【答案】D18．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设向量12(,)a a a = ,12(,)b b b = ,定义一运算:12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m = ,11(,sin )n x x = .点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m n =⊗(其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值及最小正周期分别是 （ ）A ．1,2π B ．1,42π C ．2,π D ．2,4π(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 【答案】C二、填空题19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）已知向量,的夹角为60,12==,_________=+;向量与向量2+的夹角的大小为_________.【答案】632π20．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）如图,在边长为2的菱形ABCD 中,60BAD ∠=,E 为CD 的中点,则___________.AE BD ⋅=BAEDC【答案】121．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）在ABC ∆中90C ∠=o ,BC =2 则=⋅BC AB ________ .【答案】-422．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）若向量a 、b 满足2||||==,与b 的夹角为︒60,则=+||_______【答案】32;23．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知在三角形ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=θ,若D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧).则的取值范围为____.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-37,3524．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知e 1、e 2、e 3为不共面向量,若a =e 1+e 2+e 3,b =e 1-e 2+e 3,c =e 1+e 2-e 3,d =e 1+2e 2+3e 3,且d =xa +yb +zc ,则x 、y 、z 分别为_*****_.【答案】答案:52 ,-12,-1解:由d =xa +yb +zc 得e 1+2e 2+3e 3=(x +y +z )e 1+(x -y +z )e 2+ (x +y -z )e 3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x ＋y －z ＝3，解得:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故x 、y 、z 分别为52,-12,-1.25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知平面向量a2,)(b a a -⊥;则><b a ,cos 的值是_______.【答案】21; 26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的点,则DE CB ⋅的值为____________.【答案】127．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知向量,a b, ()-⊥a b a , 向量a 与b 的夹角为________.【答案】4π三、解答题28．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知(s i n ,c o sa θθ= 、b =(1)若//a b,求tan θ的值;(2)若()f a b θ=+, ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ,且(0)a f =,()6b f π=-,()3c f π=,求AB AC ⋅.【答案】解:(1)//,sin 0a b θθ∴=sin tan θθθ∴⇒(2)(sin 1)a b θθ+=+a b ∴+===(0)a f ∴===()6b f π∴=-==()33c f π∴===由余弦定理可知:222cos 230b c a A bc +-==7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅=== (其它方法酌情给分)。

惠州市2014届高三第二次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式： 球的体积公式：343V R π=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位）的虚部为（ ）.A 1.B 1- .C 1± .D 02．设集合{3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（ ）.A (1,2) .B [1,2] .C [1,2).D (1,2]3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3,a a a ==,则9S =（ ）.A 72- .B 54- .C 54 .D 724. 按右面的程序框图运行后,输出的S 应为（ ） .A 26 .B 35 .C 40 .D 575.“1a =”是“直线1l :210ax y +-=与2l :(1)40x a y +++=平行”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是 （ ）.A 16π .B 14π .C 12π .D 8π7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ）.A 7 .B 9 .C 10 .D 158．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（）.A π .B 2π .C 3π .D 4π二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．若向量(2,3),(4,7),BA CA ==则BC = . 10. 若tan()2πα-=，则sin 2α= .11. 已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z xy =-的最大值为 .12. 若6(x 展开式的常数项是60，则常数a 的值为 .13．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩则(2)g -的值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

★启用前注意保密广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数 学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}22,22A x x B x x =-<<=-<，则A B =（ ）A ．()2,2-B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,4-2．已知复数z 满足1i z z +=+，则z =（ ）A ．12B C ．1D3．已知函数()f x 满足()111f x f x x ⎫⎛+=+⎪-⎝⎭，则()2f =（ ） A ．34-B ．34 C ．32D ．944的正四面体的体积为（ ）A B ．24 C ．32D ．5．设点P 为圆22(3)1x y -+=上的一动点，点Q 为抛物线24y x =上的一动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．1-B ．1C D 26．已知()()2lg 21f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．()(),01,-∞+∞7．设,αβ为锐角，且()cos cos cos ααββ-=，则α与β的大小关系为（ ） A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．不确定8．若0a b >>，且3322a b a b -=-，则11a b+的取值范围是（ ） A ．41,3⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．4,3⎫⎛+∞⎪⎝⎭C ．()1,3D ．()3,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．变量,x y 之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+经过点()10,m ，且相对于点()11,5的残差为0.2，则A ．8m =B ． 2.8b =-C ．36a =D ．残差和为010．已知函数()()2cos cos2f x x x x =-∈R ，则（ ） A ．()f x 的值域是[]3,3- B ．()f x 的最小正周期是2π C ．()f x 关于()πx k k =∈Z 对称D ．()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ） A ．第三名可能获得10分 B ．第四名可能获得6分C ．第三名可能获得某一项比赛的第一名D ．第四名可能在某一项比赛中拿到3分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩过原点()0,0O 作曲线()y f x =的切线，其切线方程为_____________．13．如图是一个33⨯的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________．14．已知数列{}n a 满足11,3,,3,3n n n nn a a a a a ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩记{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，则50S =_____________；若*12,3a k =∈N ，则31k S +=_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项． （1）证明：cos aA b=； （2）求cos B 的值．16．（15分）如图，四边形ABCD是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA BF AD ===3，点G是线段BF 的中点，点H 是BF 的中点．（1）证明：EG ∥平面DAF ； （2）求点H 到平面DAF 的距离．17．（15分）某学校有,A B 两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A 餐厅则后一天继续选择A 餐厅的概率为14，前一天选择B 餐厅则后一天选择A 餐厅的概率为p ，如此往复．已知他第1天选择A 餐厅的概率为23，第2天选择A 餐厅的概率为13．（1）求王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐的概率； （2）求王同学第()*n n ∈N 天选择A 餐厅用餐的概率n P ．18．（17分）设直线12:,:l y l y ==．点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，点M 为AB 的中点，点O 为坐标原点，且1OA OB ⋅=-． （1）求点M 的轨迹方程Γ；（2）设()00,M x y ，求当0x 取得最小值时直线AB 的方程；（3）设点()P 关于直线AB 的对称点为Q ，证明：直线MQ 过定点．19．（17分）函数()f x 的定义域为R ，若()f x 满足对任意12,x x ∈R ，当12x x M -∈时，都有()()12f x f x M -∈，则称()f x 是M 连续的．（1）请写出一个函数()f x 是{}1连续的，并判断()f x 是否是{}n 连续的()*n ∈N ，说明理由； （2）证明：若()f x 是[]2,3连续的，则()f x 是{}2连续且是{}3连续的；（3）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3112f x ax bx =++（其中,a b ∈Z ），且()f x 是[]2,3连续的，求,a b 的值．广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．e 0x y -= 13．72 14．111199633k k --+（前空2分，后空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由题，得()sin sinBcos cosBsin B A A A -=-，()()()sin sin πsin sinBcos cosBsin C A B B A A A =-+=+=+，因为sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，所以()2sin sin sin 2sinBcos A B A C A =-+=，则sin cos sin AA B=， 在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin A a B b=， 因此cos aA b=． （2）在ABC △中，由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，由（1）知cos a A b=，则2222b c a abc b +-=，即2222b c a ac +-=． 因为b 是a 与c 的等比中项，所以2b ac =，从而222ac c a ac +-=，即220a ac c +-=，从而210a ac c⎫⎛+-= ⎪⎝⎭，解得a c =或0a c =<（舍去）在ABC △中，由余弦定理得()222222222cos 222a c c a a c b a a B ac ac ac c +--+-=====因此1cos 2B =． 16．（1）证明：取AF 的中点为M ，连接MD MG ，．因为点,M G 分别是FA 和FB 的中点，所以MG AO ∥，且12MG AB AO ==． 在圆柱OE 的轴截面四边形ABCD 中，,AO DE AO DE =∥． 所以,MG DE MG DE =∥，因此四边形DEGM 是平行四边形．所以EG DM ∥，又EG ⊄平面,DAF DM ⊂平面DAF ，所以EG ∥平面DAF ．（2）解：由圆的性质可知，连接OG 延长必与圆O 交于点H ，连接,OE EH ，因为,OG AF OG ⊂∥平面,OEH AF ⊂平面DAF ，所以OG ∥面DAF ，又因为已证EG ∥平面DAF ，且EG OG G =，所以平面DAF ∥平面OEH ．从而点H 到平面DAF 的距离即为点E 到平面DAF 的距离．以O 为坐标原点，AB 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则()()()30,0,3,0,,0,,2E A D ⎫⎛⎪ ⎝⎭ 所以()()0,3,3,0,0,3AE AD ==，32AF ⎫⎛=⎪ ⎝⎭设(),,n x y z =为平面DAF 的法向量，则由30,30,2n AD z n AF x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩可取()3,1,0n =-因此点E 到平面DAF 的距离323AE n d n⋅===+，即点H 到平面DAF17．（15分）解：（1）设i A =“王同学第i 天选择A 餐厅”()1,2,3i =．()()()()()()1212212121121,;,;,33334P A P A P A P A P A A P A A p ======．由全概率公式，得()()()()()112121*********P A P A P A A P P A A p A =+=⨯+⨯=，解得12p =．设B =“王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐”，则312122313B A A A A A A A A A =++， 因此()()()()312122313213111231534432434212P B P A A A P A A P A A A A =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （2）设n A =“王同学第n 天选择A 餐厅”()*n ∈N ，则()(),1n n n n P P A P P A ==-， 由题与（1）可得()()1111,42n n n n A P A A P A ++==． 由全概率公式，得()()()()()()1111111114242n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A A P P P ++++==+=+-=-+．则1212545n n P P +⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为1240515P -=≠， 所以25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为415，公比为14-的等比数列． 因此12415154n n P -⎫⎛-=⨯- ⎪⎝⎭，即12415154n n P -⎫⎛=+⨯- ⎪⎝⎭．18．解：（1）设()()()1122,,,,,A x y B x y M x y，则1122,y y ==，所以)121212,2,22x x x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪==⎪⎩从而122,2x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因为1OA OB ⋅=-，所以121212121221x x y y x x x x x x +=-=-=-，即121x x =．1=，化简得2212y x -=． 所以点M 的轨迹方程为2212y x -=． （2）由（1）得220112y x =+≥，则0x 的最小值为1，此时01x =或01x =-， 即()1,0M 或()1,0M -．当()1,0M 时，可得121,1x x ==，从而直线AB 的方程为1x =；当()1,0M -时，同理可得直线AB 的方程为1x =-． （3）设()00,M x y ，由（2）知，当()1,0M 时，直线:1AB x =，得()2Q +，直线:0MQ y =； 当()1,0M -时，直线:1AB x =-，得()2Q -+，直线:0MQ y =． 当()00,M x y 是其他点时，直线AB的斜率存在，且)12012121202AB x x x y y k x x x x y +-====--，则直线AB 的方程为()00002x y y x x y -=-，注意到220012y x -=，化简得00:220AB x x y y --=．设(),Q x y ''，则由00021,0220,22x y x y x y ⨯=-'+⎪⨯--='⨯⎪⎩解得Q ⎫， 又()00,M x y，所以00012MQ y y k-+==)00:MQ yy x x -=-，令x =，得0y =，因此直线MQ 过定点)T．19．解：（1）()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．理由如下： 由121x x -=，有()()12121f x f x x x -=-=， 同理当12x x n -=，有()()1212f x f x x x n -=-=， 所以()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．（2）因为()f x 是[]2,3连续的，由定义可得当1223x x ≤-≤时，有()()1223f x f x ≤-≤， 所以()()()()()()()()6644226f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≥， 同理()()()()()()66336f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-≤，所以()()66f x f x +-=， 所以()()()()()()644222f x f x f x f x f x f x +-+=+-+=+-=，即()f x 是{}2连续的， 同理可得()()33f x f x +-=，即()f x 是{}3连续的．（3）由（2）可得()()()()22,33f x f x f x f x +-=+-=，两式相减可得()()321f x f x +-+=即()()()11,f x f x f x +-=是{}1连续的，进一步有()()f x n f x n +-=．当1201x x ≤-≤时，有12223x x ≤+-≤，因为()f x 是[]2,3连续的，所以()()12223f x f x ≤+-≤， 又()()1122f x f x +=+，所以()()12223f x f x ≤+-≤，所以()()1201f x f x ≤-≤，故()f x 是[]0,1连续的．由上述分析可知()111,220,f f f x ⎧⎫⎫⎛⎛-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎝≥'⎭⎭⎨⎪⎩即21,42130,2a b ax b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩ 所以211310,422a ax x ⎡⎤-+≥∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立． 当0a =时，2b =；当0a >时，由23104a ax -+≥，得104a-+≥，即4a ≤．此时4,0;2,1a b a b ====；满足题意． 当0a <时，由23104aax -+≥，得2a ≥-．此时2,3a b =-=，满足题意．综上所述，0,2;4,0;2,1;2,3a b a b a b a b =======-=．。