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最小二乘法线性分类器设计

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题 目: 最小二乘法线性分类器设计 讲课老师: 学生姓名： 所属院系： 专 业： 学 号： 最小二乘法线性分类器设计 1 描述 1.1最小二乘法原理的概述 最小二乘法原理是指测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求出。从几何意义上讲，就是寻求与给定点(,)iixy (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线()ypx。函数()px称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数()px的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

1.2 最小二乘法的基本原理 最小二乘法又称曲线拟合，所谓“拟合”即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。曲线拟合的几何解释：求一条曲线，使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。从整体上考虑近似函数()px同所给数据点(,),iixym (i=0,1,)误差()(0,1,,)iiirpxyim 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 ()(0,1,,)iiirpxyim 绝对值的最大值1maxiimr，即误差向量01(,,,)Tmrrrr的∞—范数；二是误差绝对值的和

0miir，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和20miir的算术平方根，即误差

向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和20miir来 度量误差ir (i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据(,)iixy (i=0,1,…，m)，在取定的函数 类中,求()px,使误差()iiirpxy (i=0,1,…,m)的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(,)iixy (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线()ypx（图1）。函数()px称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数()px的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法。 图1 曲线拟合的最小二乘法 2 方法描述 2.1 通用最小二乘法的算法 设z是一个N*q矩阵(可能有复数部分)，令Y是NR（或nc）空间的一个矢量。线性代数就是要研究方程ZV=Y，详细的写出就是：

如果N〉q，那么方程ZV=Y对于qVC通常没有唯一解，因为方程的个数（N）比未知数的个数1(,,)qvv多。如果没有唯一解，那么最小二乘法问题就变为寻求次优解，找一个矢量qVC，从而ZV尽可能的逼近于Y。

在为一组数据点(,)iixy，i=1,…,N寻求最佳拟合线的问题中，矩阵Z为： 矢量Y和V是： 此时，矩阵积ZV为： 这里的X和U是(0.7)中给出的矢量。这样，寻求矢量V=(m，b)使得ZV最逼近于Y，等效于寻求数据(,)iixy，i=1,…,N的最佳拟合线的斜率和截距。 最小二乘法的通用算法在下面的定理中给出： 定理0.35 设Z是一个N*q矩阵（可能有复数部分），有最大秩且Nq.令Y是NR或nc空间的一个矢量，则有一个唯一的矢量Vqc使得ZV最逼近于Y。并且矢量V是下列矩阵方程的唯一解：Z*Y=Z*ZV

如果Z是一个是矩阵，那么前面的方程变为：TTZYZZV

注意，在最佳拟合线问题中的矩阵z与方程TTZYZZV中的Z是一样的。 证明 这个定理的证明与构造最佳拟合线时给出的证明相似。令1,,qzz是矩阵Z的列矢量，那么11qqZVVZVZ生成的子空间NMC内的点。我们希望找到最接近于Y的点ZV。如图0.11所示，Y-ZV必定正交于M，或者等同于，Y-ZV必定与生成的M的1,,qzz正交。即：,0iiYZVZq 1

图2 Y-ZV必须与1qM=span{z,...,z}正交 这个方程可简写为：Z*(Y-ZV)=0 因为这个（矢量）方程的第i个部分是Y-ZV和iZ的内积。重新整理方程得 Z*Y=Z*ZV 证毕 矩阵Z*Z的维数是q*q，得出该矩阵式满秩的（用Z有最大秩序这个事实）。因此，方程Z*Y=Z*ZV ；有唯一解qVC。 3 最小二乘法matlab实现 基于分类判别的思想，我们期望w1类的输出为y1 = -1,w2的输出为y2 = 1。但实际的输出和期望并不总是相等的。运用最小二乘法（Least Squares Methods），可以让期望输出和真实的输出之间的均方误差最小化，即：

要使得J(w)最小，需要满足正交条件（orthogonality condition）： 可以得到：1ˆ*[]xwRExy ˆw

就是求得的加权向量。其中：

称为自相关矩阵； 称为期望输出和输入特征向量的互相关。 通过最小均方误差算法实现线性分类的程序流程如图3所示： 图3 最小均方误差算法程序流程图 如果数据是非常准确的，那么提高拟合次数，可以拟合的曲线更准确。但是如果数据本身有很大的误差，则多项式的次数提高，曲线将变的不够光滑，预测值将出现较大的偏差。n的选择随已知数据点的分布规律而定。

MATLAB调用的函数格式如下： 线性最小二乘曲线拟合 1多项式拟合 (1) pn=polyfit(x,y,n), y0=polyval(pn,x0), polt(x,y,x0,y0) (2) pn=polytool(x,y,n) 2多元线性拟合 (1)利用回归矩阵建立拟合函数，c=A\y (2)c=regress(y,A) 非线性最小二乘曲线拟合 1 c=nlinfit(x,y,’cfun’,c0) 如：非线性拟合函数213(:)sin()xcfxccecx, function y=cfun(c,x) y=c(1)+exp(c(2)*x)+sin(c(3)*x); x=(0:0.1:1.0)'; y=[1.0 2.5 3.0 2.0 1.5 0.9 0.0 -1.0 -2.0 -1.5 -0.8]'; c0=[1 1 1]; c=nlinfit(x,y,'cfun',c0) 2 nlintool(x,y,’cfun’,c0) 非线性最小二乘问题 [x,rs,rd]=lsqnonlin(,’fun’,x0,lx,ux) 3.1 实际用的最小二乘法Matlab应用1 50个样本进行最小二乘法，该算法的MATLAB程序源代码如下： function MSE1() clear all; close all; %样本初始化x1(1,1)=5.1418; x1(1,2)=0.5950; x1(2,1)=5.5519; x1(2,2)=3.5091; x1(3,1)=5.3836; x1(3,2)=2.8033; x1(4,1)=3.2419; x1(4,2)=3.7278; x1(5,1)=4.4427; x1(5,2)=3.8981; x1(6,1)=4.9111; x1(6,2)=2.8710; x1(7,1)=2.9259; x1(7,2)=3.4879; x1(8,1)=4.2018; x1(8,2)=2.4973; x1(9,1)=4.7629; x1(9,2)=2.5163; x1(10,1)=2.7118; x1(10,2)=2.4264; x1(11,1)=3.0470; x1(11,2)=1.5699; x1(12,1)=4.7782; x1(12,2)=3.3504; x1(13,1)=3.9937; x1(13,2)=4.8529; x1(14,1)=4.5245; x1(14,2)=2.1322; x1(15,1)=5.3643; x1(15,2)=2.2477; x1(16,1)=4.4820; x1(16,2)=4.0843; x1(17,1)=3.2129; x1(17,2)=3.0592; x1(18,1)=4.7520; x1(18,2)=5.3119; x1(19,1)=3.8331; x1(19,2)=0.4484; x1(20,1)=3.1838; x1(20,2)=1.4494; x1(21,1)=6.0941; x1(21,2)=1.8544; x1(22,1)=4.0802; x1(22,2)=6.2646; x1(23,1)=3.0627; x1(23,2)=3.6474; x1(24,1)=4.6357; x1(24,2)=2.3344; x1(25,1)=5.6820; x1(25,2)=3.0450; x1(26,1)=4.5936; x1(26,2)=2.5265; x1(27,1)=4.7902; x1(27,2)=4.4668; x1(28,1)=4.1053; x1(28,2)=3.0274; x1(29,1)=3.8414; x1(29,2)=4.2269; x1(30,1)=4.8709; x1(30,2)=4.0535; x1(31,1)=3.8052; x1(31,2)=2.6531; x1(32,1)=4.0755; x1(32,2)=2.8295; x1(33,1)=3.4734; x1(33,2)=3.1919; x1(34,1)=3.3145; x1(34,2)=1.8009; x1(35,1)=3.7316; x1(35,2)=2.6421; x1(36,1)=2.8117; x1(36,2)=2.8658; x1(37,1)=4.2486; x1(37,2)=1.4651; x1(38,1)=4.1025; x1(38,2)=4.4063; x1(39,1)=3.9590; x1(39,2)=1.3024; x1(40,1)=1.7524; x1(40,2)=1.9339; x1(41,1)=3.4892; x1(41,2)=1.2457; x1(42,1)=4.2492; x1(42,2)=4.5982; x1(43,1)=4.3692; x1(43,2)=1.9794; x1(44,1)=4.1792; x1(44,2)=0.4113; x1(45,1)=3.9627; x1(45,2)=4.2198; x2(1,1)=9.7302; x2(1,2)=5.5080; x2(2,1)=8.8067; x2(2,2)=5.1319; x2(3,1)=8.1664; x2(3,2)=5.2801; x2(4,1)=6.9686; x2(4,2)=4.0172; x2(5,1)=7.0973; x2(5,2)=4.0559; x2(6,1)=9.4755; x2(6,2)=4.9869; x2(7,1)=9.3809; x2(7,2)=5.3543; x2(8,1)=7.2704; x2(8,2)=4.1053; x2(9,1)=8.9674; x2(9,2)=5.8121; x2(10,1)=8.2606; x2(10,2)=5.1095; x2(11,1)=7.5518; x2(11,2)=7.7316; x2(12,1)=7.0016; x2(12,2)=5.4111; x2(13,1)=8.3442; x2(13,2)=3.6931;

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两阶段最小二乘法实例

两阶段最小二乘法实例

两阶段最小二乘法实例
两阶段最小二乘法是一种用于解决线性回归问题的统计学方法。

该方法通常用于数据量非常大，不能在一个统计模型上进行处理的情况下。

在两阶段最小二乘法中，首先将样本数据分成两个部分：训练数据和测试数据。

然后在第一阶段，使用训练数据进行线性回归分析，并得到系数。

在第二阶段，使用测试数据和第一阶段得到的系数进行线性回归分析来预测未知数据的结果。

例如，我们要研究一个新的药物对心脏病有没有疗效。

我们有一个包含100名病人的数据集，其中50名患者服用了药物，另外50名患者没有服用药物。

我们要找出药物对心脏病的治疗效果。

首先，我们将数据集分成训练集和测试集。

比如，我们将70%的数据作为训练数据，30%的数据作为测试数据。

然后使用训练数据进行线性回归分析并得到系数，即药物的治疗效果。

使用测试数据集和得到的系数进行线性回归分析，预测药物的疗效。

最后，我们可以评估模型的性能，即评估预测结果的准确性。

如果预测结果非常准确，那么我们就可以得出药物对心脏病的治疗效果。

线性最小二乘法推导

线性最小二乘法推导

线性最⼩⼆乘法推导代数形式最⼩⼆乘法在中学时讲过。

有⼀些散点有线性的趋势，⽤⼀个⼀次函数去拟合，使得差距最⼩化。

假设数据点为 (x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m) ，使⽤如下⼀次函数去拟合：y=w1x+w0对于x i，采⽤上述函数计算出的结果记为^y i，即：^y i=w1x i+w0定义差距为：m∑i=1(y i−^ y i)2现需要最⼩化这个差距。

显然，上式为关于w0和w1的函数（损失函数）。

为了⽅便，将m∑i=1简记为 ∑ ，记：f(w0,w1)=∑(y i−^ y i)2=∑(y i−(w1x i+w0))2=∑(y2i−2y i x i w1−2y i w0+x2i w21+w20+2x i w0w1)分别对w0,w1求偏导：∂f∂w0=∑(−2y i+2w0+2x i w1)=−2∑y i+2mw0+2w1∑x i∂f∂w1=∑(−2x i y i+2x2i w1+2w0x i)=−2∑x i y i+2w1∑x2i+2w0∑x i令：∂f∂w0=0∂f∂w1=0得：mw0+w1∑x i=∑y iw1∑x2i+w0∑x i=∑x i y i联⽴上⾯两式可得：w0=∑x i∑x i y i−∑y i∑x2i (∑x i)2−m∑x2iw1=∑x i∑y i−m∑x i y i (∑x i)2−m∑x2i注意， ∑x 2i ≠(∑x i )2 ，计算时要细⼼。

矩阵形式记 X 为 m ×n 的矩阵，表⽰有 m 个样本点，特征维数为 n 维； y 为 m 维列向量，表⽰这 m 个样本点的实际值； ˆy为 m 维列向量，表⽰这 m 个样本点的估计值； w 为 n 维列向量，且：ˆy=Xw 则：y −ˆy=y −Xw 上式的结果是⼀个列向量，⽽我们需要的是其平⽅和。

根据矩阵乘法的定义，损失函数为：f (w )=(y −Xw )T (y −Xw )现要求 ∂f∂w ，可 w 是个向量呀，这个该怎么求呢？预备知识【实数值函数对向量求导】∂f∂x =∂fx 1∂f x 2…∂fx n其中， x =x 1,x 2,…,x n T 为 n 维列向量， f 是 x 上 ℜn →ℜ 的函数（也就是， f 的输⼊是 n 维列向量，输出是实数）【向量值函数对向量求导】∂y∂x =∂y 1∂x 1∂y 1∂x 2…∂y 1∂x n ∂y 2∂x 1∂y 2∂x 2…∂y 2∂x n⋮⋮⋱⋮∂y m ∂x 1∂y m ∂x 2…∂y m ∂x n即：(∂y ∂x )ij =∂y i ∂x j其中， x =x 1,x 2,…,x n T 为 n 维列向量， y 是定义在 x 上 ℜn →ℜm 的函数（也就是， y 的输⼊是 n 维列向量，输出是 m 维列向量），上⾯的矩阵称为雅可⽐（Jacobi ）矩阵。

最小二乘法概述

最小二乘法概述

最小二乘法概述
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法的定义为：一种寻找一条线来近似一组数据的方法，它使预测值和实际值之间的差的平方和最小。

这条直线的形式是$y=b+mx$，其中$m$和$b$是使用给定数据集的$x$和$y$值计算的。

最小二乘法解法

最小二乘法解法

最小二乘法解法
最小二乘法是一种常见的线性回归分析方法，用于估计数据的参数。

其基本思想是将数据拟合成一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。

这个距离可以用欧几里得距离或曼哈顿距离来计算。

最小二乘法的数学公式如下：
设有n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，要拟合的直线
方程为y = ax + b，其中a、b为待求的参数。

则最小二乘法的目标是使得所有数据点到直线的距离之和最小，即：
min Σ(yi - axi - b)^2 (i=1,2,...,n)
对a、b分别求偏导，得到两个方程：
Σ(yi - axi - b) = 0
Σ(xi * (yi - axi - b)) = 0
将这两个方程联立，解得：
a = (nΣxiyi - ΣxiΣyi) / (nΣxi^2 - (Σxi)^2)
b = (Σyi - aΣxi) / n
这就是最小二乘法的解法。

需要注意的是，最小二乘法只适用于线性回归分析，即数据应该呈现出线性关系。

对于非线性数据，需要采用其他的回归分析方法。

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