高考物理专题复习二简谐运动的定义和证明
一、简谐运动的定义
1．从动力学角度定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。即回复力F= -kx，这是质点做简谐运动的充要条件。
2．从运动学角度定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律x=A sin(ωt+φ)，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动，这也是质点做简谐运动的充要条件。
⑴简谐运动的位移x是指偏离平衡位置的位移。
⑵回复力F是一种效果力。是质点在沿振动方向上所受的合力。
⑶k是回复力系数，有别于弹簧的劲度系数。
二、简谐运动的证明
⑴证明过程，凡是题目没出现的物理量，必须说明所设物理量的符号及意义。
⑵根据F= -kx证明简谐运动，步骤是：
①建立以平衡位置为原点的坐标系；
②在坐标系上任取位移为x的一点（取在正方向即可，位移必须设为x，不能设为d、A等常量；
③证明沿振动方向的合力（回复力）F= -kx。
⑶若要求质点振动过程的最大动能，最好选从最远点到平衡位置过程用动能定理，沿振动方向的合
外力就是回复力，该过程回复力做的功等于动能变化。（利用F-x图象或用x
W?
=）
F
练习题：
1．单摆摆长为l，摆球质量为m。将摆球向左拉动，使其离开平衡位置的距离为A，此时摆线与竖直方向所成角度很小。无初速释放摆球。取重力加速度为g。
⑴试证明释放后小球的运动是简谐运动，并求回复力系数k；
⑵试求摆球振动过程的最大动能E k。
2．理论研究表明：质量均匀分布的球壳对其内部物体的引力之和为零。设万有引力常量为G ，地球质量
为M ，半径为R ，球心为O ，不考虑地球自转。求： ⑴在地面以下距地心x 处（x ≤R ）的重力加速度大小g x ；
⑵设想沿地球直径开通一条隧道，由隧道上端由静止释放一个质量为m 的小球
a ．试证明小球将做简谐运动；
b ．已知简谐运动的周期为k
m T π2=，其中m 为振子质量，k 为回复力系
数。求小球的振动周期T 。
3．劲度系数为k 的轻弹簧，上端固定在天花板上，下端连接一个质量为m 的小球，静止时小球处于图
中O 位置。现用手竖直向下的力缓慢向下拉小球，使小球下降距离d 后保持静止。突然放手后，小球开始运动。重力加速度大小为g ，弹簧的弹力始终在弹性限度内。 ⑴试证明突然放手后，小球的运动是简谐运动；
⑵以O 为原点，竖直向下为正方向，在F-x 图象中画出振动过程小球所受回复力大小F 随位移x 变化的关系图线，并利用图象求突然放手后，小球第一次通过O 点时的动能E k 。
x
F
O
4．简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式。
⑴一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它是简谐运动。如图1所示，将两个劲度系数分别为k 1和 k 2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端
固定，中间接一质量为m 的小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O 为平衡位置往复运动。请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动。
⑵以上我们是以回复力与偏离平衡位置的位移关系来判断一个运动是否为简谐运动。但其实简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度v 与其偏离平衡位置的位移x 之间的关系就都可以表示为v 2 = v 02 - ax 2，其中v 0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a 为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。请你证明，图1 中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中
的a 与哪些物理量有关。已知弹簧的弹性势能可以表达为212
kx ，其中k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的形变量。
⑶一质点以速度v 0做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示。请结合第⑵问中的信息，分析论证小球在x 方向上的分运动是否符合简谐运动这一特征。
5．质量为m 的质点沿x 轴在[-A ，A ]区间内振动振动，其回复力满足F =-kx 。试推导证明该质点的运动速
度v 与其偏离平衡位置的位移x 之间的关系满足v 2 = v 02 –ax 2，其中v 0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度。指出常量a 与那些物理量有关。 图1
x
6．如图所示，在直角坐标系xOy 的x 轴上与原点O 相距l 的两点M 、N 分别固定有电荷量均为+Q 的两
个点电荷。在x 轴上与原点O 相距d 的P 点（d < 2k m T π=，其中m 为振子质量，k 0为回复力系数。 ⑴试证明释放后该点电荷做简谐运动，并求该简谐运动的周期。 ⑵若同时在x 轴上与原点O 相距d 的P 点和与原点相距d /4的P ′点同时释放两个同样的正点电荷，不考虑这两个正点电荷之间的库仑力，求它们第一次到达原点O 经历的时间之比。 x 参考答案 1．解：⑴l mg k = ⑵l mgA E k 22= 2．解：⑴以Ox 为半径的地球球体的质量为M x ，由x x mg x m GM =2，3334x x M x ∝=πρ，3 3 R x M M x = 得x R GM g x 3 = ⑵a ．如图建立Ox 坐标系，设振动过程任一位置的位移为x ， 以Ox 为半径的地球球体对小球的万有引力充当回复力， x R GMm mg F x 3 -=-=，因此是简谐运动。 b ．简谐运动F=-kx ，因此3R GMm k = 得GM R T 3 2π= 3．解：⑴在平衡位置O 点，设弹簧的伸长量为x 0，mg=kx 0 如图，以O 为原点竖直向下为正方向建立Ox 坐标轴， 振动过程任取一个位置，设振动的位移为x ， 此时回复力F=mg-k (x+x 0) 即F=-kx ，k 为弹簧的劲度系数为常数， 因此小球的运动是简谐运动。 ⑵F-x 图象如右，放手后，小球从最低点到O 点，回复力即合外力，图中阴影面 积表示合外力做的功W=221kd ，由动能定理W=E k ，得E k =221kd 4．解：⑴当小球向右运动到任意位置的位移为x ， 小球所受的两个弹力充当回复力，即F = -(F 1+F 2)= -(k 1+k 2)x 因此小球所做的运动是简谐运动。 ⑵当小球从平衡位置O 运动到任意位置 C 时，设此时小球的速度为v 根据机械能守恒222201*********mv mv k x k x =++ 整理得222120()k k v v x m +=-，其中12k k a m +=为常数。 ⑶A 点速度v 0沿x 正方向，所以v 0即为x 方向上经过平衡位置O 点的速度 设OB 与x 轴成θ角，B 点速度沿x 方向的分量为v x = v 0sin θ B 点在x 方向的投影 x = R cos θ，可得2 2 20 2 22cos sin R x v v x +=+θθ 整理后得x R v v v x 22 02 02 -=，式中22 0R v 为一常数， 所以小球在x 方向上的分运动符合简谐运动这一特证。 x (x 0+x ) 5．设质点在位移x 处速度为v ， 在从x 到O 过程中对质点用动能定理， 回复力做功22 02 121mv mv W -= 由F =-kx ，做出回复力大小F 随位移x 变化的F -x 图象，如图所示， F-x 图线与x 轴所围面积表示该过程回复力做的功，2 2 1kx W = 因此22022 12 12 1mv mv kx -= 整理可得220 2x m k v v -= 其中m k a =，与回复力系数和质点质量有关。 6．⑴设振动过程某一时刻位移为x ，正点电荷所受的两个库仑力的合力充当回复力，方向向左， ()() ()() 2 2222214x l kQqlx x l kQq x l kQq F F F --=??????+---=--= 由于x 整理得x l kQq F ?-=34，其中3 4l kQq k ='为常量， 因此该点电荷做简谐运动。kQq ml k m T 4223π π='= ⑵由上问结果知，该简谐运动周期与振幅无关，因此这两个同样的正点电荷从释放到第一次到达O 点经历的时间为1∶1。 x v x
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