高中平面几何讲义

§9.3 圆的方程圆的定义与方程半径为r概念方法微思考1.二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2.已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件.3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组.(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.4.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.(×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.(×)题组二教材改编2.[P124A组T2]圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.[P132A组T3]以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案 A4.[P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1，3)，则圆C 的方程为______________. 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a ，0)， ∵点A (－1，1)和B (1，3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2，0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠5.若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－22)∪(22，＋∞) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6.(2018·浙江诸暨中学期中)点P (5a ＋1，12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A.|a |<1 B.a <113C.|a |<15D.|a |<113答案 D解析 由圆(x －1)2＋y 2＝1， 得圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，由点P 在圆(x －1)2＋y 2＝1内部得(5a ＋1－1)2＋(12a )2<1，解得|a |<113. 7.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ，1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去). ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.题型一 圆的方程例1 (1)已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a ，0)(a >0)，半径为r ， 则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 方法二 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 方法三 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. (2)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为________________________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 方法一 所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a ). 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， 圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2，即(2a －3)22＋32＝2a 2， 解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝(a －b －3)22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.①由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，①又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ， 即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.跟踪训练1 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________.答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点). 所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练2 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去， 所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 题型三 与圆有关的最值问题例3 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2.在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.跟踪训练3 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3). (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值； (3)求y －x 的最大值和最小值.解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.1.若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2.已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B.(x －1)2＋(y ＋2)2＝25 C.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D.(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2，2)点，只有B 项经过此点.也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2，2)，可以求得圆的半径为5.故选B. 3.(2018·浙江诸暨中学期中)已知直线l 为圆x 2＋y 2＝4在点(2，2)处的切线，点P 为直线l 上一动点，点Q 为圆(x ＋1)2＋y 2＝1上一动点，则|PQ |的最小值为( ) A. 2 B.22＋1 C.1＋ 2 D.23－1答案 B解析 由题意可得，直线l 为y －2＝－(x －2)， 即x ＋y －22＝0，圆心(－1，0)到直线l 的距离为 d ＝|－1＋0－22|2＝2＋22，∴|PQ |的最小值为2＋22－1＝22＋1. 4.圆心在y 轴上，且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＋10y ＝0 B.x 2＋y 2－10y ＝0 C.x 2＋y 2＋10x ＝0 D.x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 5.圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y －1)2＝4 B.(x －2)2＋(y －2)2＝4 C.x 2＋(y －2)2＝4 D.(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2，0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.6.如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－3，－1)∪(1，3) B.(－3，3)C.[－1，1]D.[－3，－1]∪[1，3]答案 D解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1，3].故选D.7.(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆.8.(2019·杭州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________. 答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1).9.若圆C 经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________. 答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m ). 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254.10.(2018·嘉兴测试)已知直角坐标系中A (－2，0)，B (2，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹方程是____________；轨迹为__________. 答案 x 2＋y 2－12x ＋4＝0 一个圆解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |可知|P A |2＝2|PB |2，由两点间的距离公式得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]，整理得x 2＋y 2－12x ＋4＝0，显然其对应的轨迹是一个圆. 11.已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上. (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值.解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示. 设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3，3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示.由圆心C (3，3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ， 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________. 答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14.已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________. 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15.(2018·浙江省温州市高考适应性考试)已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，A (－5，0)，B (b ，0)(b ≠－5)，若|P A ||PB |＝λ(λ为定值)，则λb ＝________. 答案 －1解析 设点P (x P ，y P )，∵|P A |＝λ|PB |，A (－5，0)，B (b ，0)，∴(x P ＋5)2＋y 2P ＝λ2[(x P －b )2＋y 2P ]， ∴x 2P ＋y 2P ＋10x P ＋25＝λ2(x 2P ＋y 2P －2bx P ＋b 2). ∵P 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 2P ＋y 2P ＝1，∴10x P ＋26＝λ2(1－2bx P ＋b 2)， ∴(10＋2bλ2)x P ＝λ2＋b 2λ2－26，①要使①式对x P ∈[－1，1]恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧10＋2bλ2＝0，λ2＋b 2λ2－26＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－15，λ2＝25或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，λ2＝1(不符合题意，舍去).∵λ>0，∴λ＝5，∴bλ＝－1.16.(2018·浙江省绍兴诊断)已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值. 解x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离.当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22， 当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22， 当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22， 当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2. 综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.。

§9.9曲线与方程考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤3．几种常见的求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法．(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件． (3)相关点法若动点P (x ，y )随已知曲线上的点Q (x 0，y 0)的变动而变动，且x 0，y 0可用x ，y 表示，则将点Q 的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法)． 概念方法微思考1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件吗？提示 是．如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，则曲线C 上的点的坐标满足f (x ，y )＝0，以f (x ，y )＝0的解为坐标的点也都在曲线C 上，故f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．2．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？ 提示 曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 教材改编2．[P64T10]已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________． 答案 y 2＝x解析 由已知MF ＝MB ，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．3．[P64T9]设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹方程为________． 答案 x 2＝8y －84．[P64T8]设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．答案 x 2－4y 2＝1解析 设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入x 204－y 20＝1， 得x 2－4y 2＝1. 题组三 易错自纠5．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是________． 答案 一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．6．到定点(0,7)和到定直线y ＝－7的距离相等的点的轨迹方程是________． 答案 x 2＝28y7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是__________．答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 连结OP ，则OP ＝2，∴P 点的轨迹是去掉M ，N 两点的圆，∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．题型一 定义法求轨迹方程例1 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以PM ＋PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．思维升华 定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．跟踪训练1 在△ABC 中，BC ＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且BD －CD ＝22，则顶点A 的轨迹方程为______________． 答案 x 22－y 22＝1(x >2)解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点． 则BE ＝BD ，CD ＝CF ，AE ＝AF .所以AB －AC ＝22<4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2， 所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．题型二 直接法求轨迹方程例2 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ， 则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2， 则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得PF 2＝F 1F 2， 即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，代入直线方程得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x>0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)， 代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， ∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， ∴y 1,2＝－2y 0±4y 20＋64x 02x 0，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．跟踪训练3 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．题型四 参数法求轨迹方程例4 (2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)(m ≠0)，使得过点P 任意作一条抛物线y 2＝4x 的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由． (1)证明 由OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )， 可知点C 的轨迹是直线MN ，∴点C 的轨迹方程为y ＋31＋3＝x －15－1，即y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，得x 2－12x ＋16＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝6±25， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4) ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝2×16－4×12＋16＝0， ∴OA ⊥OB .(2)解 假设存在这样的点P ，由已知弦所在直线斜率不为0，故设弦所在直线为x ＝ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2－4ky －4m ＝0， 设弦端点D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)， 则y 3,4＝4k ±16k 2＋16m 2＝2k ±2k 2＋m ，∴y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4m ， 由已知OD →⊥OE →，∴x 3x 4＋y 3y 4＝0，∴y 234×y 244＋y 3y 4＝m 2－4m ＝0， 解得m ＝0(舍去)或m ＝4， ∴存在点P (4,0)满足条件， 设弦DE 的中点为M (x ，y )， 则x ＝x 3＋x 42，①＝ky 3＋4＋ky 4＋42＝k (y 3＋y 4)＋82＝2k 2＋4， y ＝y 3＋y 42＝2k ，②由①②消去k 得y 2＝2x －8， 这就是所求圆心的轨迹方程．思维升华 利用参数法求轨迹方程：一是选择合适的参数(可以是单参数，也可以是双参数)；二是建立参数方程后消掉参数，消参数的方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等． 跟踪训练4 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F (0,1)，长轴和短轴的长度之比为t . (1)求椭圆的方程；(2)设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右侧部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且OPOQ ＝t t 2－1，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 解 (1)设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，a b ＝t ，解得⎩⎨⎧a 2＝t 2t 2－1，b 2＝1t 2－1.所以椭圆方程为t 2(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＝t 2. (2)设点P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧t 2(t 2－1)x 21＋(t 2－1)y 21＝t 2，y 1＝tx 1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12(t 2－1)，y 1＝t2(t 2－1).由OP OQ ＝t t 2－1和OP OQ ＝|x ||x 1|， 得⎩⎨⎧x ＝t2，y ＝t22，或⎩⎨⎧x ＝－t2，y ＝－t22，其中t >1.消去t ，得点P 的轨迹方程为x 2＝22y ⎝⎛⎭⎫x >22和x 2＝－22y ⎝⎛⎭⎫x <－22. 其轨迹为抛物线x 2＝22y 在直线x ＝22右侧的部分和抛物线x 2＝－22y 在直线x ＝－22左侧的部分．1．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且P A ＝1，则点P 的轨迹方程是________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2 解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连结MA ，PM ， 则MA ⊥P A ，且MA ＝1，又∵P A ＝1，∴PM ＝MA 2＋P A 2＝2， 即PM 2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP →＋AP →|＝2，则P 点的轨迹方程是________________． 答案 4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0解析 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AP →＝(x －1，y －2)，OP →＋AP →＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.3．在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹方程是________． 答案 x ＋2y －5＝0解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________________． 答案 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(a －x )，y －b ＝－2y ，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.由题意得，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．5．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________． 答案 y 2－x 248＝1(y ≤－1)解析 由两点间距离公式，可得AC ＝13，BC ＝15，AB ＝14，因为A ，B 都在椭圆上，所以AF ＋AC ＝BF ＋BC ，AF －BF ＝BC －AC ＝2<14，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支．由c ＝7，a ＝1⇒b 2＝48，F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，由P A ＝2PB ， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.7．直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点连线的中点的轨迹方程是______________．答案 x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1)解析 直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴的交点为A (a,0)，B (0，2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.因为a ≠0且a ≠2，所以x ≠0且x ≠1.8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，垂足分别为A 1，B 1，O 1，则AA 1＋BB 1＝2OO 1＝4，由抛物线定义得AA 1＋BB 1＝F A ＋FB ，所以F A ＋FB ＝4>2，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，其方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．9.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是________．答案 椭圆解析 可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．10．如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是____________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1—→＋PF 2—→， 又PF 1—→＋PF 2—→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.11.如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (2,1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴，求证：直线AB 的斜率为定值． (1)解 由已知可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)． 因为点P (2,1)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2. 故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)证明 由题意知k AP ＋k BP ＝0，所以y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0.所以x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，所以x 1＋24＋x 2＋24＝0，所以x 1＋x 2＝－4.所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 214－x 224x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－1.所以直线AB 的斜率为定值．12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程． 解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，轨迹C 为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝24k 2±(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)2(1＋4k 2)，∴x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3) ＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83.13．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是________． ①x ＋y ＝5； ②x 2＋y 2＝9； ③x 225＋y 29＝1； ④x 2＝16y .答案 ②解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.①中，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；②中，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； ③中，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；④中，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．14．设点P (x ，y )是曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)上的动点，且满足x 2＋y 2＋2y ＋1＋x 2＋y 2－2y ＋1≤22，则a ＋2b 的取值范围为________． 答案 [2，＋∞)解析 设F 1(0，－1)，F 2(0,1)，则满足x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2＝22的点P 的轨迹是以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆，其方程为x 21＋y 22＝1.曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)为如图所示的菱形ABCD ，C ⎝⎛⎭⎫1a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，1b . 由于x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2≤22， 所以菱形ABCD 在椭圆上或其内部， 所以1a ≤1，1b ≤2，即a ≥1，b ≥22.所以a ＋2b ≥1＋2×22＝2.15．已知过点A (－3,0)的直线与x ＝3相交于点C ，过点B (3，0)的直线与x ＝－3相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为______________． 答案 x 29＋y 294＝1(y ≠0)解析 设点M (x ，y )，C (3，m )，D (－3，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －6y ＋3(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，所以3|m ＋n |(m －n )2＋36＝3，所以mn ＝9，又直线AC 与BD的交点为M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋3＝y －m x －3，yx －3＝y －n x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6y x ＋3，n ＝－6yx －3，所以－36y 2x 2－9＝9，所以点M 的轨迹方程为x 29＋y 294＝1(y ≠0)．16．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离的积等于常数a 2(a 2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离的积是4，又a 2>4，所以曲线C 不过原点，即①错误； 设动点P 在曲线C 上，因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确； 因为12F PF S＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2， 即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确．。

平面几何 图形集 2018·03浙江奥数网专家 过伯祥一. 基本图形与基本结论用综合法解平几题，一般可先问：（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！） 发现了什么基本图形?有什么基本结论可以利用么? 从（几十个）基本图形、基本结论入手:1. (三角形的内切圆、旁切圆的性质)基本图形：三角形的内切圆、旁切圆，及其在边上的切点.基本结论一: 三角形内切圆的性质（可用a 、b 、c 表出与切点有关的诸线段.）2AM ＝AB ＋AC ＋BC ＝2p ；2AG ＝AB ＋AC －BC ；GM ＝BC 等. [参练习1图] 基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若D 为内切圆的切点，F 为旁切圆的切点，则有BD ＝CF ＝CM ＝p －b ；S ＝p r ； S ＝（AB ＋AC －BC ）A r ÷2等. [参练习1图]2.(圆与弧、角，三角形五心的性质)基本图形：三角形及其外接圆，外心，内心.基本结论三: 三角形角B 平分线与其外接圆的交点G 有性质: GI ＝GA ＝GC ； ∠BIC ＝90°＋21∠A ；∠BOC ＝2∠A ；abc ＝4RS 等． 基本结论四:顺向全等的三角形保角，即对应边的夹角保持相等．顺向全等的三角形（如△ADE 与△GOI ）的定义:两三角形全等；且对应顶点的排列顺序相同. 顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各对应边的夹角同为锐角或钝角.3. (圆与幂，证两线垂直的新法)与圆的幂，与证线段垂直有关的 问题！基本结论五: 一点关于一圆的幂： PR ·PC ＝PO 2－r 2.基本结论六: 两线垂直的条件AO ⊥AQ 2－AP 2＝OQ 2－OP 2.4.(圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸)基本结论七: 一角为直角、锐角、钝角的条件 当CH ⊥AB时，∠BCA 为直角CH 2＝AH ·BH ； ∠BCA 为锐角CH 2＞AH ·BH ； ∠BCA 为钝角CH 2＜AH ·BH. 要证∠RIS 是锐角,只要证:BI ⊥SR ，BI 2＞BS ·BR.证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆．※5.（多圆与等幂轴，即根轴的性质）一个与圆的根轴有关的问题．根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线．A基本结论八: 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在根轴上．由任意点P 到两圆O 、O 1的切线PE 、PF ，有PE 2－PF 2=2PH ×OO 1. （PH 垂直于根轴，H 为垂足.PE ＞PF.）※6．（三角形诸要素间的关系）基本结论九：三角形的内半与外半 r ＝4R sin2A sin 2B sin 2C； 2r ≤R ； 基本结论十： 三角形的角 s i n 2A＝()()bcc p b p --；三角形的角平分线a t ＝()a p bcp c b -+2＝2cos 2Ac b bc +．二. 常用的辅助线添法用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！这样添辅助线，你是怎么想到的? 是从什么情境 中想出来的?想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法．7.(对称添线，从结论想到的)考虑到∠ADE ＝∠ADF ，为了把DE 与DF 拉直！用三角形不等式证明线段的不等关系 作出E 点关于BC 的对称点E 1，使新四线段CE 1、CF 、DE 1、DF 大致能形成一个三角形.．可能还要利用塞瓦图景！8.(平移添线，使分散的线段BE 、CF 、AD 集中到一处)C把线段EB 、FC 平移到DI 、DJ 处，与AD 集中在一个四边形AIDJ 中！于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式的方向相同，可能用四边形的托勒密定理证线段的不等关系么？．9.(旋转添线，构造全等形)两个结论，证明了一个，另一个即“同理可证”．考虑到圆内接四边形的外角的性质及条件BC＝CD！绕着C点旋转图形的一部分：把△CDF转到△CBH处！这就增多了相等线段、相等角，与比例线段、平行线等．可以一试！BA※ 10.(距离比,三角法)先证A 、C 、U 共线（余仿此！）.考察相交线形成的角的图景：即APUS 与CRUQ 两个四边形形成的图景．利用锐角三角函数，比例线段与相似形．注意到AP ＝AS ；CR ＝CQ 等．※ 11．(由要用的证法想到了辅助线)有多种证法！一种想法是：欲利用三圆的等幂轴共点的性质来证．这就要：构造出三个适当的圆，使三条对角线恰好为每两个圆的一条等幂轴．——想法引导出辅助线的一例．三. 常用方法平几题有多种非纯几何证法！这也反映了平几与数学各科的紧密联系与优势． 三角法,向量法,代数法, 解析法，面 积法等12.(三角法, 充要条件)BP三角法的要点是；设定能确定本问题情境的几个基本量后，使重要的相关量都能用基本量表示出来．基本量:R 、α（∠ACD ）、β（∠BCE ），再令∠DCE ＝γ. 以R 、α、β（γ）为基本量,如何表出PQ,AP,BQ?13.(向量法，比例关系)向量法的要点是：选定几个向量为基向量后.重要的相关向量均能用基向量表示出来.取任一点为原O 点，以OP 、OQ 、OA 、OB 为基向量．14. (代数法,几何最值)只要证什么？可归结为证什么？；先把问题三角化，转化为证一个与半角相关的不等式； 再令x A2sin，化为证一个代数不等式——代数化.15.( 对称法,三角法)Y中垂线，角平分线作为图形的对称轴！只要去证相关的面积比为1.用什么面积公式比较合适?把各个比集中到一直线上，以便化简.圆的角；共圆点．多处梅涅劳斯图景．要证这个，可化归为证什么？一步步倒推分析！CBB※17．(同一法)CD ⊥AB 与 CH ⊥AB 且DH ⊥AB 同一．因为过一点只能作某直线的一条垂线.四. 思路的方向思路的方向与选择合适的方法，这两者都很重要: 你自以为，解题要点、思路方向选准了么? 从题情出发，试选择一种合适的方法!18.(代数法，几何计算)求三角形的面积的公式： S ＝p r ＝()()()c p b p a p p ---＝22R sin A sin B sin C＝Rabc4. 猜想的作用: 可能有: △BGF ∽△CGE. 如果相似的话…，怎样证明它们相似?BDB地位对等的利用.比如，对于△BGF与△CGE，同理可证!!19.（同一法，利用同理可证！！）证三点共线的方法：综合法，同一法，向量法.P点关于△ADC，与Q点关于△ABC地位对等.20.(多个托勒密定理的图景)BDD11条件利用于添辅助线；托勒密定理的图景. 要求最小值的结论的启示: 最小值与不等式；要求f （P ）的最小值,就是要证f （P ）不小于某一个值.※21.（四边形各边中点图景，辅助线）三角形各边中点与中位线定理．y ＝EG ＋FH ，x ＝AC ＋BD. 于是,目标是推出: y ≤?x .因此,可以归结为推证:EG ≤?,FH ≤?.直线段不大于同端点的曲线段之和.※22. (阿氏圆)阿氏圆:到两定点的距离比为定值的点的轨迹.当AB ∶AC 为定值时，A 点的轨迹为∠BAC 的内、外角的平分线与BC 的交点连线为直径的圆.此圆即称为阿氏圆. 又有性质：∠CAP －∠BAP ＝2∠FAP .SF1S13。

BP 1 CQ 2 = , Q 是 CA 上一点, = , AP, BQ 相交于 PC 2 QA 3
A
AR . RP
解 直线 BRQ 是 ΔAPC 的一条截线,所以由 Menelaus 定理得:
Q
PB CQ AR ⋅ ⋅ = 1. BC QA RP
B P
R
C
1
荷马史诗 《伊里亚特》 中的阿伽门农的兄弟叫 Menelaus,特洛伊战争期间的斯巴达王.Menelaus 的妻子就是 Helen,Helen 是 Zeus 与 Leda 的女儿,是古希腊神话中最美丽的女人,Paris 诱拐 Helen 导致特洛伊战争的爆发.我们这里的 Menelaus 是另外一个人,他是公元一世纪的数学家. 6
1.1 线共点:Ceva 定理
Ceva 定理由意大利工程师 Gviovanni Ceva(1647-1734)发表于 1678 年.为了纪念 Ceva, 人们把三角形顶点与其对边上任一点的连线叫做 Ceva 线. Ceva 定理 ABC 是三角形, P, Q , R 分别是直线 BC , CA, AB 上的点.直线 AP, BQ , CR 共 点的充要条件是(使用有向距离) BP CQ AR ⋅ ⋅ = 1. PC QA RB 证明:必要性 设直线 AP, BQ , CR 相交于点 T , 由于 BP 与 PC 的比等于 B 到 AP 的距离与 C 到 AP 的距离的比,所以
因为 ∠ABE = ∠ACF = 90° ,所以
1 SΔCBF 2 ⋅ BC ⋅ CF ⋅ sin ∠BCF AC ⋅ cos ∠BCA HC = = = . SΔBEC 1 ⋅ BC ⋅ BE ⋅ sin ∠CBE AB ⋅ cos ∠ABC HB 2 AD BH CG 所以 ⋅ ⋅ = 1 .由 Ceva 定理 BF , CE , AH 共点. DB HC GA