函数定义域、值域专题教案与练习
一、函数的定义域
1．函数定义域的求解方法
求函数的定义域主要是通过解不等式（组）或方程来获得．一般地，我们约定：如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合．
（1）若)(x f 是整式，则定义域为全体实数．
（2）若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数．??
（3）若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数．
（4）若)(x f 为对数式，则定义域为真数大于零的全体实数。
（5）若)(x f 为复合函数，则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定．如：)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数)]([x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出．
（5）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定．
2．求函数定义域的常见问题：
（1）若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解；
（2）由)(x f y =的定义域，求复合函数)]([x g f 的问题，实际上是已知中间变量)(x g u =的值域，求自变量x 的取值范围问题；
（3）对含有字母参数的函数，求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论；
（4）若是实际问题除应考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．
二、求函数的值域常用方法
（1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数值域求解；
（2）单调性法：利用函数的单调性求解
（3）换元法：通过对函数解析式进行适当换元，可以将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。
三、初等函数：指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域
1.指数函数：)1,0()(≠>=a a a x f x ，定义域：R x ∈；值域：),0()(+∞∈x f ；
2.对数函数：)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，定义域：),0(+∞∈x ；值域：R x f ∈)(
3.幂函数：αx x f =)(（)R ∈α，其定义域、值域随α的取值而不同，但在),0(+∞∈x 都有意义。
四、例题分析
例1：求函数x
x x x f 121
12)(--++=的定义域。
例2：求函数21)2lg()1ln()(-++-+=x
x x x f 的定义域。
例3：已知函数)(x f 的定义域为)4,1(，求函数)(log 2x f 的定义域；
变式：已知函数)2(x f 的定义域为)4,1(，求函数)(x f 的定义域。
例4：已知函数52)(2+-=x x x f ，求：⑴在R 上的值域；⑵)3,1(-∈x 上的值域；
变式1：⑴求函数5222+-=x x y 的值域；⑵)52(log 221+-=x x y 的值域；⑶522+-=
x x y 的值域。
变式2：求函数x x y -+=12的值域。
例：1.求下列函数的定义域：
（1）2
322---=x x x y （2）x x y -⋅-=11
（3）x y --=113
（4）2253x x y -+-=
（5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=x
x x x f 2341 （6）t 是时间，距离()t t f 360-=
2.已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
3.若函数()3123
++-=mx mx x x f 的定义域是R ，求m 的取值范围。
练习：
1.求下列函数的定义域：
（1）()142--=x x f ； （2）()2
1432-+--=x x x x f
（3）()x x f 1
11
11
++=； （4）()()x x x x f -+=01
2.已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=342
x f x f y 的定义域。 三、函数值和函数的值域 例1、求下列函数的值域：（观察法）
（1）2
415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y
例2.求函数3
274222++-+=x x x x y 的值域（反解法）
例3.求函数12--
=x x y 的值域（配方换元法）
例4.求函数()2241
5≥+-=x x x y 的值域（不等式法）
例5.画出函数[]5,1,642
∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。（图像法）
练习：
1.求下列函数的值域:
(1)23+=x y (2)x x f -+=42)(
(3)1+=
x x y (4)x
x y 1+=
2.求下列函数的值域：
（1）242
-+-=x x y （2）12++=x x y （3）322122+-+-=x x x x y
五、练习巩固
1.函数)13lg(13)(2
++-=x x x x f 的定义域是 A ),31(+∞- B )1,31(- C )3
1
,31(- D )31,(--∞ 2.下列函数中，值域是（0，+∞）的是 A 13+-=x x y B )0(12>+=x x y C 12++=x x y D 21
-=x y
3.设⎩
⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x g x 则=)]([x g g __ _____ 。 4．函数x x y 21-+=的值域为 ，函数x x y 21--=的值域是 。
5.已知函数322++=x x y ，根据所给定义域，求其值域．
(1)R x ∈； (2)}0|{≥∈x x x ； (3)]2,2[-∈x ； (4)}2,1,0,1,2{--∈x 。
6.求下列函数的值域：⑴322++=
x x y ；⑵322)21(++=x x y ；⑶)32(log 22++=x x y 。
