导数的单调性极值最值问题综合汇总

例1. 已知f(x)=ex-ax-1.

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解：)(xf=ex-a.

（1）若a≤0，)(xf=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.

若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).

（2）∵f（x）在R内单调递增，∴)(xf≥0在R上恒成立.

∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.

∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.

（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.

∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.

∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.

∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.

方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0(f=0,即e0-a=0,∴a=1.

变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.

（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.

（1）解 由已知)(xf=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，

∴)(xf=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.

∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，)(xf=3x2≥0,

故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.

（2）解 由)(xf=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.

∵-1

在x∈(-1,1)上，)(xf<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.

故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.

（3）证明 ∵f(-1)=a-2

例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.

（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得)(xf=3x2+2ax+b,

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①

当x=32时，y=f(x)有极值，则32f=0,可得4a+3b+4=0 ②

由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.

∴1+a+b+c=4.∴c=5.

（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴)(xf=3x2+4x-4,

令)(xf=0,得x=-2,x=32. 当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x -3 (-3,-2) -2 32,2 321,32 1

y′ + 0 - 0 +

y 8单调递增

↗ 13 单调递减

↘ 2795单调递增

↗ 4 ∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795

变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.

解 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.

导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:

x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2

y′ - 0 + 0 - 0 +

y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13

从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.

例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

解 ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴)(xf=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).

令)(xf>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0

∴f(x)在（-∞,0),,2a上是减函数，在a2,0上是增函数.

①当02时,f(x）在（1，2）上是减函数,

∴f（x）max=f（1）=e-a.

②当1≤a2≤2,即1≤a≤2时，

f(x)在a2,1上是增函数，在2,2a上是减函数，

∴f(x)max=fa2=4a-2e-2.

③当a2>2时，即0

∴f（x）max=f（2）=4e-2a.

综上所述，当0

当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,

当a>2时，f(x)的最大值为e-a.

变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；

（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值. 解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,

f(2)=-2,)(xf=-3x2+4x-1,

)2(f-12+8-1=-5,

∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为

5x+y-8=0.

（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,

)(xf=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),

令)(xf=0,解得x=3a或x=a.

由于a≠0，以下分两种情况讨论.

①若a>0，当x变化时，)(xf的正负如下表：

x (-∞,3a) 3a (3a,a) a (a,+∞)

)(xf - 0 + 0 -

f(x) ↘ 3274a ↗ 0 ↘

因此，函数f(x)在x=3a处取得极小值f（3a），

且f（3a）=-;2743a

函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.

②若a<0，当x变化时，)(xf的正负如下表：

x (-∞,a) a (a,3a) 3a (3a,+∞)

(xf- 0 + 0 -

f(x) ↘ 0 ↗

-3274a ↘

因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；

函数f(x)在x=3a处取得极大值f（3a）,

且f（3a）=-3274a.

22()()(1)()xbfxfxxfx已知函数，求导函数，并确定的单调区间．

2 ()ln(2),()2xfxxfxa已知函数求函数的单调区间． 4321() 412752()[2]fxxxxcxccfxaaa已知函数＝＋－＋有三个极值点．证明：－；若存在实数，使函数在区间，＋上单调递减，求的取值范围．

【解析】(1)证明：依题意，得f '(x)＝x3＋3x2－9x＋c＝0有三个互异的实根．

设g(x)＝x3＋3x2－9x＋c，则g'(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)．

当x<－3时，g'(x)>0，则g(x)在(－∞，－3)上为增函数；

当－3

当x>1时，g'(x)>0，则g(x)在(1，＋∞)上为增函数．

所以函数g(x)在x＝－3时取极大值，在x＝1时取极小值．

当g(－3)≤0或g(1)≥0时，g(x)＝0最多只有两个不同实根．

因为g(x)＝0有三个不同实根，

所以g(－3)>0且g(1)<0，即－27＋27＋27＋c>0，且1＋3－9＋c<0，

解得c>－27且c<5，故－27

123123123123231275()31()()()()()(][]()[2][2](1][2][][2](1]2.11352.cfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxaaaaxaaxxaaxaxxa当－时，有三个极值点，不妨设为、、且－，则＝－－－，所以的单调减区间是－，，，．若在区间，＋上单调递减，则，＋－，或，＋，．若，＋－，，则＋由知，－，于是－23]232[2][2.131aaxxaxaxx若，＋，，则且＋由知，－

又f '(x)＝x3＋3x2－9x＋c，

当c＝－27时，f '(x)＝(x－3)(x＋3)2；

当c＝5时，f '(x)＝(x＋5)(x－1)2.

因此，当－27

所以a>－3且a＋2<3，

即－3

故a<－5或－3

反之，当a<－5或－3

总可找到c∈(－27,5)使函数f(x)在区间[a，a＋2]上单调递减．

综上所述，a的取值范围是(－∞，－5)∪(－3,1)．

【变式练习2】

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a>0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围．

【例3】

已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．

(1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．

【变式练习3】

已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

不等式的证明与恒成立问题

213232()e.21(4)12()23()()()3xfxxaxbxxxfxabfxgxxxfxgx-设函数＝＋＋已知＝－和＝为的极值点．求和的值；讨论的单调性【设－，试比较与例】的大小．

【变式练习4】

已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围．

1．(2010·江苏模拟卷)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．

22()'()()100(0)()0____2()____fxxfxfxfxxxfxR已知函数是定义在上的奇函数，＝，，则不等式的解集是联．．苏2009·北四市考卷

1.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________.

2.若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为____________.

3()1(0)3.12(0)3()[2)()2()0()_____________.()xfxexxxxxfxfxfxfxR＝+已知函数，下列四个命题中：①在，＋上单调递减；②的最大值是；③方程＝有两个不等实根；④在上恒成立．其中说法正确的命题序号是写出所有正确命题的序号

4.设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．