不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(五)带答案新教材高中数学

专题2.2基本不等式及其应用

练基础

1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知

,,0,abc

，320abc，则ac

b的（）

A．最大值是3B．最大值是3

3

C．最小值是3D．最小值是3

3

【答案】B

【解析】由题意得3

2ac

b

，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；

【详解】

因为320abc，所以3

2ac

b

，所以3

32322

3a

ccaca

cc

aba

，等号成立当且仅当3ac.

故选：B.

2．（2021·山东高三其他模拟）已知ab，均为正实数，则“2ab

ab

”是“16ab”的（）

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

取100,2ab可得由2ab

ab

推不出16ab，反过来，由基本不等式可得由16ab能推出2ab

ab

，

然后可选出答案.

【详解】

取100,2ab，则200

2

102ab

ab

，但20016ab，所以由2ab

ab

推不出16ab，

反过来，若16ab，则2

22ababab

abab

，当且仅当4ab时取等号，所以由16ab能推出2ab

ab

，所以“2ab

ab

”是“16ab”的必要不充分条件，

故选：C

3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知ABC的面积是

221

4Sbc

，则ABC的三个内角大小为（）

A．60ABCB．90,45ABC

C．120,30ABCD．90,30,60ABC

【答案】B

【解析】

由ABC的面积是

221

4Sbc

，利用面积公式及基本不等式判断出90A，由b=c得45BC.

【详解】

因为222bcbc，所以

2211

42Sbcbc

（当且仅当b=c时取等号）.

而ABC的面积是1

sin

2SbcA

数学《不等式选讲》高考复习知识点

一、14

1．不等式的解集是 ( )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.

【详解】

恒成立.

故答案选B

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.

2．若关于x的不等式23ax＜的解集为5133xx，则a（ ）

A．2 B．2 C．3 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

由绝对值不等式的性质可知，22329axax＜＜，从而可得到229ax的两个解为2151,33xx，即可求出a的值.

【详解】

由题意可知0a，22329axax＜＜，即22450axax，

故一元二次方程22450axax的解为2151,33xx，

则1212224455,39axxxxaa，解得3a.

故答案为D.

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．

3．已知函数1fxxxa，若2fx恒成立，则a的取值范围是（ ）

A．,22,U B．,31,U C．,13,U D．,04,U

【答案】B

【解析】

【分析】

利用绝对值三角不等式确定()fx的最小值；把()2fx恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a的范围。

【详解】

根据绝对值三角不等式，得

1(1)()1xxaxxaa

()1fxxxa的最小值为1a

()2fxQ恒成立，等价于()fx的最小值大于等于2，即12a≥

12a或12a，1a或3a，故选B。

【点睛】

本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a的取值范围。

4．猜测使2nan对任意正整数n恒成立的最小正整数a的值为（ ）

1 专题21 不等式选讲

【2024年】

1.（2024·新课标Ⅰ）已知函数()|31|2|1|fxxx．

（1）画出()yfx的图像；

（2）求不等式()(1)fxfx的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）7,6.

【解析】

（1）因为3,1151,1313,3xxfxxxxx，作出图象，如图所示：

（2）将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数1fx的图象，如图所示： 2

由3511xx，解得76x．

所以不等式的解集为7,6．

2.（2024·新课标Ⅱ）已知函数2()|21|fxxaxa.

（1）当2a时，求不等式()4fx的解集；

（2）若()4fx，求a的取值范围.

【答案】（1）32xx或112x；（2）,13,.

【解析】

（1）当2a时，43fxxx.

当3x时，43724fxxxx，解得：32x≤；

当34x时，4314fxxx，无解；

当4x时，43274fxxxx，解得：112x；

综上所述：4fx的解集为32xx或112x.

（2）22222121211fxxaxaxaxaaaa（当且仅当221axa时取等号），

214a，解得：1a或3a， 3 a的取值范围为,13,.

3.（2024·新课标Ⅲ）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【高中数学】数学复习题《不等式选讲》知识点练习

一、14

1．对任意xR,不等式22|sin||sin|xxaa恒成立,则实数a的取值范围是（ ）

A．01a B．11a C．12a D．22a

【答案】B

【解析】

【分析】

解法一:（换元法）设sintx,则原不等式可化为22||||ttaa.求函数()||||||ftttta的最小值,从而不等式2||aa可得11a.解法二:（特殊值法）代入2a, 1a,排除错误选项即可.

【详解】

解:解法一:（换元法）

设sintx,则原不等式可化为22||||ttaa.

令()||||||ftttta,则min[()](0)||ftfa,

从而解不等式2||aa可得11a.故选B.

解法二:（特殊值法）

当2a时,因为2|sin||sin2|2sin2|sin|2|sin|2xxxxx,

当且仅当sin0x时,等号成立.

此时2|sin||sin2|4xx不恒成立,

所以2a不合题意,可以排除C、D.

当1a时,因为2|sin||sin1|1sin2|sin|1|sin|1xxxxx,

当且仅当sin0x时,等号成立.

此时2|sin||sin1|1xx恒成立,

所以1a符合题意,可以排除A.

故选:B

【点睛】

本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.

2．已知函数()fx是定义在[1,2]aa上的偶函数,且当0x时,()fx单调递增，则关于x的不等式(1)()fxfa的解集为 （ ）

A．45[,)33 B．2112(,][,)3333

C．12[,)3345(,]33 D．随a的值而变化

【答案】C 【解析】

试题分析：∵函数()fx是定义在[1,2]aa上的偶函数，∴1-a=2a，∴a=13，故函数()fx的定义的定义域为22[,]33，又当203x时,()fx单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313xfxffxfx，解得1233x或4533x，所以不等式(1)()fxfa的解集为12[,)3345(,]33，故选C