初中数学乘法公式

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第 1 页共 16 页乘法公式

概念总汇

1、平方差公式

平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即

（a+b）（a-b）=a2-b2

说明：

（1）几何解释平方差公式

如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

第一种：用正方形的面积公式计算：a2－b2；

第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a＋b），宽为（a－b），

它的面积是：（a＋b）（a－b）

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。

所以：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。

（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a和b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算

2、完全平方公式

完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即

（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2

这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式

说明：

（1）几何解释完全平方（和）公式

如图用多种形式计算右图的面积

第一种：把图形当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：（a＋b）2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 abab

abba 第 2 页共 16 页长方形来看，其中大正方形的的边长是a，小正方形

的边长是b，长方形的长是a，宽是b，所以

它的面积就是：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（2）几何解释完全平方（差）公式

如图用多种形式计算阴影部分的面积

第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：（a-b）2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影SSSS2--

其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是（a-b），宽是b，所以

它的面积就是：222222bababbaba

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：2222bababa

（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a和b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用

方法引导

1、乘法公式的基本计算

例1 利用平方差公式计算：

（1）（3x＋5y）（3x－5y）；

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）

（3）（-m＋n）（-m－n）

难度等级：A 第 3 页共 16 页

解：（1）(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2

↓ ↓ ↓ ↓

（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2

↓ ↓ ↓ ↓

（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2

（3）（－m＋n）（－m－n）＝（－m）2－n2＝m2－n2

↓ ↓ ↓ ↓

（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2

【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果

【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a，不同项就是b和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式

【搭配练习】

用平方差公式计算

（1）（－0.25x－y）（－0.25x＋y）

（2）（－2x＋3y）（－2x－3y）

（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）

例2 利用完全平方公式计算

（1）（2a＋3）2 （2）（0.5m－0.2n）2

（3）（-2x－3y）2 （4）（1－3x）（3x-1）

难度等级：A

解：（1）912433222322222aaaaa

   

（a＋b）2＝ a2＋ 2ab＋ b2

（2）2222204.02.025.02.02.05.025.02.05.0nmnmnnmmnm 第 4 页共 16 页    

2ba 2a ab2 2b

（3）第一种解法：

2222291243322232yxyxyyxxyx

   

2ba 2a ab2 2b

第二种解法：

2222222912433222323232yxyxyyxxyxyxyx

   

（a＋b）2＝ a2 ＋2ab ＋b2

（4）13131331xxxx

169169113231322222xxxxxxx

   

2ba 2a ab2 2b

【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。

【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题表面上看上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完全平方式，但有一点还要注意的是213x中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负号

【搭配练习】第 5 页共 16 页利用完全平方公式计算

（1）223a （2）234cb

（2）23.01.0qp （4）mnnm5775

2、简便计算

例3 利用平方差公式简便计算

（1）103×97 （2）59.8×60.2

难度等级：A

解：（1）103×97＝（100＋3）（100－3）＝1002－32＝10000－9＝9991

（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96

【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。

【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那么（103+97）÷2得到的就是第一个数，即公式中的a，（103-97）÷2得到的就是第二个数，即公式中的b

【搭配练习】

利用平方差公式简便计算

（1）899×901＋1

（2）98²

（3）87138114

例4 利用乘法公式简便计算

（1）2997 （2）21009 （3）99101942

难度等级：A

解：（1）99400996000100000033100021000310009972222

（2）101808181180001000000819100021000910001009222 第 6 页共 16 页（3）110011006100991019422

1163136120011003612001001100661002100222222

【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式

【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种

【搭配练习】

利用乘法公式简便计算

997²－1001×999

例题讲解

(一）题型分类全析

例1：下列计算正确的是（）

A.xxxxxx41281324232• B.3322yxyxyx

C.21611414aaa D.222422yxyxyx

难度等级：A

【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x）·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x，所以A错；利用多项式乘法法则，计算（x+y）(x2+y2)，得x3+xy2+x2y+y3，所以B也不对；利用平方差公式，有(-4a-1) (4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2，所以C是正确的；由完全平方公式，得(x-2y)2=x2-4y+4y2，所以D错. 因此，选C.

解：C

【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则。

初中数学乘法公式

《神奇的初中数学乘法公式》

嘿，同学们！你们知道吗？初中数学里的乘法公式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！

咱就先来说说那个完全平方公式吧。（a+b）²=a² + 2ab + b² ，（a - b）² = a² - 2ab

+ b² 。这两个公式就好像是一对双胞胎兄弟，长得有点像，但又不完全一样。

有一次，我和同桌一起做作业，就碰到了这样一道题：（2x + 3）² 是多少？我当时脑子一转，这不就是完全平方公式嘛！我就跟同桌说：“嘿，这题简单，不就是 4x² + 12x

+ 9 嘛！”同桌瞪大了眼睛问我：“你咋这么快就做出来啦？”我得意地说：“因为有完全平方公式这个秘密武器呀！”你们说，这公式是不是很厉害？

还有平方差公式，（a + b）（a - b）= a² - b² 。它就像一个魔法棒，轻轻一挥，难题就能迎刃而解。

记得有一回，数学老师在课堂上出了一道题：（5 + 3）×（5 - 3）等于多少？大家都在埋头苦算，我一下子就想到了平方差公式，脱口而出：“这是 25 - 9 = 16 呀！”老师笑着点点头，说：“不错不错！”

乘法公式不仅在做题的时候有用，在生活中也能派上用场呢！比如说，我们要计算一个正方形花坛边长增加后的面积，这不就能用到完全平方公式吗？

再想想，如果我们要给一个长方形的房间铺地毯，知道长和宽的变化，要算面积的变化，平方差公式不就派上用场啦？

所以说呀，初中数学的乘法公式就像是我们的好朋友，总是在关键时刻帮我们的忙。它们难道不是超级神奇吗？我们可得好好掌握它们，让它们成为我们在数学世界里畅游的得力助手！

我的观点很明确，那就是初中数学乘法公式是我们学好数学必不可少的重要工具，一定要认真学，熟练用！

初中数学公式大全(七年级)

第1页/共5页初中数学公式大全（七年级）

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解根与系数的关系

-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

第2页/共5页 ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

初中数学公式精编大全

第 1 页共 64 页初中数学公式

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序言

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初中数学各种公式(完整版)

-- 数学各种公式及性质

1．乘法与因式分解

①(a+b)(a-ｂ）＝a2-ｂ２;②(a±ｂ）2＝ａ２±2ａb＋b2;③(a＋b)（a２－ab+b2）=a3+ｂ3;

④（ａ－b)(ａ２＋ab＋ｂ2)=a3-b3；a2＋ｂ2=（ａ＋ｂ）２-２ab；（a-b)2=(a＋b)2-4ab。

2．幂的运算性质

①am×an=ａm+n；②am÷an=ａｍ－n;③(ａm)n=amｎ;④(aｂ）n＝anｂn;⑤(ab）ｎ＝nnab；

⑥a－n＝1na，特别：()-n＝()n；⑦a０=1（a≠0)。

3．

二次根式

①(）2=ａ(ａ≥0);②=丨a丨；③=×;④=(a>0,b≥０)。

4．三角不等式

｜ａ|-|b|≤|a±b|≤|a|＋|b｜(定理）；

加强条件：||a｜-|b||≤|a±b｜≤|a|+｜b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式(其中a,b分别为向量ａ和向量ｂ）

|a+b｜≤|ａ｜＋|b｜;|a-b｜≤｜ａ|+｜b|;|a|≤b<=>-b≤a≤ｂ；

|a-b|≥|ａ|-｜b|； -|a｜≤a≤|ａ|;

5．某些数列前n项之和

1+２+3+4+5+６+7+8+９+…+n=ｎ(n+1)／２；１＋3＋５＋7+9+11+1３+15+…+(2n－1)=n2 ;

2+4＋６+8+10+12+14+…+（２n）=n(n+1）； 12＋２2+32+４２+52+62+７2＋82＋…＋n2=ｎ(n+１）(2n+1)/6；

１３＋23+33+４３+53+６３+…ｎ3＝n2(n+１)2/４； 1*2+2*３+3*4＋4*5+5*6＋6*7+…＋n(n＋1）=n(n+1)（n+2)/3；

6．一元二次方程

对于方程:ax2＋bx+ｃ=0:

①求根公式是ｘ＝242bbaca，其中△＝b２-4aｃ叫做根的判别式。

当△>0时，方程有两个不相等的实数根； --

-- 当△＝０时，方程有两个相等的实数根;

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