1 不等式、函数与导数
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第一篇 知 识 专 题
【考情报告】
年份题型考点 2011年 2012年 2013年
小 题 第3题:函数的奇偶性与单调性
第10题:函数的零点
第12题:函数的周期性,图象交点个数
第14题:线性规划求最值 第1题:集合间的关系,解简单不等式
第5题:线性规划求范围
第11题:不等式成立求参数的范围
第13题:求切线方程
第16题:函数的最值 第9题:函数图象
第12题:函数与不等式综合
第14题:线性规划求最值
大 题 第21题:导数(切线、证明不等式) 第21题:函数导数(求单调性、求参数最值) 第20题:函数与导数(求参数的值、求极值)
【考向预测】
函数是整个高中数学的主线,导数是研究函数性质的重要工具,函数的单调性是函数最重要的性质之一,它与不等式联系非常密切.在高考中,本部分主要考查函数的概念和性质,基本初等函数的图象、性质、应用,导数的概念和应用,不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式.考查学生的抽象思维能力、推理论证能力、运算求解能力及数学应用意识.预测2014年关于不等式、函数与导数,仍会以考查函数的图象与性质,利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点,知识载体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函数.综合题主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数的取值范围;(2)以函数为载体的实际应用题,一般首先建立所求量的目标函数,再利用导数进行求解;(3)不等式、函数与导数综合问题.
【问题引领】
1.函数y=ax+3-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线+=-1上,且m>0,n>0,则3m+n的最小值为( ).
A.13 B.16 C.11+6 D.28
2.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为( ).
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
3.若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,且a≠1)在区间(-,0)内单调递增,则a的取值范围是( ).
A.[,1) B.[,1) C.[,+∞) D.(-,1)
4.过点P(2,-2)且与曲线y=3x-x3相切的直线方程是 .
5.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f()= .
6.设函数f(x)=(2-a)ln x++2ax.
(1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)当a≠0时,求f(x)的单调区间.
【知识整合】
一、不等式的性质
不等式共有六条性质两条推论,要注意:
1.可加性:a>b⇔a+c>b+c.
推论:同向不等式可加,a>b,c>d⇒a+c>b+d.
2.可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac
推论:同向(正)可乘,a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解法:求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集,先求ax2+bx+c=0的根,再根据二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.
2.分式不等式:先将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.
3.一元三次不等式,用“穿针引线法”求解(穿根时要注意“奇穿偶不穿”).
三、线性规则
1.解答线性规则的应用问题,其一般步骤如下:
(1)设:设出所求的未知数;
(2)列:列出约束条件及目标函数;
(3)画:画出可行域;
(4)移:将目标函数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数的最值;
(5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解.
2.求解整点最优解有两种方法:
(1)平移求解法:先打网格,描整点,平移目标函数所在的直线l,最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解;
(2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.
四、基本不等式
1.a,b都为正数,≥,当且仅当a=b时,等号成立.
2.使用基本不等式时要注意“一正,二定,三相等”.
五、不等式常用结论
1.不等式恒成立问题的转化方向:(1)分离参数,向最值转化;(2)向函数图象或Δ转化.
2.已知x>0,y>0,则有:(1)若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;(2)若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值s2.
六、函数的概念及其表示
函数的三要素:定义域、值域、对应关系.
常用的函数表示法:解析法、列表法、图象法.
七、函数的性质
1.函数解析式的常用求法:(1)待定系数法;(2)代换(配凑)法;(3)构造方程(组)法.
2.函数定义域的常用求法:(1)根据解析式的要求:偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零等;
(2)实际问题中要考虑变量的实际含义. 3.函数值域(最值)的常用求法:(1)配方法(常用于二次函数);(2)换元法;(3)有界性法;(4)单调性法;(5)数形结合法;(6)判别式法;(7)不等式法;(8)导数法.
4.函数的单调性:(1)定义法;(2)导数法;(3)复合函数法;(4)图象法.
5.函数的奇偶性:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.
6.函数的周期性:(1)f(x+T)=f(x)(T≠0),周期是T;(2)f(x+a)=f(x+b)(a≠b),周期是|b-a|;(3)f(x+a)=-f(x)(a≠0),周期是2a;(4)若f(x+a)=(a≠0,且f(x)≠0),周期是2a;(5)f(x+a)=(a≠0且f(x)≠1),周期是4a.
7.函数图象的画法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
八、指数函数和对数函数的图象与性质
名称 指数函数y=ax(a>0,
且a≠1) 对数函数y=loga x
(a>0,且a≠1)
01 01
图象
定义域 R (0,+∞)
值域 (0,+∞) R
定点 (0,1) (1,0)
单调性 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增
九、函数的应用
1.求解数学应用题的一般步骤:(1)审题;(2)建模;(3)解模;(4)回归.
2.常见的函数模型有一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数以及y=x+(a≠0)等.
3.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法;(2)零点存在的判定定理;(3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不相同时,多用数形结合法求解.
十、导数及其应用
1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.
2.设函数y=f(x)在某个区间可导,如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.
3.可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号(左正右负极大值,左负右正极小值).
4.可导函数在闭区间内的最值:将闭区间内的极值与端点处的函数值相比较,大的就是最大值,小的就是最小值.
【考点聚焦】
热点一:不等式的性质、解法和应用
不等式的性质、简单不等式的解法、基本不等式是高考经常考查的内容,常见于选择题或填空题,以容易题、中档题为主,主要考查利用不等式的性质比较大小,解一元二次不等式、分式不等式,利用基本不等式求最值,求解过程中要注重对相关性质变形形式的理解和应用,同时注意思维的严谨性.
(1)(2013湖北卷)已知全集为R,集合A={x|()x≤1},B={x|x2-6x+8≤0},则A∩RB=( ).
A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|00),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记曲线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为 .
【分析】(1)分别利用指数的运算性质、一元二次不等式解法,求出集合A、B.
(2)将A,B,C,D四点的横坐标利用变量m表示出来,根据a,b为曲线段AC和BD在x轴上的投影长度,将利用变量m表示出来,然后利用基本不等式求出最值.
【解析】(1)易知集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},故RB={x|x<2或x>4},从而A∩RB={x|0≤x<2或x>4}.故选C.
(2)在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),y=|log2x|图象如图所示,
由|log2x|=m,得x1=2-m,x2=2m,|log2x|=,得x3=,x4=.
依照题意得a=|2-m-|,b=|2m-|,==2m=.
∵m+=m++-≥4-=,
当且仅当m=时,取“=”号.
∴()min=8.
【答案】(1)C (2)8
【归纳拓展】(1)一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查.解决此类问题可以根据一次、二次不等式,分式不等式,简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解,也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解.
(2)基本不等式多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要注意基本不等式的使用条件.如本题中要能用拼凑法将m+(m>0)化成利用基本不等式求最值的形式.
变式训练1 (1)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是( ).
A.13 B.18 C.21 D.26
(2)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值为( ).
