合成词的复数形式
多数合成词以在末尾加-(e)s的方式构成复数形式
girlfriends女朋友 boyfriends男朋友 letter-boxes信箱 grown-ups成年人
touch-me-nots凤仙花 hand-guns 手枪 stand-bys旁观者 theatre-goers看戏的人forget-me-nots勿忘我 fire-engines消防车 go-betweens媒人 good-for-nothings无用之人
有少数合成词把-(e)s词尾加在主体词后
sons-in-law 女婿 fathers-in-law岳父/公公 brother-in-law姐夫、妹夫editors-in-chief 总编 runners-up亚军、第二名、抬价者 passers-by过路人
lookers-on旁观者 attorneys general美国司法部长或称总检察长、首席检察官notaries public公证人 courts-martial军事法庭、军事法庭审判（或判决）
某些由man，woman构成的合成词，两部分都要变作复数：
men students男学生 women-drivers女司机 men-workers男工人 woman-engineer女工程师women doctors女医生 men waiters男侍者、男服务员men-servants男仆
但policemen男警察、policewomen女警察、houseboys僮仆、chorus girls歌舞团女演员等词例外
基数词用复数的三种情况 ▲将数词当作名词看待，当表示多个某一数字时，基数词可用复数形式。如： Four twos make eight. 4乘以?2等于?8。 ▲某些惯用表达中，基数词习惯上用复数形式，如?o n all fours（在地上爬），?i n twos and threes （三三两两），?a t sixes and sevens（乱七八糟）等。如： She crawled on all fours over to the window. 她爬到窗边。 Applications for the job are coming in slowly in twos and threes. 申请这份工作的信件三三两两来得很慢。 ▲逢整“十”的基数词若用复数形式，可以表示某人的大约年岁和世纪中的年代。如： Long hair for men came in in the sixties. 男子留长发在?20世纪?60年代很流行。 He was in and out of jail for most of his twenties. 他二十几岁时几乎一直频繁进出监狱。 注：若表示“十几岁”，则用?t eens。如： His parents divorced during his teens. 他父母在他十几岁时离婚了。 英语微信群是目前学习英语最有效的方法，群里都是说英语，没有半个中文，而且规则非常严格，是一个超级不错的英语学习环境，群里有好多英语超好的超牛逼的人，还有鬼佬和外国美眉。其实坦白说，如果自己一个人学习英语太孤独，太寂寞，没有办法坚持，好几次都会半途而废。只要你加入到那个群里以后，自己就会每天都能在群里坚持学，坚持不停地说和练，由于是付费群，群里的成员学习氛围非常强，每天的训练度都非常猛，本来很懒惰的你一下子就被感染了，不由自主地被带动起来参与操练，不好意思偷懒，别人的刻苦学习精神会不知不觉影响你，EYC英语微信群（群主VX 601332975）可以彻底治好你的拖延症，里面学员都非常友好，总是给你不断的帮助和鼓励，让你学英语的路上重新燃起了斗志，因为每天都在运用，你的英语口语就能得到了迅猛的提升，现在可以随便给一个话题，都能用英文滔滔不绝的发表5分钟以上对这个话题的看法和观点，想提高英语口语的可以加入进来，It really works very well.
名词变复数规则变化 1．一般名词复数是在名词后面加上“s”， 如map→maps，bag→bags等； 读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。 例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; 2．以s，x , ch，sh 等结尾的词加“es”， 如bus→buses，watch→watches等； 统一加读[iz]。 3．以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es， 如baby→babies等； 加读[z]。 以元音字母＋y结尾的名词变复数时，直接加s变复数， 如monkey→monkeys，holiday→holidays， 4．以o 结尾的名词变复数时： a）加s的名词有：photo→photos ，piano→pianos，radio→radios，zoo→zoos b）加es的名词有： potato→potatoes tomato→tomatoes 5．以f或fe结尾的名词变复数时： a）加s的名词有： roof→roofs b）去掉f，fe 加ves的名词有：
half→hal ves knife→knives leaf→leaves wolf→wolves(狼) wife→wives（妻子）life→lives（生命） 尾音[f]改读[vz]。 名词复数的不规则变化 1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women 注意：与man 和woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。 如：an Englishman，two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans； 2）单复同形如： deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin 但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars; a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。 如：people police cattle 等本身就是复数，不能说a people，a police，a cattle， 4）以s结尾，仍为单数的名词，如： a. maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。 b. news 是不可数名词。 c. the United States，the United Nations 应视为单数。
名词复变及动词单三规则 1,绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。 读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。 例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; piece→pieces 二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。 读音变化：统一加读[iz]。 例：bus→buses; quiz→quizzes; fox→foxes; match→matches; flash→flashes 三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。 读音变化：加读[z]。 例：candy→candies; daisy→daisies; fairy→fairies; lady→ladies; story→stories 四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。读音变化：加读[z]。 例：tomato→tomatoes; potato→potatoes; torpedo→torpedoes; bingo→bingoes 反例：silo→silos; piano→pianos（外来词）; photo→photos; macro→macros（缩写词） 五、以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。 读音变化：尾音[f]改读[vz]。 例：knife→knives; life→lives; leaf→leaves; staff→staves; scarf→scarves 反例：roof→roofs 六、以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。 读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。例：fungus→fungi; abacus→abaci; focus→foci; cactus→cacti; cestus→cesti 七、以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。 读音变化：尾音[is]改读[i:z]。 例：axis→axes; basis→bases; naris→nares; hypothesis→hypotheses; restis→restes 八、以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。 读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。 例：matrix→matrices; directrix→directrices; calix→calices; appendix→appendices 反例：affix→affixes 九、以-um结尾的名词，将-um改变为-a。 读音变化：去掉鼻尾音[m]。 例：forum→fora; stadium→stadia; aquarium→aquaria; datum→data; vacuum→vacua 十、以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。 读音变化：尾音[E]改读[i:]。
复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)) )） =r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ 2 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ=cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
六、教学过程 （一）、复习引入： 欧拉简介： 欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 欧拉在1748年给出的著名公式θθθ sin cos i e i +=（欧拉公式）是数学中最卓越的公 式之一，它把不同的函数联系起来，成为沟通复数的三角形式与指数形式的“桥梁”。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。［欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i （1777年），e （1748年），sin 和cos （1748年），tg （1753年），△x （1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等。 （二）、讲授新课 2.3 复数的三种表示形式（二） 一、复数的指数形式 根据欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，任何一个复数()θθsin cos i r z +=都可以表示成 θi re z = 的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。 其中r 为复数的模，底数e ＝2.71828…为无理数，幂指数中的i 为虚数单位，θ为复数的辐角，单位为弧度。例如： 5π i 6 π i 7 5π5πcos isin 66ππcos isin e 77 ?+=??+ =
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)） 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ= cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
复数的几种表示形式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z 1z 2 =r 1 r 2 (cosθ 1 cosθ 2 -sinθ 1 sinθ 2 +i(sinθ 1 cosθ 2 +cosθ 1 sinθ 2 )) =r 1r 2 （cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )） 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ=cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。