专题23 等差数列及其前n项-2016年高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

高考数学专题——数列（求𝑺𝒏）

求𝒔𝒏的四种方法总结

常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.

【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.

因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.

(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.

2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：

公式：数列𝒄𝒏=(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏−𝟏，(𝒂𝒏+𝒃)为等差数列，𝒒𝒏−𝟏为等比数列。

前𝐧项和𝑺𝒏=(𝑨𝒏+𝑩)𝒒𝒏+𝑪

𝑨=𝒂𝒒−𝟏，𝑩=𝒃−𝑨𝒒−𝟏，𝑪=−𝑩

𝑺𝒏=(𝒂+𝒃)+(𝟐𝒂+𝒃)𝒒+(𝟑𝒂+𝒃)𝒒𝟐+⋯[(𝒏−𝟏)𝒂+𝒃]𝒒𝒏−𝟐+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏−𝟏 ①

𝒒𝑺𝒏=(𝒂+𝒃)𝒒+(𝟐𝒂+𝒃)𝒒𝟐+(𝟑𝒂+𝒃)𝒒𝟑+⋯[(𝒏−𝟏)𝒂+𝒃]𝒒𝒏−𝟏+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏 ②

②-①得：

(𝒒−𝟏)𝒔𝒏=−(𝒂+𝒃)−𝒂(𝒒+𝒒𝟐+⋯𝒒𝒏−𝟏)+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏

=−(𝒂+𝒃)−𝒂⋅𝒒(𝟏−𝒒𝒏−𝟏)𝟏−𝒒+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏

=(𝒂𝒏+𝒃−𝒂𝒒−𝟏)𝒒𝒏−(𝒃−𝒂𝒒−𝟏) 𝑺𝒏=(𝒂𝒒−𝟏⋅𝒏+𝒃−𝒂𝒒−𝟏𝒒−𝟏)⋅𝒒𝒏−𝒃−𝒂𝒒−𝟏𝒒−𝟏

第29讲 等差数列及其前 n项和

考试说明1 .理解等差数列的概念.

2. 掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式.

3. 了解等差数列与一次函数的关系 .

考情分析

考点 考查方向 考例 考查热度

等差数列

的概念 等差数列的判断与证 明 2015全国卷n 16,2015全

国卷I 17

通项公式 求数列中的某项、通项 公式以及通项公式的 性质 2017 全国 I 4,

2017全国卷n 15,

2016全国卷I 3,

2014全国卷I 17

求和公式 求数列前 n项和、部分 项和、和的最值 2013全国卷I 7,2013全

国卷n16 ★★☆

真题再现

■ ［2017 -2013］课标全国真题再现

1. ［2017 •全国卷I］记$为等差数列｛an｝的前n项和•若a4+a5=24, S=48,则｛an｝的公差为（ ）

A.1 B.2

C.4 D.8

［解析］C 设｛an｝的公差为d,则2a1+7d=24且6a1+15d=48,解得d=4.

I

2. ［2017 •全国卷n ］等差数列｛an｝的前n项和为S, a3=3, S=10,贝血:;■:— _______

2n

［答案］汁〕 ㈣1卩丄）

［解析］设公差为 d,则 ai+2d=3 且 4ai+6d=10,解得 ai=1, d=1,所以 S= ［ ,• =2二「J,

烏扛旧倜”•+舖』鋸

3. __________________________________________________________________________________ ［2013 •全国卷II］等差数列｛an｝的前n项和为S,已知So=O, $5=25,则nS的最小值为 ________________________ .

［答案］-49

10 2 n3*10n:

［解析］由已知,ai+aio=O, ai+ai5= 一 ？ d=, ai=-3, A nS= ,易得 n=6 或 n=7 时,nS 出现最小值.当 n=6

4.2.2 等差数列的前n项和公式(精讲)

考点一 等差数列基本量计算 思维导图

常见考法 【例1】(2021·全国高二课时练习)已知等差数列{an}中，

(1)131,22ad，15nS，求n及na；

(2)115121022nna,a,S，求d.

【答案】(1)124nn,a；(2)171.

【解析】(1)∵13115222nnnSn，整理得27600nn，解得12n或5n(舍去)，

1231121422a.∵12124nn,aa.

(2)由1()(1512)102222nnnaanS,解得4n.

又由11naand，即512141d，解得171d.

【一隅三反】

1．(2021·全国高二课时练习)在等差数列na中．

(1)156a，32na，5nS，求n和d；

(2)14a，8172S，求8a和d；

(3)已知2d，11na，35nS，求1a和n.

(4)已知742S，510nS，345na，求n.

【答案】(1)15n，16d；(2)839a，5d；(3)153na或171na；(4)20 .

【解析】(1)由题意得15352262nnnnSaa，解得15n，

又15531462ad，解得：16d；

(2)由已知得818888417222Saaa，

解得：839a，又因为84739ad，所以5d；

(3)由11121112352nnaannnSna ，整理可得：212350nn，

解得：153na或171na； (4)1747477274222aaaSa，解得：46a，

1 2020高三一轮基础达标 考点23等比数列及其前n项和

一、选择题

1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )

A．135 B．100

C．95 D．80

2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )

A．－24 B．0

C．12 D．24

3．在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8，则a5＝( )

A．16 B．16或－16

C．32 D．32或－32

4．等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )

A．12 B．10

C．8 D．2＋log35

5．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( )

A．－2 B．－2

C．±2 D.2

6．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝( )

A．10 B．25 C．50 D．75

7．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )

A．13 B．12

C．11 D．10

8．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为( )

A．3 B．－3 C．－13 D．13

9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝( )

A．4n－1 B．4n－1

C．2n－1 D．2n－1

10．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则ab＝( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3