2019-2020年人教统编3-1二维随机变量及其联合分布幻灯片

第1节 二维随机变量的联合分布
第三章 多维随机变量及其分布
例 2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，
另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数值。试求
( X,Y ) 的概率分布列及P｛X=Y｝.
解 由题意知，｛X=i，Y=j｝的取值情况是：i=1,2,3,4， 且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公 式求得 ( X,Y ) 的分布律。
(3) P{X+Y≤1} (4) P{X=0}
解: 令X 表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数，
（X,Y）的所有可能取值为（0, 0）,（0,1）,（0, 2),
（1, 0）,（1,1）,（2, 0）依古典概型得
pij
P{X
i,Y
j}
C3iC2jC42i j C92
（i=0,1,2; j=0,1,2; 且i+j≤2）
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P｛X≤x,Y≤y｝ 称为二维随机向量(X, Y)的分布函数, 或称为随机 变量X和Y的联合分布函数.
几何意义 F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率. y
(x, y)
(X, Y ) o
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第1节 二维随机变量的联合分布
第三章 多维随机变量及其分布
计算概率： 对于任意的x1＜x2，y1＜y2，
P｛x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2｝
＝F（x2, y2）-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
y y2
(x1 , y2)
(X, Y )
y1 (x1 , y1)

前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)

Example1 Suppose that X has distribution law given by the table Try to determine the d.f. of X
X P
F ( x)
0
1
2
0.1 0.6 0.3
F ( x)＝P{ X x}
x0 0 0.1 0 x 1 0.7 1 x 2 x2 1
Poisson distribution
Bionomial distribution
2.3 Distribution function of r.v.
Definition Suppose that X is a r.v., for any real number x，Define the probability of event {Xx}, i.e. P {Xx} the distribution function of r.v. X, denote it by F(x), i.e. F(x)＝P {Xx}.
enough and p is very small, then we can approximate binomial distribution by putting =np.
Random variable
Discrete r.v.
Several important r.v.s
Distribution law 0-1 distribution
Answer Let X represent the number that hit the target in 400 shots Then X～B(400, 0.02), thus P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}＝1－0.98400-400)(0.02)(0.98399)=… Poisson theorem If Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…) and n is large enough, p is very small, denote =np，then

1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)

3x(1 x4 0,其它
),0

x

1,
当0 y 1时，fY ( y)

f (x, y)dx


0
y
6xydx

3x2 y
|x
x0
y

3y 2 , 故得
fY
(
y)

3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x

2x
2

2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y


f
x，
ydx

1 0

x2

1 3
xy dx

1 3

1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y

1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6