九年级上期中考试试题--数学(含答案)

2022-2023学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣的倒数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为62微米（1微米＝0.000001米）．将62微米用科学记数法表示为（）A．6.2×10﹣5米B．6.2×10﹣6米C．0.62×10﹣5米D．62×10﹣6米3．（3分）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列命题中，是真命题的有（）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A．①②B．①④C．②③D．③④5．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x＝x3B．8x4÷2x2＝4x2C．（﹣3x）2＝6x2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y26．（3分）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根7．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（）A．B．C．2D．39．（3分）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（）A．2B．2C．D．510．（3分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），AC＝4，BO与x轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2022秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣）C．（﹣2，0）D．（1，）二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个大于﹣且小于的整数．12．（3分）已知＝＝（b+d≠0），则＝．13．（3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为．14．（3分）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为m．（结果保留根号）15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D．则当△A'DF是直角三角形时，FD的长是．三、（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）16．（10分）（1）计算：+×﹣（2022﹣π）0；（2）化简：÷．17．（9分）为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：请根据以上的信息，回答下列问题：（1）抽取的学生有人，n＝，a＝；（2）请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；（3）我校有学生2400人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．18．（8分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按如下步骤作图：①分别以A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，交BC于点D，交AB于点E；③连接AD．请根据以上材料回答下列问题：（1）图中所作的直线MN是线段AB的线；（2）若AB＝4，则BE＝；（3）利用（1）中的结论解决问题：若AB＝10，AC＝6，求△ACD的周长．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，E，F分别为AB，AC的中点，过点B作AC的平行线与FE的延长线交于点D，连接BF，AD．（1）求证：四边形ADBF为菱形；（2）若∠C＝30°，求四边形ADBC的面积．21．（9分）2022年10月郑州市遭遇新一轮疫情，为保障民生问题，郑州市市场监督管理局发布提醒告诫函要求：在疫情防控期间不允许哄抬物价．疫情前，经营水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了响应政府号召，且保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）．（2）若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？22．（10分）如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E，F在BC上，H，G分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N．（1）求证：△AHG∽△ABC．（2）若AD＝3，BC＝9，设EH＝x，则当x取何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少？23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱ABCD，AD＝6，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）AB＝；（直接写出结果）（2）若点E在x轴上，且S△AOE＝．①E点坐标为；（直接写出结果）②求证：△AOE∽△DAO．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣的倒数是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】直接根据倒数的定义解答即可．【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，∴﹣的倒数是﹣．故选：D．【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解题的关键．2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为62微米（1微米＝0.000001米）．将62微米用科学记数法表示为（）A．6.2×10﹣5米B．6.2×10﹣6米C．0.62×10﹣5米D．62×10﹣6米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：62微米＝62×0.000 001米＝62×10﹣6米＝6.2×10﹣5米．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（）A．B．C．D．【分析】判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断．【解答】解：主视图、左视图相同，均为：俯视图为：故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．4．（3分）下列命题中，是真命题的有（）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A．①②B．①④C．②③D．③④【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；④四边相等的四边形是菱形，正确．故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．5．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x＝x3B．8x4÷2x2＝4x2C．（﹣3x）2＝6x2D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2【分析】A．x2和x不是同类项；B．用同底数的幂相除法则；C．应用幂的乘方进行计算即可；D．用平方差公式计算即可．【解答】解：A．x2和x不是同类项，不能合并，故A选项符合题意；B．8x4÷2x2＝4x2，故B选项符合题意；C．（﹣3x）2＝9x2，故C选项不符合题意；D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．6．（3分）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝2，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．7．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为＝，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，故选：A．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．8．（3分）如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理求出＝，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案．【解答】解：∵BN∥AM，＝，∴＝，∵DN∥CM，∴＝＝，故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．9．（3分）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（）A．2B．2C．D．5【分析】先判定四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，可得点N为FC的中点，BE＝FC；再证明△AFG为等腰直角三角形，然后由直角三角形斜边中线的性质可得MN＝FC，由勾股定理可得BE的长，即为FC的长，从而可得MN的值．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵EF∥BC，∴∠BFE+∠ABC＝180°，∴∠BFE＝90°，∴四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，如图：∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．∴点N为FC的中点，BE＝FC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，又∵∠AFG＝90°，∴△AFG为等腰直角三角形．∵M是AG的中点，∴AM＝MG，∴FM⊥AG，∴△FMC为直角三角形，∵点N为FC的中点，∴MN＝FC，∵四边形ABCD是边长为6的正方形，DE＝2，∴BC＝CD＝6，CE＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝2，∴FC＝2，∴MN＝FC＝．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股数及直角三角形的斜边中线性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．10．（3分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），AC＝4，BO与x轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2022秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，﹣）C．（﹣2，0）D．（1，）【分析】求出OD，每秒旋转60°，6次一个循环，2022÷6＝337，第2022秒时，矩形的对角线交点D与第六次的点D的坐标相同，第六次点D和刚开始旋转的位置相同，由此可得到点D的坐标．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，∴AC＝OB＝4，AD＝CD，OD＝BD，∴OD＝2，∵每秒旋转60°，6次一个循环，2022÷6＝337，∴点D和刚开始旋转的位置相同，∴点D的纵坐标为：2×sin60°＝2×＝，横坐标为：﹣2×cos60°＝﹣2×＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，）．故选：A．【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是明确题意，发现点D得变化特点，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个大于﹣且小于的整数﹣1（或0或1）．【分析】首先确定和的整数部分，然后在取值范围内确定整数即可．【解答】解：设所求整数为x，∵1＜＜2，∴﹣2＜﹣＜﹣1，∵1＜＜2，∴所求的整数x的范围是﹣2＜x＜2，即整数x可以是﹣1、0、1．故答案为：﹣1、0、1（填其中一个即可）．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．12．（3分）已知＝＝（b+d≠0），则＝．【分析】利用合比的性质解决问题即可．【解答】解：∵＝＝，∴＝＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查比例线段，合比的性质等知识，解题的关键是掌握合比的性质，属于中考常考题型．13．（3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：分别用A，B，C，D表示画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆的卡片，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的是：BC，BD，CB，CD，DB，DC．∴抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的概率为：＝．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（3分）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为（30﹣10）m．（结果保留根号）【分析】由黄金分割点的定义求出BC的长，即可解决问题．【解答】解：如图，设主持人站立的位置离A点较近的点为C，则点C是AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）（m），∴AC＝20﹣（10﹣10）＝（30﹣10）（m），即主持人站立的位置离A点较近的距离为（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比值是解题的关键．15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D．则当△A'DF是直角三角形时，FD的长是或．【分析】当△A'DF是直角三角形时，分两种情况进行讨论，∠DA'F＝90°或∠A'FD＝90°．依据相似三角形的判定与性质以及折叠的性质，即可得到DF的长．【解答】解：如图①所示，当∠DA'F＝90°时，∵∠EA'F＝∠A＝90°，∴E，A'，D在同一直线上，由题可得，AD＝BC＝，AE＝AB＝1＝A'E，Rt△ADE中，DE＝＝＝3，∴A'D＝3﹣1＝2，∵∠DA'F＝∠A，∠A'DF＝∠ADE，∴△ADE∽△A'DF，∴＝，即，解得DF＝；如图②所示，当∠A'FD＝90°，∠AF A'＝90°，由题可得，∠AFE＝＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴AF＝AE＝1，∴DF＝AD﹣AF＝；综上所述，DF的长为或．故答案为：或．【点评】本题属于折叠问题，主要考查了勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题的关键是利用对应边和对应角相等．三、（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）16．（10分）（1）计算：+×﹣（2022﹣π）0；（2）化简：÷．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：（1）+×﹣（2022﹣π）0＝﹣3+﹣1＝﹣3+4﹣1＝0；（2）÷＝•＝•＝．【点评】本题考查了分的混合运算，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．17．（9分）为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：请根据以上的信息，回答下列问题：（1）抽取的学生有200人，n＝54，a＝25；（2）请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；（3）我校有学生2400人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．【分析】（1）由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用360°乘以参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得n，根据参加书法社团活动的学生人数和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得a的值；（2）先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人数，再补全条形统计图；（3）用总人数乘以样本中参加乒乓球社团活动的学生人数对应的百分比可得答案．【解答】解：（1）抽取的学生有80÷40%＝200（人），360°×＝54°，∴n＝54，×100%＝25%，∴a＝25，故答案为：200，54，25；（2）参加朗诵社团活动的学生人数为200﹣（50+30+80）＝40（人），补全条形统计图如图：；（3）估计参加乒乓球社团活动的学生人数为2400×40%＝960（人）．答：估计参加乒乓球社团活动的学生人数960人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（8分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，∴＝，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按如下步骤作图：①分别以A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，交BC于点D，交AB于点E；③连接AD．请根据以上材料回答下列问题：（1）图中所作的直线MN是线段AB的垂直平分线；（2）若AB＝4，则BE＝2；（3）利用（1）中的结论解决问题：若AB＝10，AC＝6，求△ACD的周长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作法判断即可．（2）利用线段的垂直平分线的性质求解即可．（3）利用勾股定理求出BC＝8，再证明△ADC的周长＝AC+CB即可．【解答】解：（1）由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线．故答案为：垂直平分．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴AE＝EB＝AB＝2，故答案为：2．（3）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴△ADC的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+CB＝14．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的周长等知识，解题的关键是证明DA＝DB，把三角形的周长转化为AC+CB．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，E，F分别为AB，AC的中点，过点B作AC的平行线与FE的延长线交于点D，连接BF，AD．（1）求证：四边形ADBF为菱形；（2）若∠C＝30°，求四边形ADBC的面积．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DBE＝∠EAF，求出AE＝BE，证△AEF≌△BED，推出EF＝DE，推出四边形ADBF是平行四边形，再求出AB⊥DF即可；（2）求出EF＝BC＝，∠AFE＝∠C＝30°，推出AF＝2AE，由勾股定理得出AE2+（）2＝（2AE）2，求出AE＝1，求出AB＝2AE＝2，DF＝2EF＝2，即可求出四边形的面积．【解答】（1）证明：∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠EAF，∵E为AB中点，∴AE＝BE，在△AEF和△BED中∴△AEF≌△BED（ASA），∴EF＝DE，∵AE＝BE，∴四边形ADBF是平行四边形，∵E为AB中点，F为AC中点，∴EF∥BC，∵∠ABC＝90°，∴∠AEF＝∠ABC＝90°，即AB⊥DF，∴四边形ADBF为菱形；（2）解：∵BC＝2，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC＝，∵∠C＝30°，∴∠AFE＝∠C＝30°，∴AF＝2AE，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+（）2＝（2AE）2，解得：AE＝1，∵AE＝BE＝1，EF＝DE，EF＝∴AB＝2AE＝2，DF＝2EF＝2，∴四边形ADBC的面积S＝S菱形ADBF+S△FBC＝AB×DF+BC×BE＝×2×2+×2×1＝3．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．21．（9分）2022年10月郑州市遭遇新一轮疫情，为保障民生问题，郑州市市场监督管理局发布提醒告诫函要求：在疫情防控期间不允许哄抬物价．疫情前，经营水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为了响应政府号召，且保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是（100+200x）斤（用含x的代数式表示）．（2）若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？【分析】（1）销售量＝原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝（100+200x）斤；故答案为：（100+200x）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x＝或x＝1，∵每天至少售出260斤，∴x＝1．4﹣1＝3（元）．答：若要每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．22．（10分）如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E，F在BC上，H，G分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N．（1）求证：△AHG∽△ABC．（2）若AD＝3，BC＝9，设EH＝x，则当x取何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）由HG∥BC，可证△AHG∽△ABC；（2）由相似三角形的性质可得，表达出HG与EH的关系，进而求出矩形EFGH 的面积与EH之间的函数关系式，进而解答．【解答】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC；（2）∵△AHG∽△ABC，∴，∴＝，∴EH＝3（3﹣x）＝9﹣3x，设矩形EFGH的面积为y，则y＝x（9﹣3x）＝﹣3x2+9x＝﹣3（x﹣1.5）2+6.75．∴当x取1.5时，矩形EFGH的面积最大，，最大面积是6.75．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱ABCD，AD＝6，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）AB＝5；（直接写出结果）（2）若点E在x轴上，且S△AOE＝．①E点坐标为（，0）或（﹣，0）；（直接写出结果）②求证：△AOE∽△DAO．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长．（2）①易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标．②根据两边成比例夹角相等证明相似即可．（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．【解答】解：（1）解x2﹣7x+12＝0，得x1＝4，x2＝3，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理有AB＝＝＝5．故答案为：5．（2）①∵点E在x轴上，S△AOE＝，∴AO×OE＝，∴OE＝，∴E（，0）或E（﹣，0）．故答案为：（，0）或（﹣，0）．②在△AOE中，∠AOE＝90°，OA＝4，OE＝，在△AOD中，∠OAD＝90°，OA＝4，AD＝6，∵＝，∠AOE＝∠DAO，∴△AOE∽△DAO．（3）存在，理由如下：由题意，OB＝OC＝3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0）．②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．③AC是对角线时，AC解析式为y＝﹣x+4，AC的垂直平分线经过点（，2），解析式为y＝x+，由题意直线AB的解析式为y＝x+4，由，解得，联立直线L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣）．④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝＝＝．作点A关于N的对称点即为F，AF＝，过F作y轴垂线，垂足为G，FG＝×＝，∴F（﹣，）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8），F2（﹣3，0），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．【点评】本题属于相似形综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.已知直角梯形一腰长为10，此腰与底成45°角，那么另一腰长是（）A. 10B.C.D.3.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A. B. 1 C. 2 D. 44.如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）A.B.C.D.5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）A.B. 3cmC.D. 6cm6.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米7.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m8.已知，如图，E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A.B.C. 或D. 或9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=2，AB=2，设∠BCD=α，那么cosα的值是（）A.B.C.D.10.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：5D. 1：611.已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交、相切、相离都有可能12.已知：如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，D是⊙O上一点，∠D=40°，则∠A的度数等于（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，cos A=，则BC的长______．14.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为______．15.直角三角形的两直角边长分别为12和16，则此直角三角形的内切圆半径是______．16.一条弦把圆分成2：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．17.如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的______．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）18.计算（1）2sin30°+cos60°-tan60°•tan30°+cos245°（2）cos30°+sin45°+sin60°•cos60°．19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC=30°，CD=6cm．（1）求∠BCD的度数；（2）求⊙O的直径．四、解答题（本大题共6小题，共55.0分）20.如图，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G求证：△AMF∽△BGM．21.如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？22.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC、BC，求证：AC=BC．23.周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）24.如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．（1）证明△ABE∽△DFA；（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长．连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．答案和解析1.【答案】C【解析】解：①中两个角对应相等，为相似三角形，①对；②顶点相等且为等腰三角形，即底角也相等，是相似三角形，②对；③菱形的角不确定，所以不一定相似，③错；④如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，题中所述正确，④对；所以①②④正确，故选C．考查三角形及多边形的相似问题，相似三角形的对应角相等即可；而对于菱形，矩形等多边形，即使角度可以确定，边长的比例不确定，所以多边形一般情况下不能判断其相似．熟练掌握相似三角形及相似多边形的性质及判定．2.【答案】B【解析】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∵DC=10，∴DE=EC==5，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=DE=5；故选B．作梯形的高线DE，根据等腰直角三角形求直角边DE=EC=5，再由两平行线的距离相等得：AB=5．本题考查了直角梯形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、平行线的距离和勾股定理，得出△DEC是等腰直角三角形是本题的关键．3.【答案】B【解析】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD=AB=×0.8=0.4米，设OA=r，则OD=r-DE=r-0.2，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r-0.2）2，解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．故选B．根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．4.【答案】A【解析】解：∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵∠CDB=62°，∴∠B=180°-90°-62°=28°，∴∠ACD=∠B=28°．故选A．利用垂直的定义得到∠DPB=90°，再根据三角形内角和定理求出∠B=180°-90°-62°=28°，然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．5.【答案】A【解析】解：连接CB．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴圆心O到弦CD的距离为OE；∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，∴∠COB=60°；在Rt△OCE中，OC=5cm，OE=OC•cos∠COB，∴OE=cm．故选：A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．6.【答案】D【解析】解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．7.【答案】B【解析】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴解得：AB=40，故选：B．由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．8.【答案】D【解析】解：∵E（-4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，∴点E的对应点的坐标为：（-2，1）或（2，-1）．故选D．由E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点的坐标．此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意位似图形有两个．9.【答案】D【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠B+∠A=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD=α，∴cosα===．故选D．求出∠A=α，将求cosα的问题转化为求cos∠A的问题解答．此题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余；还考查了三角函数的定义以及转化思想．10.【答案】B【解析】解：∵D、F分别是OA、OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．故选：B．图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4．本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．11.【答案】D【解析】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．故选D．直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．12.【答案】C【解析】解：连接OB，OC，∵∠BOC=2∠D=80°，∴∠OBA=∠OCA=90°，∴∠A=100°．故选C．连接OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC=2∠=80°，根据切线的性质得∠OBA=∠OCA=90°，再根据四边形的内角和定理可得∠A=100°．此题涉及到了切线的性质定理、圆周角定理以及四边形的内角和定理．13.【答案】2【解析】解：∵cosA=，∴AC=AB•cosA=8×=6，∴BC===2．故答案是：2．首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14.【答案】3【解析】解：∵l=，∴R==3．故答案为：3．根据弧长公式代入求解即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．15.【答案】4【解析】解：∵直角三角形的两直角边长分别为12和16，∴直角三角形的斜边长为：=20，∴直角三角形的内切圆半径是：=4，故答案为：4．根据勾股定理求出斜边长，根据求直角三角形的内切圆的半径的公式计算即可．本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念，掌握勾股定理、直角三角形的内切圆的半径的求法是解题的关键．16.【答案】60°或120°【解析】解：∵一条弦把圆分成2：4两部分，∴这条弦所对的两个圆心角的比为2：4，而它们的和为360°，∴这条弦所对的圆心角为360°×=120°或360°×=240°，∴这条弦所对的圆周角的度数分别为60°或120°．故答案为60°或120°．利用圆心角、弧、弦的关系得到这条弦所对的两个圆心角的比为2：4，则利用它们的和为360°可计算出这条弦所对的圆心角为120°或240°，然后根据圆周角定理可得到这条弦所对的圆周角的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．17.【答案】【解析】解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，，∴S△AFG：S△ABC=4：9，S△AEH：S△ABC=1：9，∴S=S△ABC-S△ABC=S△ABC．阴影部分的面积故答案为．根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG 面积比，再求出S△ABC．本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．18.【答案】解：（1）原式=2×+-×+=1+-1+=1；（2）原式=×+×+×=+1+=+1．【解析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．19.【答案】解：（1）∵直径AB⊥CD，∴，∴∠DCB=∠CAB=30度；（2）∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm，在Rt△ACE中，∠A=30°，∴AC=6cm，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，AB===4（cm）．【解析】（1）由垂径定理知，，∴∠DCB=∠CAB=30°；（2）由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE=CD=3，AB是直径，∴∠ACB=90°，再求出AC的长，利用∠A的余弦即可求解．本题利用了垂径定理和圆周角定理及锐角三角函数的概念求解．20.【答案】解：∵∠DMB是△AMF的外角，∴∠DMB=∠AFM+∠A∵∠DMB=∠BMG+∠DME，且∠A=∠DME∴∠AFM=∠BMG∵∠A=∠B∴△AMF∽△BGM【解析】由于∠DMB是△AMF的外角，所以∠DMB=∠AFM+∠A，又因为∠DMB=∠BMG+∠DME，所以∠AFM=∠BMG，从而可证明△AMF∽△BGM 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是找出两对对应角相等，本题属于中等题型．21.【答案】解：过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，则∠A+∠AEH=90°．∵∠AEC=90°，∴∠AEH+∠CEM=90°，∴∠A=∠CEM．∴=，即=，解得CM=6，∴CD=CM+DM=6+1.5=7.5（米）．【解析】过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，根据相似三角形的判定定理得出△AHE∽△EMC，由相似三角形的对应边成比例求出CM的长，进而可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．22.【答案】证明：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB，∠APC=∠BPC．又∵PC=PC，∴△APC≌△BPC．∴AC=BC．【解析】由切线长定理知，PA=PB，∠APC=∠BPC，又有PC=PC，故由SAS证得△APC≌△BPC，可得AC=BC．本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质求解．23.【答案】解：作PD⊥AB于点D，由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，在Rt△PAD中，由cos30°=，得PD=PA cos30°=200×=100米，在Rt△PBD中，由sin37°=，得PB=≈≈288米．答：小亮与妈妈的距离约为288米．【解析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．24.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵DF⊥AE∴∠ADF=∠EAB∴△ABE∽△DFA；（2）∵AB=3，BE=4，∴由勾股定理得AE=5，∵△ABE∽△DFA；∴即：∴DF=3.6【解析】（1）利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠ADF=∠EAB，从而证得两个三角形相似．（2）首先利用勾股定理求得线段AE的长，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例即可求得DF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，但难度不是很大．25.【答案】（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，∴AB=2BC=8，∴⊙O的半径为4．【解析】（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为4．本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

2023—2024学年度第一学期期中学情调研九年级数学试卷（时间：120分钟试卷满分：150分考试形式：闭卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）1．某射击运动员进行5次射击训练，成绩分别是：5，6，8，8，9（单位：环），这组数据的众数是（）A．6B．7C．8D．92．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．B．C．D．3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定4．小聪计划周末在“月亮湾、南湖公园、梨花雨景区”三个地点中随机选择一个地点出游，则他选中“月亮湾”的概率为（）A．1B．C．D．05．方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等实数根C．无实数根D．以上三种情况都有可能6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（）第6题A．60°B．65°C．70°D．75°7．某校“校园好声音”比赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6．则该组参赛选手得分的中位数是（）A．6分B．7分C．8分D．9分8．已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长是（）A．3πB．4π C.5πD．6π二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．）9．一组数据－1，3，5，8，10，则这组数据的极差为______．10．已知一组数x1，x2，…，x n的平均数是2，那么一组新数据x1＋1，x2＋1，…，x n＋1的平均数是______．11．圆锥的侧面积是，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为______cm．12．数学期末总评成绩是将平时、期中和期末的成绩按3∶3∶4来计算的，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红的数学期末总评成绩是______分．13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，，则______．第13题14．已知m、n是方程两根，则的值为______．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以2为半径画圆弧，若随机向正方形ABCD 内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为______．第15题16．已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分8分）解方程：（1）；（2）．18．（本题满分8分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．（1）若小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______；（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率（《周髀算经》记为“A”，《九章算术》记为“B”，《海岛算经》记为“C”，《孙子算经》记为“D”）（画树状图或列表的方法求解）．19．（本题满分8分）张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：（1）请将表格填写完整；平均数（秒）中位数（秒）方差（秒2）众数（秒）张明13.30.004李亮13.30.02/（2）现在从张明和李亮中选择一名去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．20．（本题满分8分）已知是关于x的一元二次方程．（1）若是方程的一个实数根，求m的值；（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．21．（本题满分8分）已知关于x的方程．（1）试说明：该方程有两个不相等的实数根；（2）若，求实数k的值．22．（本题满分8分）如图，在中，，⊙O是的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）连接OA、OB，则______．（2）若，求⊙O的半径r．23．（本题满分8分）如图，在中，，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD 为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若，求CF的长．24．（本题满分10分）某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件．（1）当童装销售定价为每件100元时，销售量为______件；（2）直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为______；（3）该童装的销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？25．（本题满分10分）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m．图1 图2（1）当围成的矩形养殖园面积为108m2时，求BC的长；（2）如图2，若张爷爷仍用30m长的隔离网围成矩形养殖园，但需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．26．（本题满分12分）如图，等腰内接于⊙O，．图1 图2（1）如图1，若，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点H．①弧BD的度数为：______；BH与CH的数量关系是：______．②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）；（2）如图2，若，E是AB的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个⊙O的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．27．（本题满分14分）（1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．①已知：如图1，，若，求的度数．解：若以点O为圆心、OA为半径作辅助圆，是⊙O的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______．图1 图2 图3②如图2，点P为正方形ABCD内一点，且，若AB＝4，求AP的最小值．解：∴点P在以BC为直径的圆上设圆心为点O，则O、P、A三点共线时AP最小，最小值为______．（2）【问题解决】①如图3，在平行四边形ABCD中，已知点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为______．②如图4，中，，D为AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，求线段CE的最小值．图4 图5（3）【问题拓展】如图5，在平面直角坐标系中，已知两点A（2，3），B（6，7），x轴上有一动点P，当最大时，直接写出点P的坐标______．九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题3分，计24分）题号12345678答案C D A B A C B C 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，计30分）9．11 10．3 11．5 12．9113．100 14．2023 15．16．可以三、解答题（本大题共9小题，计96分）17．（本题满分8分）解：（1）∴x1＝﹣2，x2＝4（2）方程可化为x2﹣2x﹣24＝0，∴（x﹣6）（x+4）＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣4；18．（本题满分8分）解：（1）；（2）方法一：列表如下：由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的有2种结果，∴P（选中《九章算术》和《孙子算经》）=212=16．方法二：根据题意可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即BD，DB，∴P（选中《九章算术》和《孙子算经》）=212=16．19．（本题满分8分）（1）平均数（秒）中位数（秒）方差（秒2）众数（秒）张明13.313.30.00413.3李亮13.313.30.02/（2）因为张明和李亮的平均成绩相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．20．（本题满分8分）解：（1）将x＝4代入原方程，得：42﹣4×4+2﹣m＝0，解得：m＝2．（2）∵方程x2﹣4x+2﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（2﹣m）＝8+4m＞0，解得：m＞﹣2．21．（本题满分8分）（1）∵b2-4ac=（2k+1）2-4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k=1＞0∴该方程有两个不相等的实数根；（2）∵∴（2k+1）2-2x1x2=x1x2+3．∴（2k+1）2-3（k2+k）-3=0∴k2+k-2=0∴k1=-2,k2=122．（本题满分8分）解：（1）135°；（2）连接EO，FO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，EC＝CF，又∵∠C＝90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO＝FO，∴矩形OECF是正方形，设EO＝x，则EC＝CF＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+6）2+（x+4）2＝102，解得：x＝2，即⊙O的半径r＝2．23．（本题满分8分）（1）证明：连接，AE平分∠CAB，，，，，，，是的半径，是半圆的切线；（2）解：，，，，，，，，，，．24．（本题满分10分）(1)40(2)．（3）解：设童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元，则，解得：答：童装的销售定价为每件90元或100元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元．25．（本题满分10分）解：（1）隔离网的总长为，且，．根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），．答：的长为；（2）养殖园的面积不能达到，理由如下：隔离网的总长为，且，．根据题意得：，整理得：，△，该方程无实数根，养殖园的面积不能达到．26．（本题满分12分）（1）①60°；BH=CH；②如图（2）方法一：如图（方法不唯一）方法二：如图说明：利用三角形三条中线交于一点，找出AC的中点F，再画图27．（本题满分14分）（1）①25；②（2）①②解：如图，连接，则，点在以为直径的上，当点、、三点共线时，最小，（3）（）。

2024—2025学年度第一学期九年级数学科期中检测题（考试时间：100分钟，满分：120分）特别提醒：1．答案一律按要求涂或写在答题卡上，写在试题上无效。

2．答题前请认真阅读试题有关说明。

3．请合理分配答题时间。

一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）1．化简的结果是（）A ．B ．3C ．D ．92有意义，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列计算正确的是（ ）ABCD4．一元二次方程方程的解是（）A ．B ．，C ．，D ．，5．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．且D ．且7．如图1，在宽为20米，长为34米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（）A ．2B ．2或35C ．1D ．1或358．已知等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则三角形周长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．8或10(23-9-x 2x >2x <2x ≥2x ≤+==6=4=24x x =4x =14x =20x =14x =21x =12x =22x =-22310x x --=2317416x ⎛⎫-=⎪⎝⎭23142x ⎛⎫-=⎪⎝⎭231344x ⎛⎫-=⎪⎝⎭231144x ⎛⎫-=⎪⎝⎭x 210kx x -+=k 14k <14k >14k <0k ≠14k >0k ≠2680x x -+=9．如图2，，若，，则等于（ ）A ．5B ．9C ．10D ．1210．下列四个三角形，与图3中的三角形相似的是（）（图3）A ．B ．C ．D ．11．如图4，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接，，，且，交于点，若的面积是3，则平行四边形的面积是（）图4A ．9B ．12C ．18D ．3612．直线，且与的距离为与的距离为6。