线性代数矩阵的秩PPT课件

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1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A)3.
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求A的一个最高阶子. 式 R (A )3, 知A的最高阶非零子 3阶式. 为
6
如：矩阵
1 3 9 3
A
0 2
1 3
3 9
64
取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，组成的
二阶子式是 1
3 12
2
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 . 有 最低阶为 1阶， 最高阶为 min{m阶,n. } 定义2 设在矩阵A中有一个不等0的 于k 阶子 式D，且所有 r 1阶子式（如果存在）的全话等 于0，那末D称为矩阵 A的最高阶非零子式r，数 称为矩阵A的秩，记作 R(A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
9
例1
求矩阵
1
A 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解 在 A中, 1 3 0.
2 5
又 A的3阶子式只有一个 | A |, 且
12 3 1 2 3
| A | 2 3 5 0 1 11 0,
4 7 1 0 1 11
r(A)2.
10
2 1 0 3 2
例2 求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，

2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1

或
A
2
r1r2
B
1
2
,
s
s
则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价, 由书上第127页推论
可知 A 的行向量组的秩与 B 的行向量组的秩相等.
(2) 用初等行变换化 A 为阶梯形矩阵 U;
(3) U 的行向量组的秩与 A 的行向量组的秩相同.
4
例1 求下列矩阵 A 行向量组的一个
1 2 1 0 1
(4) 阶梯形矩阵 U 的列向量组的极大无关组就是 U 中每个非
零行第一个非零元所在的列向量所组成的向量组.
3
向量组秩的求法之二
(1) 将向量组 1, 2, , s 按行排成矩阵，并作行初等变换，
例如 1
1
A
2
r2
B
2
,
0,
或
1
2
A
2
r1r2
B
1
,
s
s
s
s
1
1
其非零行的行数为 r(A), B 通过初等行变换化为阶梯形矩阵, 其非零行的行数为 r(B), 则
行 A0数为B0 r(A通)过+ 初r(B等),行故变r换 可A0以化B0 为 阶r梯(A形) 矩r阵(B,);其非零行的
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(2) r(A+B) r(A) + r(B);
证法一 记 A = (1, 2 ,, n), B = (1, 2 , , n).
如果引入下列定义, 则可以把以上两个结论叙述的更简练.
定义1 矩阵 A = (aij)mn 中行向量组的秩称为行秩, 列向量组 的秩称为列秩.
定理1 初等变换不改变矩阵行秩和列秩.

R(B) 3
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故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
16 0.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
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1 2 2 1 1
例5
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
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当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,. 由于Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
当A ri krj B时，分三种情况讨论： （1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
aa23三小结2初等变换法求矩阵秩的方法1利用定义把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
第二章
第四节 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结
1
一、矩阵秩的概念
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m, k n）, 位于这些行列交叉处的 k2个 元素,不改变它们在 A中所 处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
定义2 若在矩阵 A中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D， 且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r称为矩阵 A 的秩， 记作 R( A) .并规定零矩阵的秩等于零.
2
由定义可知m n 矩阵 A的秩 R( A) 是 A中非零 子式的最高阶数.