证明无理数比有理数多

证明：无理数比有理数多

证明之前需要清楚以下几个概念和定义。

1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于0

2、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。

3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。可数集合是指能和自然数一一对应的集合。

例如偶数2 4 6 8 10……

自然数1 2 3 4 5 6 7 8……

任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。

所以整数与偶数一样多。偶数集是一个可数集合。

--------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。

设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合

也就是

A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ...

分别与自然数相对应

1 2 3 ... 1 2 3 ...

则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应

a1 b1 a2 b2 a3 b3 ...

1 2 3 4 5 6 ...

所以两个可数集的合集是可数集。

下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。

有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b)

因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。

设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...}

因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。

设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...}

同上，Cb也是可数集合。

根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。

然后证明，实数集是不可数的。

设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。

假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,...

则

假设0和1间的所有实数是可数的。

设它的集合X={x1,x2,x3,...}

x1 x2 x3 x4 x5 ....

1 2 3 4 5 ....

设a和x1小数点第一位不同

b和x2的小数点第一位不同

c和x3的小数点第一位不同

……

根据已设条件，无理数H小数点后每一位都在1-8之间。

也就是H不可能为

所以H也在0和1之间

又因为a和x1小数点第一位不同

b和x2的小数点第一位不同

c和x3的小数点第一位不同

……

所以H不可能出现在X集合里，也就是H不在01之间

由此出现前后矛盾，01之间的实数应为不可数。

所以实数也是不可数的。

最后证明无理数是不可数的。

根据前面的证明过程，实数分为有理数和无理数，已证明实数集不可数而有理数集可数所以无理数不可数

所以无理数比有理数多。