河北省石家庄市2017届高三下学期模拟联考理数试题 Word版含答案

高三数学（理）考卷分卷I一、选择题（注释）1. 已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，其中，则有( )A．B．C．D．2. 已知集合, ，，则为（）A．B．C．D．3. 实数满足条件,则的最小值为( )A．16 B．4 C．1 D．4. 定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（）A．B．C．D．5. 函数的一段大致图象是（）6. 若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（）A．2011 B．2012 C．4022 D．4023 7. 设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则=（）A．B．C．D．8. 已知函数在上的最大值为，则函数的零点的个数为（）A．个B．个C．个D．个分卷II二、填空题9. 若数列与满足，且,设数列的前项和为，则=.10. 关于方程有唯一的解，则实数的取值范围是________.11. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，，则的周长的取值范围是____________ _ __.三、解答题12. 已知函数，.（1）当时，证明：；（2）若，求k的取值范围.13. 已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）若，证明：当时，.14. 已知函数，曲线经过点，且在点处的切线为.（1）求、的值；（2）若存在实数，使得时，恒成立，求的取值范围.15. 已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．16. 已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线．求直线是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

17. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e是自然界对数的底, )（1）求的解析式;（2）设，求证：当时，且，恒成立；（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

【全国百强校】2017届河北省石家庄市第二中学高三下学期模拟联考数学（文）试卷（带解析）一、选择题1.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由题意得，根据，可得的值可以是：，共有5个值，所以集合中共有5个元素，故选 D.考点：集合的概念及集合的表示.2.若复数满足，则（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题意得，复数，所以，故选 B.考点：复数的运算与复数的模.3.已知点在角终边的延长线上，且，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，点在角终边的延长线上，且，则的横坐标为，纵坐标为所以点为，故选 C.考点：三角函数的定义.4.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边的长为（）A．2 B．3 C．4 D．2或4【答案】D【解析】由题意得，因为，得，由正弦定理得，所以，再由余弦定理得，解得或，故选 D.考点：正弦定理与余弦定理.5.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则（）A．7 B．8 C．11 D．15【答案】C【解析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时要多，此四个操作的此时要少，相当与操作三个的时候，最上面的那衣蛾动了几次，就会增加几次，故选 C.考点：归纳推理.二、填空题1.设向量，与的夹角为且，则的坐标为__________.【答案】或【解析】由题意得，设向量，因为，则，即，由向量所成的角为，则，得，联立方程组，解得或，所以向量的坐标为或.考点：向量的坐标运算.2.抛物线的准线与圆相切，则=__________．【答案】【解析】由题意得，抛物线的准线方程为，又圆的圆心坐标，半径为，又准线与圆相切，则，解得.考点：双曲线的几何性质；直线与圆的位置关系.3.已知正四棱锥，底面边长为4，高为2，则该四棱锥外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题意得，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记球心为，则，或（此时在的延长线上），在直角中，，解得，所以球的体积为.考点：球的体积的计算.点睛：本题主要考查了组合体中球的体积的计算，其中解答中涉及到四棱锥的结构特征，勾股定理和球与正四棱锥的组合的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据主题的结构特征，列出方程求解球的半径是解答的关键.三、解答题1.已知数列前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，为的前项和，求证：.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由数列的递推关系式，通过递推作差，得出数列是首项为，公比为的等比数列，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项求和，证得结论.试题解析（1）当时，可得又因为，代入已知等式，可得，满足上式.所以数列是首项为，公比为4的等比数列，故：.（2），.考点：数列的通项公式及数列求和.2.已知中，，分别为边上的两个三等分点，为底边上的高，，如图 1.将，分别沿，折起，使得，重合于点，中点为，如图 2.（1）求证：；（2）若，，求到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由是的三等分点，根据等边三角形的性质，得到，进而证得平面，从而得到，在利用面面垂直的判定定理，即可证得结论；（2）由几何体的结构特征，从而，解得，即可得到到平面的距离.试题解析：（1）因为，是的三等分点，所以，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以.因为，，，所以平面，又，所以平面；平面，所以因为，所以平面.因为平面，所以.（2），，又，，，，.可得.，，即点到平面的距离为.考点：平面与平面垂直的判定与证明；点到平面的距离.3.某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.（1）求和的取值以及抽取的10人中选修商务英语的学生人数；（2）选出的10名学生中恰好包含甲乙两名同学，其中甲同学选修的是线性代数，乙同学选修的是大学物理，现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取3人，求这3人中正好有甲乙两名同学的概率.【答案】（1）1人；（2）.【解析】试题分析：（1）根据选修数学学科的人数在总人数中所占的频数，求得的值，进而求的的值，再根据分层抽样的方法，得到即可求得选修商务英语的人数；（2）把抽取的3人，分别记为，列出所有基本事件，共有10种，再得出满足套件的基本事件的个数为3种，即可求解概率.试题解析（1）因为选修数学学科人数占总人数频率为，即，可得：，又，所以，则根据分层抽样法：抽取10人中选修线性代数的人数为：人；选修微积分的人数为：人；选修大学物理的人数为：人；选修商务英语的人数为：人；选修文学写作的人数为：人；即抽到选修商务英语的人数为1人.（2）抽取的10人中选修线性代数的有3人（含甲同学），分别记为，，甲；选修大学物理的有两人（含乙同学），分别记为，乙；从这5人中任选3人，有：，，，，，，，，，共10种结果.满足条件的有：，，共计3种结果.用古典概型的概率计算公式可得所求概率为：.考点：抽样方法；古典概型及其概率的计算.4.已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆有且只有一个公共点，且直线与直线和分别交于，两点，试探究以线段为直径的圆是否恒过定点，若存在求出该点，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）或，即是椭圆的两个焦点.【解析】试题分析：（1）根据题意，列出方程组，求解的值，即可求解椭圆的标准方程；（2）设定点，直线的方程：，联立方程组，有直线与椭圆只有一个公共点，得出，进而得到点的坐标，再利用向量的数量积的运算，得到，即可得到结论.试题解析（1）设椭圆的焦距为，由题意可得：解得，，，故椭圆方程为：.（2）由椭圆的对称性，不难发现，若存在定点，此定点必在轴上，设定点，直线的方程：，由可得，又直线与椭圆有且只有一个公共点，故，即.由得，同理得.则，，则以线段为直径的圆恒过定点或，即是椭圆的两个焦点.考点：圆锥曲线的综合应用问题.点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系、向量的数量积的运算，直线过定点的判定等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题解答中，设出点的坐标，利用直线与椭圆方程联立，确定点坐标是解答的关键.5.已知函数在处的切线与直线垂直.（1）求函数（为的导函数）的单调递增区间；（2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意求得，根据，求得，进而利用，即可求解函数的单调递增区间；（2）由，求得，根据是的两个极值点，转化为方程的两个根，得出，得到，令，即可证明结论.试题解析（1）由题意可得：，，可得：；又，所以；当时，，单调递增；当时，，单调递减；故函数的单调增区间为.（2），，因为，是的两个极值点，故，是方程的两个根，由韦达定理可知：，，可知，又，令，可证在递增，由，从而可证.考点：导数在函数中的应用.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性的应用的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把是的两个极值点，转化为方程的两个根，创设函数，利用函数的单调性求解是解答的关键.。

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤ C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程 0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位 4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF的面积为则准线l 的方程为( ) A．x =B．x =-C ．2x =- D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p :n N ∀∈，22nn <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--，∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a cb ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E ，则DE =，3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(C -，则3)SB =-，3)SA =-，(3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =-- ．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =同理可得D x =∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-， 代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x a f x x x x x-+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为112x =，212x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ=+=+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==，sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学数学（理科）B 卷试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,3【答案】D 【解析】试题分析：因为{*|3}{1,2,3}B x N x =∈≤=，所以{1,2,3}A B = ，故选D ． 考点：集合的交集运算．2.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．52【答案】D考点：复数的运算．【方法点睛】复数代数形式运算问题的解题策略：(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；(2)复数的除法运算关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．3. 下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位【答案】C 【解析】试题分析：根据相关定义分析知A 、B 、D 正确；C 中对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的招把握程度越大，故C 不正确，故选C ． 考点：命题真假的判断．4.函数()31x f x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )【答案】D 【解析】试题分析：因为()3xf x e '=-，则当(,ln 3)x ∈-∞时，()0f x '<；当(ln 3,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln 3)-∞内单调递减，在(ln 3,)+∞内单调递增，结合图象知只有D 满足，故选D ． 考点：函数的图象．5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12πB ．6πC ．56πD ．512π 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得22T ωπ==，所以()sin(2)f x A x ϕ=+．因为函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ϕππ⨯+=π+()k Z ∈，即6k ϕπ=π-()k Z ∈，当0k =时，||ϕ取得最小值6π，故选B ． 考点：正弦函数的图象与性质．【规律点睛】求三角函数sin()y A x ωϕ=+的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数sin y x =的性质为基础；另外在求解时要注意所给的范围和ϕ的取值．6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤-⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤-⎦【答案】A 【解析】试题分析：因为0a b ⋅= ，所以222||22a b a a b b +=+⋅+= ，所以||a b += 2||a b c +- ＝22222()a b c a b a b c +++⋅-+⋅ ＝32()a b c -+⋅ ，则当c 与()a b + 同向时()a b c +⋅ 最大，2||a b c +- 最小，此时()||||cos 0a b c a b c +⋅=+︒= 2||3a b c +-=- min ||a b c +- 1-；当c 与()a b + 反向时()a b c +⋅ 最小，2||a b c +- 最大，此时()a b c +⋅ ＝||||cos a b c +π=，2||3a b c +-=+ max ||1a b c +-=+ ，所以||a b c +-的取值范围为1]-，故选A ．考点：1、向量数量积的性质及其运算；2、向量的模．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．60【答案】D 【解析】试题分析：根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积163642S =⨯+⨯⨯＋11235656022⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选D ．考点：空间几何体的三视图及表面积．8.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200- B ．100-C ．0D ．50-【答案】B 【解析】试题分析：因为函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，又函数()f x 在(1,)-+∞上单调，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，所以50512a a +=-，所以11001005051100()50()1002a a S a a +==+=-，故选B ．考点：1、函数的图象；2、等差数列的性质及前n 项和公式．9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④【答案】D 【解析】试题分析：设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆半径为h ，则截面圆环的面积为22()R h π-；②中截面圆的半径为R h -，则截面圆的面积为2()R h π-；③中截面圆的半径为2hR -，则截面圆的面积为2()2hR π-；，则截面圆的面积为22()R h π-，所以①④中截面的面积相等，故选D ．考点：1、数学文化；2、空间几何体的体积．10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10 B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，不等式20x y k ++≥恒成立等价于max (2)k x y ≥--，设2z x y =--，则由图知，当目标函数2z x y =--经过点(22)A --时取得最大值，即max 2(2)(2)6z =-⨯---=，所以6k ≥．因为圆心(1,2)到直线20x y k ++=的距离d ==所以直线被圆截得的弦长L ==，所以当6k =时，L取得最大值B ．考点：1、简单的线性规划问题；2、直线与圆的位置关系11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF的面积为,则准线l 的方程为( ) A．x = B．x =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】A考点：1、抛物线的几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、平面向量的坐标运算．【方法点睛】求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <- B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >【答案】B 【解析】试题分析：由2ln (0)ln x ax e x x x e x +=>-，得ln 1ln 1e x a e x x x+=-．令ln ()e x h x x =且()t h x =，则11a t t +=-，即2(1)10t a t a +--+= （*）．由2(1ln )()0e x h x x -'==，得x e =，所以函数()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且x →+∞时，()0h x →，图象如图所示．由题意知方程（*）的根有一根1t 必在(0,1)内，另一根21t =或20t =或2(,0)t ∈-∞．当21t =时，方程（*）无意义；当20t =时，1a =，10t =不满足题意，所以2(,0)t ∈-∞时，则由二次函数的图象，有220(1)0101(1)110a a a a ⎧+-⋅-+<⎪⎨+-⋅-+>⎪⎩，解得1a >，故选B ．考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性．【技巧点睛】函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数()f x 零点（方程()0f x =的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数()f x 的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与()f x 有一定关系的函数()F x 和()G x 的图象问题，且()F x 与()G x 的图象易得．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ． 【答案】0n N ∃∈，0202nn ≥ 【解析】试题分析：由全称命题的否定为特称命题，得p ⌝为0200,2nn N n ∃∈≥．考点：全称命题的否定．【注意事项】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．【答案】1024 【解析】试题分析：由程序框图的功能知，该程序执行的是01210101010101021024C C C C ++++== ．考点：程序框图．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 【答案】13【解析】试题分析：设12PF F ∆内切圆的半径为r ，则由题意，有1211||||22PF r PF r ⨯⨯=⨯⨯＋121||2F F r λ⨯⨯⨯，即1212||||||2PF PF F F c λλ-==⋅，又由双曲线的定义知12||||2PF PF a -=，所以22a c λ=⋅，即113a c e λ===． 考点：双曲线的定义及几何性质．【易错点睛】不能根据三角形的内心特点，把各面积之间的关系转化为大三角形边长之间的关系，从而利用双曲线的定义建立起双曲线参数,,a b c 的等量关系，进而根据离心率求解参数．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】7a >-考点：1、数列的单调性；2、数列的通项公式三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）6．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到,,a b c 间的关系，然后由余弦定理求得cos B ，从而求角B 的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到,a c 间的关系，然后利用基本不等式即可求得最大值． 试题解析：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=，∴2(2)932a c ac +-=⋅， ∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号， 所以2a c +的最大值为6．考点：1、正弦定理与余弦定理；2、基本不等式．18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理求得sin ADB ∠，由此可推出AD BD ⊥，然后利用勾股定理推出SD BD ⊥，从而使问题得证；（Ⅱ）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标与向量，从而求得平面SBC 与平面SAB 的法向量，进而利用空间夹角公式求解．试题解析：（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =，3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则2,3)SB =-，3)SA =-，(2,3)SC =- ，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =-- ．同理可求得平面SAB的法向量2n = ，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅考点：1、面垂直的判定定理；2、二面角；3、法向量的应用．【思路点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．【答案】（Ⅰ）分布列见解析，() 1.6E X =；（Ⅱ）16． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得X 的可能取值，然后分别求得相应概率，从而列出分布列，求得数学期望；（Ⅱ）首先求得序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数，然后求出2Y ≤的排列数，从而利用古典概型概率公式求解． 试题解析：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的分布列与数学期望；3、古典概型．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，然后根据MF NF ⊥求得mn 的值，从而得到AMFN S 的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先设出直线AM 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点,E D 坐标间的关系，从而使问题得证．试题解析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立．∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =同理可得D x =， ∵1m n ⋅=-，∵D x ==② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E D E Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、基本不等式．【方法点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 【答案】（Ⅰ）1(,)2+∞；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的定义域与导函数，然后结合判别式判断导函数的符号，得到函数的单调性，从而求得a 的取值范围；（Ⅱ）首先将问题转化为2220x x a -+-=有两个不等的实根1x ，2x ，由此得到a 的范围，从而得到1x ，2x 的范围，然后根据1221()()f x f x x x -的表达式构造新函数，由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根，即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈，∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数极值与导数关系请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．【答案】（Ⅰ）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩；（Ⅱ）14y x =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程． 试题解析：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A θθ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值， 此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sinθϕ==sin cos θϕ== 此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 考点：1、极坐标方程与参数方程间的互化；2、辅助角的应用．【易错点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3a =-；（Ⅱ）当2a <-时， {}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，{}2-；当2a >-时， {}|2x x a -≤≤．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用零点分段法将函数()f x 的解析式写在分段函数，然后求得()f x 的最小值，从而求得实数a 的值；（Ⅱ）首先利用绝对值三角不等式的性质求得函数()f x 的最小值，然后分2a <-、2a =-、2a >-求得x 的取值范围．考点：1、函数的最值；2、绝对值三角不等式的性质．。