函数与导数
1. 已知函数3
2
()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、
函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3
2
2
()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-
(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-
（Ⅱ）解：2
2
()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2
t x t x =-=或
因为0t ≠，以下分两种情况讨论：
（1）若0,,2
t
t t x <<-则
当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x
,2t ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
,2t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(),t -+∞
()f x ' + - + ()f x
所以，()f x 的单调递增区间是(),
,,;()2t t f x ⎛
⎫-∞-+∞ ⎪
⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
。 （2）若0,2
t
t t >-<
则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x
(),t -∞
,2t t ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
,2t ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
()f x ' + - + ()f x
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫
-∞-+∞
⎪⎝⎭
的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内的单调递减，在,2t ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22
t
t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<
所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当01,022t t <
<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫
∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭
2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>
所以(),12t f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
在内存在零点。
若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫
∈=-+-<-+<
⎪
⎝⎭
(0)10f t =->
所以()0,
2t f x ⎛
⎫
⎪⎝⎭
在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。
2. 已知函数21
()32
f x x =
+，()h x x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33
lg[(1)]2lg ()2lg (4)24
f x h a x h x --=---；
（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1
()()[(1)(2)()]6
f n h n h h h n -+++≥．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数
与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，
2()312F x x '∴=-+．
令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．
当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，
故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233
log [(1)]log ()log (4)24
f x h a x h x --=---，
即为4222log (1)log log 4log 4a x
x a x x x --=---=-，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩
①当14a <≤时，1x a <<，则14a x
x x
--=
-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时6204352
a
x a ±-==±-，∵1x a <<，
此时方程仅有一解35x a =--．
②当4a >时，14x <<，由14a x
x x
--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，
若45a <<，则0∆>，方程有两解35x a =±-； 若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解．
方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，
即222
1
log (1)log 4log 2
x x a x -+-=-，10,
40,
0,(1)(4).
x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨
->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪
⇔<⎨⎪
=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--； ②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-； ③当5a =时，原方程有一解3x =；
④当1a ≤或5a >时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++，
1431
()()666
n f n h n n +-=-．
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
()()6
n S f n h n =-（*n ∈N ）
从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341
166
k k k k k a S S k k -+-=-=--．
又1
[(43)(41)1]6
k a k k k k k -=+---221(43)(41)(1)6(43)(41)1k k k k k k k k +---=⋅++--
1106(43)(41)1k k k k =⋅>++--． 即对任意2k ≥时，有k a k >，又因为111a ==，所以1212n a a a n ++
+≥++
+．
