人教A版高中数学选修2-2提能达标过关：2.2.1 综合法和分析法

第二章 2．2.1 综合法和分析法
提能达标过关
一、选择题
1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中一定成立的是( )
A ．ab ＞ac
B ．c (b －a )＜0
C ．cb 2＜ab 2
D ．ac (a －c )＞0
解析：∵c ＜a ，ac ＜0，
∴c ＜0，a ＞0.
又∵b ＞c ，
∴ab ＞ac .
答案：A
2．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形 解析：由已知得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋B )＞0，－cos C ＞0，cos C ＜0.
∴角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．
答案：C
3．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2
－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0
D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
解析：∵a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－1)＋b 2(1－a 2)＝(a 2－1)(1－b 2)≤0，∴要证(a 2－1)(1－b 2)≤0，只要证明(a 2－1)(b 2－1)≥0.
答案：D
4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )
A ．P ＞Q
B ．P ＝Q
C ．P ＜Q
D ．不确定
解析：∵P ＞0，Q >0，要比较P ，Q 的大小，可以比较P 2与Q 2的大小，P 2＝2a ＋7＋2a (a ＋7)，Q 2＝2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4).∵a (a ＋7)＝a 2＋7a ＜(a ＋3)(a ＋4)＝a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .
答案：C
5．在等比数列{a n }中，首项a 1＝1，且4a 3,2a 4，a 5成等差数列，若数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 10的值为( )
A ．29－1
B ．236
C ．210－1
D ．245
解析：由4a 3,2a 4，a 5成等差数列，
∴4a 4＝4a 3＋a 5，
∴4q 3＝4q 2＋q 4，解得q ＝2，
∴T 10＝a 1·a 2·…·a 10＝q ·q 2·…·q 9＝21＋2＋…＋9＝245，故选D.
答案：D
二、填空题
6．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB
→＝0，则|AB →|＝________. 解析：由|OA →|＝|OB →|，OA →·OB
→＝0知，△AOB 是以O 为顶点的等腰直角三角形，又∵|OA
→|＝12＋(－3)2＝10， ∴|AB
→|＝10＋10＝2 5. 答案：2 5
7．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．
解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ≥9. 即a ＋2a －8≥0，解得a ≥4.
答案：4
8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，则双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率是________．
解析：椭圆的离心率为
3
2，∴
a2－b2
a2＝
3
4，∴a
2＝4b2，∴双曲线的离心率为
e＝
a2＋b2
a2＝
5b2
4b2＝
5
2.
答案：
5
2
三、解答题
9．设a，b为实数，求证：a2＋b2≥
2
2(a＋b)．
证明：当a＋b≤0时，
∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥
2
2(a＋b)．
当a＋b>0时，用分析法证明．
要证a2＋b2≥
2
2(a＋b)，
需证a2＋b2≥
1
2(a
2＋2ab＋b2)，
需证2a2＋2b2≥a2＋2ab＋b2.
需证a2－2ab＋b2≥0，
即证(a－b)2≥0.
∵(a－b)2≥0对任意实数a，b均成立．
∴a2＋b2≥
2
2(a＋b)成立．
综上所述，对任意实数a、b，a2＋b2≥
2
2(a＋b)均成立．
10．如图1，已知△P AB中，P A⊥PB，点P在斜边AB上的射影为点H.
(1)求证：
1
PH2＝
1
P A2＋
1
PB2；
(2)如图2，已知三棱锥P－ABC中，侧棱P A，PB，PC两两互相垂直，点P
在底面ABC 内的射影为点H .类比(1)中的结论，猜想三棱锥P －ABC 中PH 与P A ，PB ，PC 的关系，并证明．
解：(1)证明：由条件得12P A ·PB ＝12AB ·PH ，
所以AB ＝P A ·PB PH ，
由勾股定理，P A 2＋PB 2＝AB 2，
所以P A 2＋PB 2＝P A 2·PB 2PH 2，
所以1PH 2＝P A 2＋PB 2P A 2·PB 2＝1P A 2＋1PB 2.
(2)猜想：1PH 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2.
证明如下：
如图所示，连接AH 延长交BC 于M 点，连接PM ，
因为P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，
PB ∩PC ＝P 点，所以P A ⊥平面PBC ，
又PM ⊂平面PBC ，得P A ⊥PM ，
PH ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则PH ⊥AM .
在直角三角形APM 中，由(1)中结论，
1PH 2＝1P A 2＋1PM 2.
P A ⊥平面PBC ，则P A ⊥BC ，
又PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥BC ，
而PH ∩P A ＝P 点，PH ⊂平面P AM ，
所以BC ⊥平面APM ，BC ⊥PM .
又PB ⊥PC ，由(1)中结论，
得1PM 2＝1PC 2＋1PB 2.
所以
1
PH2＝
1
P A2＋
1
PB2＋
1
PC2.
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