九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 数学建模(含答案)

第二十讲 质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（ ） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ．同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．知识延伸】1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1）只有一个正约数的数，它只能是1；（2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数； （3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。

（2）质数有无穷多；合数也有无穷多． 证明 假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾．3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。

专题：函数模型的应用1.超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？2.如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－310x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．3.某智能品牌店，在销售某型号运动手环时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号运动手环8个与将标价直降100元销售7个获利相同.（1）求该型号运动手环的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号运动手环的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出38个；若每个运动手环每降价20元，每月可多售出2辆，求该型号运动手环降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？4.一水果店以进价为每千克16元购进万荣苹果，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克），每天获利为w（元）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；该苹果售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果商家规定这种苹果每天的销售量不低于40千克，求商家每天销售利润的最大值是多少元？5.挂灯笼成为我国的一种传统文化. 小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？6.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50 kg时，其中有50 kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x kg(x＞0)．(Ⅰ)根据题意填表：(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；(Ⅲ)根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．7.某工厂计划生产甲乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．8.某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？9.某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x 之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台)，p 与x 的关系可以用p ＝12x ＋12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？10. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w (元)的三组对应值如下表：(1)①求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(m >0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值．参考答案1. 解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∵当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140；∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100； (2)由题意得(60－40－x )(10x ＋100)＝2090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9. ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9，答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元．2. 解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把点(0，6)(15，3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧6＝b ，3＝15k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－15，b ＝6，∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－15x ＋6；(2)甲：当h ＝0时，得x ＝20.乙：当y＝0时，得x＝30.∵20＜30，∴甲先到达一楼地面．3.解：(1)设该型号运动手环的进价为x元，根据题意得[(1＋50%)x×0.9－x]×8＝[(1＋50%)x－100－x]×7，∴x＝1000，∴(1＋50%)x＝1500元，∴该型号运动手环的进价为1000元，标价为1500元；(4分) (2)设该型号运动手环降价y元，利润为w元．根据题意得w＝(38＋y20×2)(1500－1000－y)＝(38＋0.1y)(500－y)＝－0.1(y－60)2＋19360，当y＝60时，w有最大值19360.∴降价60元，每月获利最大，最大利润为19360元．4.解：(1)根据题意得y＝50－5(x－20)＝－5x＋150；(2)根据题意得w＝(x－16)(－5x＋150)＝－5x2＋230x－2400，∴w与x的函数关系式为：w＝－5x2＋230x－2400＝－5(x－23)2＋245.∵－5 <0，∴当x＝23时，w有最大值，最大值为245.(5分)答：w与x之间的函数关系式为w＝－5x2＋230x－2400.该苹果售价定为每千克23元时，每天销售利润最大，最大利润是245元；(3)根据题意得－5x＋150≥40，解得x≤22.∵w＝－5(x－23)2＋245.∵－5＜0，w≤23时，w随x增大而增大，∴当x＝22时w有最大值，其最大值为－5×(22－23)2＋245＝240(元)．答：商家每天销售利润的最大值是240元．5.解：(1)设甲种灯笼进价为x元/对，则乙种灯笼的进价为(x＋9)元/对，由题意得3120 x＝4200 x＋9，解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，∴x＋9＝26＋9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋1470，答：y与x之间的函数解析式为：y＝－2x2＋68x＋1470；②∵a＝－2<0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝－b2a＝17，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x＋50≤65，∴x≤15，∵x<17时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y最大＝2040.∴15＋50＝65.答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．6.解：(Ⅰ)180，900，210，850；【解法提示】甲批发店花费：当x＝30时，花费为30×6＝180；当x＝150时，花费为150×6＝900.乙批发店花费：当x ＝30时，花费为30×7＝210；当x ＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.(Ⅱ)y 1＝6x (x >0)， 当0<x ≤50时，y 2＝7x ；当x >50时，y 2＝7×50＋5(x －50)，即y 2＝5x ＋100；即y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧7x （0＜x ≤50），5x ＋100（x ＞50）.(Ⅲ)①100；②乙；③甲．【解法提示】①当0＜x ≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x ＞50时，令y 1＝y 2，则6x ＝5x ＋100，解得x ＝100；②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；③对甲批发店而言：令y 1＝360，则6x ＝360，解得x ＝60.对乙批发店而言：当x ＝50时，花费为350＜360，则令5x ＋100＝360，解得x ＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．7. 解：(1)y ＝x ·0.3＋(2500－x )·0.4＝－0.1x ＋1000； (2)由题意得x ·0.25＋(2500－x )·0.5≤1000，解得x ≥1000. 又∵x ≤2500， ∴1000≤x ≤2500. 由(1)可知，－0.1<0，∴y 的值随着x 的增加而减小，∴当x ＝1000时，y 取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨) 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润． 8. 解：(1)根据题意得y ＝ 100－2(x －60)＝－2x ＋220(60≤x ≤110)；(2)由题意可得：(－2x ＋220)(x －40)＝2250. x 2－150x ＋5525＝0， 解得x 1＝65，x 2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元； (3)设利润为W 元，∴W ＝(x －40)(－2x ＋220)＝－2x 2＋300x －8800＝－2(x －75)2＋2450. ∵a ＝－2<0， ∴抛物线开口向下． ∵60≤x ≤110，∴当x ＝75时，W 有最大值，W 最大＝2450(元)．答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元． 9. 解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7000，5k ＋b ＝5000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－500，b ＝7500，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－500x ＋7500； (2)设销售收入为W ，根据题意得 W ＝yp ＝(－500x ＋7500)·(12x ＋12)，整理得W ＝－250(x －7)2＋16000，∵－250＜0，∴W 在x ＝7时取得最大值，最大值为16000元， 此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．10. 解：(1)①y ＝－2x ＋200； ②40，70，1800；(2)由题意可知w ＝(－2x ＋200)×(x －40－m )＝－2x 2＋(280＋2m )x －8000－200m ，对称轴为直线x ＝140＋m2，∵m ＞0，∴对称轴x ＝140＋m2＞70，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝65时，y max ＝1400，代入表达式解得m ＝5.。

主办单位：江苏省教育学会中学数学专业委员会江苏教育出版社《时代数学学习》编辑部江苏省第二十届初中数学竞赛试卷(第2试)(2005年12月18日上午8：30—11：00)一、选择题(共8题，每题8分，共64分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的括号内．1．定义运算符号“﹡”的意义为：a﹡b = a + bab(其中a、b均不为0 )．下面有两个结论：(1)运算“﹡”满足交换律；(2)运算“﹡”满足结合律．其中( )(A)只有(1)正确(B)只有(2)正确(C)(1)和(2)都正确(D)(1)和(2)都不正确2．下面有4个正整数的集合：(1)1～10l中3的倍数；(2)1～101中4的倍数；(3)1～101中5的倍数；(4)l～10l中6的倍数．其中平均数最大的集合是( )(A) (1) (B) (2) (C) (3) (D ) (4)3．下面有3个结论：(1)存在两个不同的无理数，它们的差是整数；(2)存在两个不同的无理数，它们的积是整数；(3)存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中正确的结论有( )(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个4．如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于( )(A) 14(a2 + b2) (B) 12(a2 + b2 ) (C) 18(a + b )2(D) 14ab5．如果m、n是奇数，关于x的方程x2 + mx + n = 0有两个实数根，则其实根的情况是( )(A)有奇数根，也有偶数根(B)既没有奇数根也没有偶数根(C)有偶数根，没有奇数根(D)有奇数根，没有偶数根6．如图，AB为⊙O的直径，诸角p、q、r、s之间的关系(1) p = 2q；(2) q = r；(3) p + s = 180°中，正确的是( )(A) 只有(1)和(2) (B) 只有(1)和(3) (C) 只有(2)和(3) (D) (1)、(2)和(3)第3题第8题7．有6个量杯A、B、C、D、E、F，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是( )(A) B、D(B) D、E(C) A、E(D) A、C8．如图，表示阴影区域的不等式组为( )2x +.y≥5，2x + y≤5，2x +.y≥5，2x + y≤5，(A) 3x + 4y≥9，(B) 3x + 4y≤9，(C) 3x + 4y≥9，(D) 3x + 4y≤9，y≥0 y≥0 x≥0 x≥0二、填空题(共8题，每题8分，共64分)：9．设a、b、c是△ABC的三边的长，化简(a–b–c )2 + (b–c–a )2 + (c–a–b )2 的结果是.10．如图，DC∥AB，∠BAF=∠BCD，AE⊥DE，∠D = 130°，则∠B = .第10题第13题11．同时掷出七颗骰子后，向上的七个面上的点数的和是10的概率与向上的七个面的点数的和是a (a≠10)的概率相等，那么a = ．12．方程2x2–x y– 3x + y + 2006 = 0的正整数解( x，y )共有对．13．如图，已知直角坐标系中四点A(– 2，4)，B(– 2，0)，C(2，–3)，D(2，0)．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标：.14．已知R、x、y、z是整数，且R> x > y > z，若R、x、y、z满足方程16(2R +2x + 2y +2z) = 330，则R = .15．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD = 14m，塔影长DE= 36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB = m．16．设2005的所有不同正约数的积为a，a的所有不同正约数的积为b，则b = .三、解答题(共4题，每题13分，共52分)17．某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(2)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(3)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作? 在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?18．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．(1)线段MN与BD是否垂直?请说明理由．(2)若∠BAC = 30°，∠CAD = 45°，AC =4，求MN的长.19．已知x、y为正整数，且满足xy– ( x + y ) = 2p + q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )20．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，l，2，2，2，1，2，．．．，规则是：第1个数是l，第2个数是2，第3个数是1．一般地，先写一行1，再在第k个1与第k + 1个1之间插入k个2 (k = 1，2，3，．．．)．试问(1) 第2005个数是1还是2 ？(2)前2005个数的和是多少? (3)前2005个数两两乘积的和是多少?参考答案(供参考)一、选择题：ACDB BADD二、填空题：9．a + b + c10．40°11．39 12．4 13．( 27，0)、(14，0)、(4，0)、(–4，0) 14．4 15．20 16．2005 9三、解答题17．在0时至2时内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作；在4时至5时内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作．18．（1）垂直，证略.（2）注意二种情况：B、D在AC两侧，MN= 2 –3，B、D 在AC同侧，MN = 2 + 3 .19. = 9，x = 5，y = 3，y = 5.20．(1)第2005个数是2．(2)前2005个数的和为3948．(3)所求和为778。

本试卷共分为三个部分，共计20题，满分100分。

考试时间为90分钟。

请将答案填写在答题卡上。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(x)的图像是（）A. 一次函数图像B. 二次函数图像C. 指数函数图像D. 对数函数图像答案：A2. 下列哪个方程的解是x=2？A. x + 1 = 3B. 2x - 1 = 3C. 3x = 6D. x + 2 = 4答案：B3. 下列哪个数是正数？A. -3B. 0C. 1/2D. -1/2答案：C4. 已知三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则三角形ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形答案：A5. 下列哪个数是正比例函数的图像？A. y = x^2B. y = 2xC. y = x^3D. y = 3/x答案：B二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知函数f(x) = -x + 2，则f(0)的值为______。

答案：27. 若a > b，则下列哪个不等式成立？A. a - b > 0B. a + b > 0C. a - b < 0D. a + b < 0答案：A8. 已知等差数列的首项为2，公差为3，则第10项的值为______。

答案：319. 已知圆的半径为5，则圆的面积为______。

答案：78.5三、解答题（每题15分，共30分）10. （10分）已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的解为x1和x2，求下列各式的值：（1）a(x1 + x2)^2 + b(x1 + x2) + c（2）a(x1^2 + x2^2) + b(x1 + x2) + c答案：（1）a(x1 + x2)^2 + b(x1 + x2) + c = a[(x1 + x2)^2] + b(x1 + x2) + c =a[x1^2 + 2x1x2 + x2^2] + b(x1 + x2) + c = ax1^2 + 2ax1x2 + ax2^2 + bx1 + bx2 + c = (ax1^2 + bx1 + c) + 2ax1x2 + ax2^2 = x1^2 + x2^2 + 2ax1x2 + c = (x1 + x2)^2 + c（2）a(x1^2 + x2^2) + b(x1 + x2) + c = a[(x1 + x2)^2 - 2x1x2] + b(x1 + x2) + c = a(x1 + x2)^2 - 2ax1x2 + bx1 + bx2 + c = (ax1^2 + bx1 + c) + (ax2^2 + bx2 + c) - 2ax1x2 = x1^2 + x2^2 + 2ax1x2 + c = (x1 + x2)^2 + c11. （15分）已知正方形的周长为16，求正方形的面积。