人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：
1、已知关于x的方程（m+3）x21m+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a.
（2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
①移项；
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；
③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程及其解法（一）——直接开平方法（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.
要点二、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
第1页（共8页）2023-2024学年九年级上数学：第21章一元二次方程21.1一元二次方程1．一元二次方程的定义：(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．(2)一般形式：200axbxca（），其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项、常数项，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．2．一元二次方程的一般形式：一般形式：20(0)axbxca．其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．3．一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
沪教版数学八年级下册21.1《整式方程》教学设计
一. 教材分析
《整式方程》是沪教版数学八年级下册第21章第1节的内容，主要介绍了整式方程的定义、解法及其应用。学生在学习了整式的运算和一元一次方程的基础上，进一步学习整式方程，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。本节课的内容是后续学习更复杂方程的基础，具有重要的意义。
二. 学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的运算和一元一次方程有一定的了解。但是，学生对整式方程的理解和应用还有一定的困难，需要通过实例分析和练习来进一步巩固。此外，学生的逻辑思维能力和解决问题的能力还有待提高，需要教师在教学过程中进行引导和培养。
三. 教学目标
1. 了解整式方程的定义，掌握整式方程的解法。
2. 能够应用整式方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点
1. 重点：整式方程的定义和解法。
2. 难点：整式方程的应用和解决实际问题。
五. 教学方法
1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究来发现和总结整式方程的解法。
2. 利用实例分析和练习，让学生在实际问题中体会整式方程的应用。
3. 采用小组合作交流的方式，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备
1. 准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等。
2. 准备黑板和粉笔，用于板书和讲解。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟） 利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法来解决这些问题。通过问题的引入，激发学生的学习兴趣，引出整式方程的概念。
2. 呈现（10分钟）
通过PPT展示整式方程的定义和解法，让学生初步了解整式方程的基本概念和解法。同时，引导学生思考如何将实际问题转化为整式方程，并解答一些简单的整式方程。
3. 操练（10分钟）
让学生分组合作，解决一些关于整式方程的实际问题。鼓励学生发表自己的观点和思路，培养学生的合作交流能力。教师在这个过程中给予适当的引导和帮助，解答学生遇到的问题。
