2006—2007学年第一学期 《本科高等数学(上)》试卷
一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)
1. 设
⎩⎨
⎧>≤=1
,01
,1)(x x x f , 则{}=)]([x f f f .
2. 设函数⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+=>-=⎰0,sin 0,80,)cos 1()(02x x dt e x b x x x x a x f x t
连续，则=a ，=b .
3．极限
=
+→x
x x sin 20
)
31(lim .
4．设 2)
(lim
0=→x x f x ,且)(x f 在0=x 连续,则)0(f '= .
5．设方程0=--y
e y x 确定函数)(x y y =, 则dx dy
= .
6．设
x y x
3cos 2-=, 则dy = .
7．抛物线
822
++=x x y 在其顶点处的曲率为 .
8．设)(x f 可导，{})]([x f f f y =，则='y .
9．[]⎰-=-+-+a
a dx x a x x f x f 2
2sin )()( .
10．微分方程
02=--
'x x y
y 的通解是 .
二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ）
(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；
(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.
2．极限=
++∞→n
n n n 32lim
（ ）
(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5;
3．设常数0>k ，则函数k
e x x x
f +-
=ln )( 在
),0(∞+内零点的个数为（ ）
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
4．设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的( ). (A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
5．设函数)(x f 二阶可导，且0)(0)(>''>'x f x f ，，令)()(x f x x f y -∆+=∆，当
0<∆x 时，则( ).
(A) ;0>>∆dy y (B) ;0<<∆dy y (C) ;0>∆>y dy (D) .0<∆6．若)()()(+∞<<-∞-=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)(>'x f ，0)(<''x f ，则)
(x f 在),0(∞+内( ). (A) 0)(,0)(<''>'x f x f (B) 0)(,0)(>''>'x f x f
(C) 0)(,0)(<''<'x f x f (D) 0)(,
0)(>''<'x f x f
7．设)(x f 在
0x x =处二阶可导, 且1)
(lim
-=-'→x x x f x x ,则( ).
(A) 0x 是)(x f 的极大值点; (B) 0x 是)(x f 的极小值点; (C) ))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点; (D) 以上都不是.
8．下列等式中正确的结果是 ( ).
(A)
⎰=');()(x f dx x f (B) ⎰=);()(x f dx x df (C) ⎰=);(])([x f dx x f d (D) ⎰=');())((x f dx x f
9．下列广义积分收敛的是( ).
(A) ⎰∞
+e dx x x ln (B) ⎰∞+e dx x x ln 1
(C) ⎰∞+e dx x x 2)(ln 1 (D) ⎰∞+e
dx x x ln 1
10．设)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是
( ).
(A) 存在)]()1
([lim a f h a f h h -++∞→ (B)存在
h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→
(C) 存在h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→ (D)存在h h a f a f h )()(lim 0--→
三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
1. 求不定积分⎰+-dx x x x
x sin 2cos 5sin 3cos 7
2. 计算定积分.
ln 1⎰
e e
dx x
3．求微分方程x y y y 234 5 -=+'+''的通解.
四．解答题：（本题共6小题，共37分。）
1．（本题5分）求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π
=
t 处的切线的方程.
2.（本题6分）求曲线
322
3
-+=x x x y 的渐进线.
3．（本题6分）求由曲线1=xy 及直线x y =,2=y 所围成图形面积。
4．（本题6分）证明：对任意实数x ，恒有.11≤-x
xe
5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?
