新(江苏专用)高考数学三轮增分练 高考小题分项练8 立体几何 文
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1 高考小题分项练8 立体几何
1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是____________．
答案 ①③
解析 ∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故①正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，
∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故②错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故③正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故④错误．
2．给出四个命题：
①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；
②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；
③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；
④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行．
其中真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①命题正确；②平行于同一直线的两个不重合的平面不一定平行，故②命题错误；③垂直于同一平面的两个不重合的平面不一定平行，故③命题错误；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行，故④命题正确．
3．底面边长为a的正四面体的体积为________．
答案 212a3
解析 由题意得正四面体的高为
a2－33a2＝63a，
V＝13×63a×34a2＝212a3.
4．将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.
答案 5
解析 由题意得，扇形弧长为对应圆锥底面周长，
因此2π(r1＋r2＋r3)＝2π×5 2 ⇒r1＋r2＋r3＝5.
5．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O—ABD的体积为V1，四棱锥O—ADD1A1的体积为V2，则V1V2的值为________．
答案 12
解析 设长方体长，宽，高分别为a，b，c，
V1＝13×12ab×12c＝abc12，
V2＝13×bc×12a＝abc6，
V1V2＝12.
6．如图，ABCD—A1B1C1D1是边长为1的正方体，S—ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一球面上，则该球的表面积为__________．
答案 8116π
解析 按如图所示作辅助线，点O为球心，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x，同时由正方体的性质知B1G1＝22，则在Rt△OB1G1中，OB21＝OG21＋G1B21，即(2－x)2＝x2＋(22)2，解得x＝78，所以球的半径R＝OB1＝98，所以球的表面积为S＝4πR2＝8116π.
7.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于 3 圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：
①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是______(填上所有正确命题的序号)．
答案 ②④
解析 ①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.
8．已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D—ABC的体积为________．
答案 245
解析 因为平面DAC⊥平面BAC，所以D到直线AC的距离为三棱柱D—ABC的高，
VD—ABC＝13S△ABCh，
S△ABC＝12×3×4＝6，h＝3×45＝125，
V＝13×6×125＝245.
9．已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为______．
答案 5
解析 V＝13Sh＝32，S＝42×42＝32，得h＝3.
正四棱锥底面对角线长为8，
则此四棱锥的侧棱长为32＋42＝5.
10．如图，将边长为5＋2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是______．
答案 2303π
解析 设圆锥底面半径为R＝MO，底面周长＝2πR＝弧长FE＝14×2πAM，∴AM＝4R，OC＝2R，AC＝AM＋MO＋OC＝(5＋2)R，正方形边长＝5＋2＝22AC， 4 即5＋2＝22(5＋2)R，∴R＝2，
AM＝42，h＝AM2－R2＝30，
V＝13πR2h＝13π×2×30＝230π3.
11．在正三棱锥S—ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S—ABC的外接球的表面积为________．
答案 12π
解析 因为三棱锥S—ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，
又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π.
12．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________ cm2.
答案 64
解析 如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中点F为AC与BD的交点，∴点E为DD1的中点，∴S△ACE＝64 (cm2)．
13．四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB＝3，BC＝4，又PA⊥平面ABCD，PA＝5，则该球的表面积为________．
答案 50π
解析 由勾股定理得AC＝5，在等腰直角三角形PAC中，PC＝2R＝52，因此表面积S＝4πR2＝50π.
14．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个说法中，正确说法的序号依次是________．
答案 ③④
解析 如图所示，逐个判断即可． 5
