【精品】2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二(下)期末数学试卷(理科)(逐题解析版)
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2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={1}，则P∪Q=（ ）
A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}
2．（5分）定义运算=ad﹣bc，若复数z满足=﹣2，则=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
4．（5分）如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）
①①
A．n=n+2，i＞16？ B．n=n+2，i≥16？ C．n=n+1，i＞16？ D．n=n+1，i≥16？
5．（5分）已知函数f（x）与g（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，则“f（x）是增函数”的一个充分不必要条件是（ ）
A．0＜a＜ B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞1
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6．（5分）等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ）
A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2 D．A2+B2=A（B+C）
7．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=|x|﹣y的取值范围是（ ）
A．[] B．[﹣1，3] C．[] D．[﹣1，0]
8．（5分）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）
A．24种 B．28种 C．32种 D．36种
9．（5分）设A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}，s为（e+1）n的展开式的第一项（e为自然对数的底数），m=，若任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（ ）
A． B．+ C．+ D．+2
11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），延长BO交抛物线的准线于点C，若|AF|=3|BF|，|AC|=3，则抛物线的方程为（ ）
A．y2=x B．y2=2x C．y2=3x D．y2=4x
12．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=acos2ωx﹣4cosωx+3a，若对任意给定的a∈[﹣1，1]，总存在x1，x2∈[0，]（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）=0，则ω的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）
13．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则f（3
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﹣x）＜0的解集为
；
14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为 ．
15．（5分）已知△ABC中角A，B，C满足sin2B=sinAsinC且sin2+coscos=1，则sinA=
；
16．（5分）已知||=||=1，向量满足|﹣（）|=||，则||的最大值为 ．
三．解答题（必做每题12分，选做10分）
17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2﹣bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y
（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3株，设随机变量X表示所抽取的3株高度在[80，90）内的株数，求随机变量X的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
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20．（12分）已知过点（1，﹣3），（1，1）且圆心在直线y=x﹣1上的圆C与x轴相交于A，B两点，曲线Γ上的任意一点P与A，B两点连线的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过原点O作射线OM，ON，分别平行于PA，PB，交曲线Γ于M，N两点，求|OM|•|ON|的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知实数a＞0，设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|．
（1）证明：f（x）≥2；
（2）若f（3）≤5，求a的取值范围．
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2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）
期末数学试卷（理科）答案与解析
一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={1}，则P∪Q=（ ）
A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}
【分析】根据P∩Q={1}求得a的值，再求出b，计算P∪Q的值．
【解答】解：集合P={3，log2a}，Q={a，b}，
若P∩Q={1}，则log2a=1，
∴a=2，b=1；
∴P={1，3}，Q={1，2}，
∴P∪Q={1，2，3}．
故选：B．
【点评】本题考查了交集与并集的运算问题，是基础题．
2．（5分）定义运算=ad﹣bc，若复数z满足=﹣2，则=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】由已知可得zi+z=﹣2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由已知可得，=﹣2⇔zi+z=﹣2，
即z（1+i）=﹣2，
∴z=，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）
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A．﹣1 B．0 C．1 D．6
【分析】直接利用等差中项求解即可．
【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，
解得a6=0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．
4．（5分）如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）
①①
A．n=n+2，i＞16？ B．n=n+2，i≥16？ C．n=n+1，i＞16？ D．n=n+1，i≥16？
【分析】首先分析，要计算的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．
【解答】解：①的意图为表示各项的分母，
而分母来看相差2，
∴n=n+2
②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，
而分母从1到31共16项，
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∴i＞16
故选：A．
【点评】本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）与g（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，则“f（x）是增函数”的一个充分不必要条件是（ ）
A．0＜a＜ B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞1
【分析】根据对称性求出函数f（x）的解析式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若f（x）与g（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=logax，
若f（x）为增函数，则a＞1，
则a＞1的一个充分不必要条件是2＜a＜3，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据关于y=x的对称性求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．
6．（5分）等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ）
A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2 D．A2+B2=A（B+C）
【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．
【解答】解：由题意可得：Sn=A，S2n=B，S3n=C．
由等比数列的性质可得：，，
所以，
所以整理可得：A2+B2=A（B+C）．
故选：D．
