珠海四中2009高三数学第二轮复习( 函数定义域和值域)

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第一讲 函数定义域和值域

★★★高考在考什么

【考题回放】

1、(2008江西文) 若函数()yfx的定义域是[0,2]，则函数(2)()1fxgxx的定义域是（B ）

A．[0,1] B．[0,1) C． [0,1)(1,4] D．(0,1)

2、(2008江西理)若函数()yfx的值域是1,32，则函数1()Fxfxfx的值域是（B ）

A．[21，3] B．[2，310] C．[25，310] D．[3，310]

3、(2008全国Ⅰ卷文) 函数1yxx的定义域为（ D ）

A．{|1}xx≤ B．{|0}xx≥ C．{|10}xxx≥或≤ D．{|01}xx≤≤

4、(2008全国Ⅰ卷理) 函数(1)yxxx的定义域为（ C ）

A．|0xx≥ B．|1xx≥ C．|10xx≥ D．|01xx≤≤

5．函数f(x)＝x21的定义域是 （ A ）

A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）

6．函数)34(log1)(22xxxf的定义域为 （A ）

A．（1，2）∪（2，3） B．),3()1,(

C．（1，3） D．[1，3]

7． 对于抛物线线xy42上的每一个点Q，点0,aP都满足aPQ，则a的取值范围是 （ B ）

A．0, B．2, C．2,0 D．2,0

8．已知)2(xf的定义域为]2,0[，则)(log2xf的定义域为 ]16,2[ 。

9．（2008安徽文、理）函数221()log(1)xfxx的定义域为 [3,) ．

10．(2008湖南理)已知函数3()(1).1axfxaa

（1）若a＞0,则()fx的定义域是 3,a ; 天利考试信息网 天时地利 考无不胜

(2) 若()fx在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是 ,01,3 .

★★★高考要考什么

一、 函数定义域有两类：具体函数与抽象函数

具体函数：只要函数式有意义就行－－－解不等式组；

抽象函数：（1）已知)(xf的定义域为D，求)]([xgf的定义域；（由Dxg)(求得x的范围就是）

（2）已知)]([xgf的定义域为D，求)(xf的定义域；（Dx求出)(xg的范围就是）

二、 函数值域（最值）的求法有：

直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围；

配方法：适合一元二次函数

反解法：有界量用y来表示。如02x，0xa，1sinx等等。如，2211xxy。

换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。

如求21xxy的值域。

单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求)1)(111(log2xxxy值域。

注意函数xkxy的单调性。

基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，

判别式：适合于可转化为关于x的一元二次方程的函数求值域。如2122xxxy。

反之：方程有解也可转化为函数求值域。如方程0sinsin2axx有解，求a的范围。

数形结合：要注意代数式的几何意义。如xxycos1sin2的值域。（几何意义――斜率）

三、 恒成立和有解问题

)(xfa恒成立)(xfa的最大值；)(xfa恒成立)(xfa的最小值；

)(xfa有解)(xfa的最小值； )(xfa无解)(xfa的最小值；

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知f(x)=3x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），求F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)的值域。 天利考试信息网 天时地利 考无不胜

分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注意F(x)的定义域与f－1(x)定义域的联系与区别。

解：由图象经过点（2，1）得，2b， xxf31log2)( )91(x

 F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)

91912xx )(xF的定义域为

]3,1[

1)1(log2log2)(log)log2()log2()(233232323xxxxxxF

]3,1[x， ]1,0[log3x， )(xF的值域是]5,2[

易错点：把)(1xf的定义域当做)(xF的定义域。

变式： 函数)(xfy的定义域为]1,1[x，图象如图所示，

其反函数为).(1xfy则不等式0]21)(][21)([1xfxf

的解集为 ]1,43( .

【范例2】设函数22()21(0)fxtxtxtxtR，．

（Ⅰ）求()fx的最小值()ht；

（Ⅱ）若()2httm对(02)t，恒成立，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）23()()1(0)fxtxtttxtR，，

当xt时，()fx取最小值3()1fttt，

即3()1httt．

（Ⅱ）令3()()(2)31gthttmttm，

由2()330gtt得1t，1t（不合题意，舍去）．

当t变化时()gt，()gt的变化情况如下表： 天利考试信息网 天时地利 考无不胜

t (01)， 1 (12)，

()gt  0 

()gt 递增 极大值1m 递减

()gt在(02)，内有最大值(1)1gm．

()2httm在(02)，内恒成立等价于()0gt在(02)，内恒成立，

即等价于10m，

所以m的取值范围为1m．

变式：函数f（x）是奇函数，且在[—l，1]上单调递增，f（－1）＝－1，(1) 则f（x）在[－1，1]上的最大值 1 ，(2) 若12)(2attxf对所有的x∈[－1，1]及a∈[－1，1]都成立，则t的取值范围是 202ttt或或_ ．

【范例3】已知函数ykx与22(0)yxx≥的图象相交于11()Axy，，22()Bxy，，1l，2l分别是22(0)yxx≥的图象在AB，两点的切线，MN，分别是1l，2l与x轴的交点．

（I）求k的取值范围；

（II）设t为点M的横坐标，当12xx时，写出t以1x为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（III）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

解：（I）由方程22ykxyx，消y得220xkx． ···· ①

依题意，该方程有两个正实根，

故212800kxxk，，解得22k．

（II）由()2fxx，求得切线1l的方程为1112()yxxxy，

由2112yx，并令0y，得1112xtx 天利考试信息网 天时地利 考无不胜

1x，2x是方程①的两实根，且12xx，故2128428kkxkk，22k，

1x是关于k的减函数，所以1x的取值范围是(02)，．

t是关于1x的增函数，定义域为(02)，，所以值域为()，0，

（III）当12xx时，由（II）可知1112xOMtx．

类似可得2212xONx．1212122xxxxOMONxx．

由①可知122xx．

从而0OMON．

当21xx时，有相同的结果0OMON．

所以OMON．

变式：已知函数)(log)(log212axxayaa)42(x的最大值是0，最小值是81，求a的值。

分析提示：（1）能化成关于logax的二次函数，注意对数的运算法则；(2)注意挖掘隐含条件“10a”；（3）掌握复合函数最值问题的求解方法。

解：)(log)(log212axxayaa)log1)(log2(21xxaa

=81)23(log212xa， ∵42x，且oy81

∴当23logxa即23ax时，81miny

∴3221a ∴10a，又y最大值是0，，

∴01log02logxxaa或 即axax112或 ， ∴ )41(212aa或

∴21a

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