非惯性系下的拉格朗日方程及其应用
摘 要 本文介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法，惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式，以及非惯性系中的应用等研究成果。
关键词 非惯性；拉格朗日方程；应用
在运用拉格朗日方程的计算中，多是在惯性系中进行的。诚然在惯性系中运用拉格朗日方程有很多方便之处。但是有时会遇到在惯性系中考察则不易求出物体的动能。
例：如图，物体绕Z轴转动，不易求出转动惯量IZ，则转动动能不易求出，进而质点P的总的动能不易求出。在惯性系下运用拉格朗日方程有困难。此时，如果考虑在非惯性系中，采用非惯性系下的拉格朗日方程，可能使得问题容易解决，从而得到解决问题的另一条途径。
1）在非惯性系下拉格朗日方程的形式
在非惯性系中，牛顿定律形式上成立，则由几个质点所形成的力学体系的动力学方程可写为
或
其中，为作用在第i个质点的约束反力的合力，为作用在第i个质点上的惯性力的合力，为主动力的合力。在理想约束的条件下，则得：
把不独立的等改为用广义坐标等来表示，则上式变为：
（1.1式）
以下的推导过程可采用《理论力学教程》第二版（作者：周衍柏）中的推导方法。只是在末尾增添上此项：
令进而推导可得：
将（A）中的三个式子代入（1.1式）可得：
由于相互独立，故得：
（1.2式）
这就是在非惯性系下的拉格朗日方程的基本形式。
2）存在属于保守力的惯性力
（1）根据保守力的定义或斯巴克斯公式易证牵连惯性力是保守力；
（2）由于惯性离心力是有心力，易证有心力属于保守力。
3）在非惯性系下的保守系的拉格朗日方程的形式对保守力系而言存在势能V，且：
（B）式对也成立。
把（B）式代入（A）式，则：
同理也可求得。
其中V1属于保守力的主动力作用于力系而具有的势能；V2为属于保守力的惯性力的作用而具有的势能。
令，即V为总的势能，则（1.2）可改写为:
令，即L为非惯性系下的拉格朗日函数，则可得：
（1.3）
約瑟夫∙拉格朗日拉格朗日力学
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拉格朗日力学（英语：Lagrangian mechanics）是分析力学中的一种，于
1788年由約瑟夫∙拉格朗日所创立。拉格朗日力学是对经典力学的一种的新
的理论表述，着重于数学解析的方法，並運用最小作用量原理[1]，是分析
力学的重要组成部分。
经典力学最初的表述形式由牛顿建立，它着重於分析位移，速度，加速
度，力等矢量间的关系，又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概
念，又运用达朗贝尔原理，求得与牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。不
仅如此，拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。还有，选取
恰当的广义坐标，可以大大地简化拉格朗日方程的求解过程。
目录
1自由度
2广义坐标
3拉格朗日量
4拉格朗日方程
5拉格朗日力学的扩展
6参见
7参考文献
自由度
力学系统可以由一组坐标来描述。例如，一个质点的运动（在笛卡尔坐标系中）由x、y、z三个坐标来描述。
一般而言，个质点组成的力学系统由个坐标来描述。力学系统中常常存在着各种约束，使得这个坐
标并不都是独立的。力学系统的独立坐标的个数称之为自由度。对于个质点组成的力学系统，若存在个
约束，则系统的自由度为
。
广义坐标
在矢量力学中，约束的存在体现于作用于系统的约束力。约束力引入额外的未知量，通常使问题变得更为复
杂。但若能选取适当的个完全满足约束条件的独立坐标，则约束不再出现在问题中，只需要求解关于个未
知变量的方程，使问题得以大大简化。而如果运用牛顿力学来解约束问题，通常约束越多，需要求解的方程
个数就越多，反而增加了一定的难度。这样的个坐标不再局限于各质点的位置坐标，而可以是任何能描述系
统的几何参量，因此称为“广义坐标”。
拉格朗日量
拉格朗日力学的一个基本假设是：具有个自由度的系统，其运动状态完全由个广义坐标及广义速度决定。
或者说，力学系统的运动状态由一个广义坐标和广义速度的函数描述：
。
这个函数称为拉格朗日函数或拉格朗日量。引入势能函数[2]。这时拉格朗日函数表示为：
拉格朗⽇点的推导
2018年8⽉9⽇
拉格朗⽇点是天⽂学中的概念。两个⼤质量的星体周围共存在五个这
样的点：假如将⼩质量飞⾏器放在这些点以相同的⾓速度随着这两个天体
转动，那么三者之间的相对位置将不变。这样的点就称为拉格朗⽇点。接下
来就来具体求这些点的位置在什么地⽅。
为了对拉格朗⽇表⽰崇⾼的敬意，下⽂将采⽤理论⼒学中的拉格朗⽇
⽅程来进⾏求解。
我们考虑两个⼤质量的星体只受到互相之间的引⼒作⽤⽽不受到任何
其他的作⽤，围绕着质⼼作圆周运动。这时候有⼀个⼩飞⾏器，⼩到其质量
对引⼒场没有影响即不会对两个星体原来的运动产⽣⼲扰，这个飞⾏器受
到两个星体对其的引⼒作⽤。我们在以质⼼为原点的极坐标系下写出它的
拉格朗⽇量L为：
L=1
2m(˙r2+r2˙θ2)+GM
1m
√
r2+r2
1+2rr
1cos(θ−θ
1)+GM
2m
√
r2+r2
2−2rr
2cos(θ−θ
1)
上式中m是飞⾏器质量，M
1和M
2分别是两个星体的质量。r
1和r
2分别
是两个星体到原点的距离，θ和θ
1分别是飞⾏器的与极轴的夹⾓以及M
1
与极轴的夹⾓。
有了拉⽒量接下来就按部就班地进⾏计算：
∂L
∂r=mr˙θ2−GM
1m(r+r
1cos(θ−θ
1))
(r2+r2
1+2rr
1cos(θ−θ
1))3
2−GM
2m(r−r
2cos(θ−θ
1))
(r2+r2
2−2rr
2cos(θ−θ
1))3
2
d
dt∂L
∂˙r=m¨r
∂L
∂θ=GM
1mrr
1sin(θ−θ
1)
(r2+r2
1+2rr
1cos(θ−θ
1))3
2−GM
2mrr
2sin(θ−θ
1)
(r2+r2
2−2rr
2cos(θ−θ
1))3
2
d
dt∂L
∂˙θ=mr2¨θ+2mr˙r˙θ
12
根据拉格朗⽇点的定义我们知道飞⾏器在拉格朗⽇点上的时候没有径向速
度所以r对时间的求导都是0，其次两个星体是匀速圆周运动，⽽飞⾏器保
持与他们的相对位置不变所以其⾓加速度也为0，加速度为常量等于两个星
体的⾓速度。所以有以下⽅程组：
r˙θ2=GM
1(r+r
1cos(θ−θ
17 动力学普遍方程和拉格朗日方程
17 动力学普遍方程和拉格朗日方程
17-1【是非题】理论力学中，任何其他动力学方程都可由动力学普遍方程推导出来。
（ ）
17-2【是非题】具有完整、理想约束的保守系统，其运动规律不完全取决于拉格朗日
函数。 （ ）
17-3【是非题】广义坐标不能在动参考系中选取。 （ ）
17-4【是非题】任意质点系各广义坐标的变分δq都是彼此独立的。 （ ）
17-5【是非题】系统的广义坐标数并不一定总是等于系统的自由度数。 （ ）
17-6【是非题】广义力的表达式随所取的广义坐标的不同而不同，故其单位可能使
N或是N·m等。（ ）
17-7【选择题】如果系统的拉格朗日方程数目恰好等于系统的自由度数目，则该系统应该是 。 ，
A．保守系统 B．完整系统
C．非完整系统 D．任意系统
17-8【选择题】图示均质细杆AB长为l，重力为P，可在铅垂
平面内绕A转动，小球M重力为G，可在AB杆上滑动，弹簧原长
l0，刚度系数k，不计弹簧质量和所有各处摩擦。今取x，ϕ为广义
坐标，则对应于广义坐标x的广义力为 。 l0
A．Gcosϕ + k（l0+x） B．Gcosϕ − k（l0+x）
C．Gcosϕ − kx D．Gcosϕ + kx
17-9【选择题】图示系统中，物块A的重力为PA，物块B
的重力为PB，滑轮、细绳的质量不计，则相对于广义坐标x
的广义力Qx=________。
A．BAPP+−2 B．BAPP+−2
C． D．BAPP−2BAPP−2
17-10【选择题】在铅垂面内，由六根等长刚杆铰
接而成的系统，其独立的一组广义坐标为_______。
A．xB、xC
B．1ϕ、4ϕ
C．1ϕ、xA、xD
D．1ϕ、xB、xC
E．1ϕ、2ϕ、3ϕ、4ϕ ϕ Ax
k M
B
PAA B x
PB
O1 O2ϕ1xA ϕ4D Aϕ2xB ϕ3BxC C xD
班级 姓名 学号 81 17 动力学普遍方程和拉格朗日方程
