初中九年级数学几何定理符号语言

初中数学“图形与几何”内容

九年级上册

51、旋转：

（1）定义：把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转。

（2）性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。

52、中心对称：

（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

（2）性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。

53、中心对称图形：

（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

（2）中心对称图形的举例。

54、关于原点对称的点的坐标：点P(x，y)关于原点的对称点为P´(-x，-y)。

55、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

56、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

注：（1）上述定理中，共有五个条件，即：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，这五个条件中知其中二个可得另外三个。

（2）相关计算：垂径定理的基本图形中，若半径OC、弦心距OE、弦CD（或弦的一半）、弓形高BE这四个量，知其中二个可求得另外二个。所以在相关题目中，可根据具体情况作出相应的辅助线。具体公式为：BE+OE=OB，OC 2 + CE 2 = OC 2 。

57、弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（或所对弦的弦心距相等）。 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

（定理）几何语言：如图所示，

∵AB是直径，AB⊥CD于E

∴CE=DE，BC=BD，AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （推论）几何语言：如图所示，

∵AB是直径，CE=DE

∴AB⊥CD，BC=BD，AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

（定理）几何语言：如图所示，在⊙O中，

①∵ ∠AOB=∠COD ∴AB=CD，AB=CD

②∵ AB=CD∴∠AOB=∠COD，AB=CD

③∵ AB=CD∴∠AOB=∠COD，AB=CD ⌒ ⌒

⌒ ⌒

⌒ ⌒

注：若过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，则OE=OF。即为上述定理中的“所对弦的弦心距相等”。

FEODCBA

58、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

59、圆周角定理的推论：

（1）①半圆（或直径）所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

60、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

61、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

62、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（常用辅助线：连半径，证垂直；作垂直，等半径。）

63、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。（辅助线：作过切点的半径）

64、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

附几个特殊图形： OCBA（推论）几何语言：如图所示，在⊙O中，

①∵ AB是直径（或弧AB是半圆） ∴∠C＝90°

②∵∠C＝90° ∴AB是直径

（性质）几何语言：如图所示，在⊙O中，

∵四边形ABCD是圆内接四边形

∴∠A+∠C＝180°（或∠B+∠D＝180°）

LAO（判定定理）几何语言：

如图所示，在⊙O中，

∵OA是半径， OA⊥L于A

∴直线L是⊙O的切线 （性质定理）几何语言：

如图所示，在⊙O中，

∵直线L切⊙O于点A

∴OA⊥L

（定理）几何语言：如图所示，在⊙O中，

∵PC、PD切⊙O于A、B两点

∴PA=PB，∠APO=∠BPO EODCBAPGFPABCDOE注：如左图，若在图中再添加几条线段，则图形涵盖了垂径定理、弧弦圆心角的关系、圆周角定理（推论）、圆内接四边形、切线、切线长定理的基本图形。 ODABC

ABCDEO PABCDOE

65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判断方法：

位置关系名称 公共点个数 数量关系 说明

点和圆 点在圆外

无 d > r d:点到圆心的距离

r:圆的半径 点在圆上 d = r

点在圆内 d < r

直线和圆 相离 0个 d > r d:直线到圆心的距离

r:圆的半径 相切 只有1个 d = r

相交 2个 d < r

圆和圆 外离 0个 d > r1+r2

d:圆心距

r1、r2:圆的半径

(r1 < r2) 外切 只有1个 d = r1+r2

相交 2个 r2- r1

内切 只有1个 d = r2- r1

内含 0个 d < r2- r1

66、三角形的外心和内心：

（1）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三

角形的外心在三角形外。

（2）三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等；

（3）三角形的内心是三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。

67、正多边形：

①⊙O是Rt△ABC的内切圆，D、E是切点，则四边形ODCE是正方形。②S△ABC ＝21（AC+BC+AB）·OD

（此公式对于一般三角形也成立） PB、PA、CD分别切⊙O于B、A、E，则△PCD的周长等于PB+PA，即：

△PCD的周长＝2 PB

如左图所示：

AB是直径，CA、CD、DB分别切⊙O于A、E、B，则

①∠COD＝90°

②再连接OE，则△ACO≌△ECO，△DEO≌△DBO

GABCDEFO如左图所示：

①正多边形的每一个内角，如∠A＝（n-2）×180°／n ，中心角∠COD＝360°／n

②正n边形的半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形 EODCBA

68、弧长公式：L= n π R／180 （n：圆心角度数；R：半径）

69、扇形面积：S扇形=nπR／360=LR／2（n：圆心角度数；R：半径；L：弧长）

70、求阴影部分的面积：认真观察图形，注意图形特征。

71、圆锥与扇形的关系：

（1）圆锥的母线（PB）是其侧面展开图扇形的半径；

圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长。

（2）圆锥的母线（PB）、圆锥的高（PO）、底面圆半

径（OB）构成一个直角三角形。

72、圆的两条平行弦所夹的弧相等。

73、与半径相等的弦所对的圆心角是60° 。

九年级下册

74、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。（以相似三角形为例）

ABCDEF

75、相似比为1时，相似的两个图形全等。

76、平行线分线段成比例定理：

①三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。应用于三角形中，会出现以下两种情况：

②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

77、三角形相似的判定方法：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：如左图所示：

∵△ABC∽△DEF

∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， DEAB = EFBC =EFAC OABP如左图（1）：∵L3∥L4∥L5，

∴AD：AB=AE：AC； AD：DB=AE：EC；

DB：AD=EC：AE； DB：AB=EC：AC

如左图（2）：∵L3∥L4∥L5，

∴DA：AC=EA：AB； DA：DC=EA：EB；

AB：EA=AC：DA； AB：EB=AC：DC （1） （2） L1L2L5L4L3L2L1EDCBAEDCBA

DECBA

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

ABCDEF

78、相似直角三角形的判定方法：

①一般三角形相似的判定方法也适用。

②满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。

FEDBCA

79、相似多边形（三角形）的相关量的比：

①相似多边形（三角形）周长的比等于相似比；相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。

②相似多边形（三角形）面积的比等于相似比的平方。

78、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或—k。

80、锐角三角函数：

（1）定义：如右图，sinA=cosB=ABBC ，sinB=cosA= ABAC ，tanA=ACBC ，tanB= BCAC 。

（2）特殊角的三角函数值：

30° 45° 60° 几何语言：如图所示：

∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

几何语言：如图所示：

（2）∵DEAB = EFBC =EFAC ∴△ABC∽△DEF

（3）∵DEAB = EFBC，∠B=∠E ∴△ABC∽△DEF

（4）∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴△ABC∽△DEF

第（3）（4）还有其它情况，也成立。

BAC几何语言：如图所示：

②∵DEAB = EFBC（或DEAB =EFAC）

∴△ABC∽△DEF