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第三节极限承载力的计算

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第三节 极限承载力的计算

在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c，表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。

随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。

梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。

一．普朗特尔极限承载力公式

普朗特尔公式是求解宽度为b的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P作用下的极限荷载Pu值。

普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：

（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0，而只具有c，的材料。

（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。

（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I，径向剪切区II或过渡区和朗肯被动区III所组成。其中滑动区I 边界BC或AC为直线，并与水平面成（45＋/2）角；即三角形ABC是主动应力状态区；滑动区II的边界CE或

CＤ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 tgerr0，r0为起始矢径；θ为射线r与r0夹角，滑动区III的边界E G，DF为直线并与水平面成（45－φ/2）角。

（4）当基础有埋置深度d时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载dq来代替。根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：

cqucNrdNp

式中：r：基础两侧土的容重 d：基础的埋置深度

qN，cN：承载力系数，它们是土的内摩擦角的函数，可查下表：

其中)245(02tgeNqtg

ctgNqNc)1(

 Nr Nq

Nc  Nr Nq Nc

0 0 1.00 5.14 24 6.90 9.61 19.3

2 0.01 1.20 5.69 26 9.53 11.9 22.3

4 0.05 1.43 6.17 28 13.1 14.7 25.8

6 0.14 1.72 6.82 30 18.1 18.4 30.2

8 0.27 2.06 7.52 32 25.0 23.2 35.5

10 0.47 2.47 8.35 34 34.5 29.5 42.2

12 0.76 2.97 9.29 36 48.1 37.8 50.6

14 1.16 3.58 10.4 38 67.4 48.9 61.4

16 1.72 4.33 11.6 40 95.5 64.2 75.4

18 2.49 5.25 13.1 42 137 85.4 93.7

20 3.54 6.40 14.8 44 199 115 118

22 4.96 7.82 16.9 45 241 134 133

二、斯肯普顿地基极限承载力公式

对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：

dcpbdlbu055)1)(1(5

c——地基土粘聚力;

b、l——分别为基础的宽度和长度；

0——基础埋置深度d范围内土的重度。

三．太沙基极限承载力公式 对于均匀地基上的条形基础，当受中心荷载作用时，若把土作为有重量的介质，即不等于零，求其极限承载力时，太沙基作了如下假设：

1．基础底面粗糙，即的与土之间有摩擦力存在

当地基达到破坏并出现连续的滑动面时，其基底下有一部分土体将随着基础一起移动而处于弹性平衡状态，该部分土体称为弹性核或叫弹性契体，如图8-9中ABC所示。

弹性核的边界AC或BC为滑动面的一部分，它与水平面的夹角为，而它的具体数值又与基底的粗糙程度有关。

2．当把基底看作是完全粗糙时，则滑动区域由径向过渡区剪切区II和朗肯被动区III所组成。其中滑动区域II的边界CE和ＤC为对数螺旋曲线，其曲线方程为（r0为起始矢径）。朗肯区域III的边界DFA为直线，它与水平面成（450－φ/2）角。

3．当基础有埋置深度时，则基底以上两侧的土体用相当的均布超载dq来代替。根据上述假定，经推导可得地基的极限承载力

cqrucNqNrbNp21

式中：Nr，Nq，Nc称为承载力系数，都是土的内摩擦角的函数。

其中：)245(cos202)23(tgeNq

ctgNqNc)1(

但对Nr，太沙基并未给出公式。太沙基将Nr，Nq，Nc可以查表8－4得。

几点说明：

（1）当把基础底面假定为光滑时，则基底以下的弹性核就不存在，而成为朗肯主动区I了，而AC面与水平面的夹角ψ＝（450＋φ/2）而整个滑动区域将完全与普朗特尔的情况相似，因此，由C,q所引起的承载力系数即可直接取用普朗特尔的结果，即：

)245(02tgeNtgq

ctgNqNc)1(

而由土容重所引起的承载力系数则采用下列半经验公式来表达：

28.1NctgNr 将)245(02tgeNtgq

ctgNNqc)1(

28.1tgNNcr

代入：cqrucNqNrbNp21

即可得基础底面完全光滑情况下的太沙基地基极限承载力，或Nq，Nc，Nr可直接查表取得。

（2）太沙基承载力公式都是在整体剪切破坏的条件下得到的，对于局部剪切破坏时的承载力，应进行修正。

cc32

,32tgtg

再用修正后的c，，就可计算局部剪切破坏时松软土的地基承载力

'''21cqruNcqNrbNp

式中：cN，qN，rN：修正后的承载力系数。

（3）对于方形或圆形基础，太沙基建议用下列修正公式计算地基极限承载力：

圆形基础：cqrurcNrdNrRNp2.16.0 整体破坏

'2.1''6.0cqrurNcrdNrRNp 局部破坏

方形基础： cqruscNrdNrbNp3.14.0 整体破坏

'3.1''4.0cqrusNcrdNrbNp 局部破坏

4．地基的容许承载力

将上述各公式算出的极限承载力up，除以安全系数K，即得到地基的容许承载力

Kppu

在设计时，基底压力p应满足p≤[p]的要求。

例题1：某办公楼采用砖混结构基础。设计基础宽度b=1.50m，基础埋深d=1.4m，地基为粉土， =18.0kN/m3, ＝30度，c＝10kPa，地下水位深7.8m，计算此地基的极限荷载和地基承载。

解：（1）条形，由太沙基公式：cqrucNqNrbNp21

因为030，查得，Nr＝19，Nc＝35，Nq＝18

代入公式up＝18.0×1.5×19÷2＋10×35＋18.0×1.4×18＝1060.1 kPa

（2）地基承载力：Kppu＝1060.1/3.0＝353.4 kPa

例题2：在例题1中，若地基的为20度，其余条件不变，求up和p

解：（1）当020，查曲线：Nr＝4，Nc=17.5，Nq＝7，

cqrucNqNrbNp21

up＝18.0×1.5×4÷2＋10×17.5＋18.0×1.4×7＝405.4kPa

（2）Kppu＝405.4/3.0＝135 kPa

评论：由上两例计算结果可见：基础的形式，尺寸与埋深相同，地基土的，c不变，只是由30度减小为20度，极限荷载与地基承载力均降低为原来的38％，可知：的大小，对up和p影响很大。

四、考虑其它因素影响时的极限承载力计算公式

1、汉森极限承载力公式

对于均质地基基础底面完全光滑，在中心倾斜荷载作用下，汉森建议按下式计算竖向地基极限承载力。

cccccqqqqrrrrruNidscidsdNdidsbNp21

式中：(1)s，qs，cs为基础的形状系数， 取：ccqqrrilbsilbsilbs2.01sin16.04.01或lbstglbslNbNsrqcqc4.0111

(2) iciqir,,为荷载倾斜系数

0))450/7.0(1(07.01500cActgppcActgppirhh

0)5.01(5cActgppiqh

)11(Nqiqiqic

（3）cqrddd,,深度修正系数

BDdBDdBDtgddccqr35.01,40.01)sin1(2112

（4）cqrggg,,地面倾斜系数

7.141)5.01(5cqrgtggg

（5）cqrbbb,,基底倾斜系数

7.14/1)2exp(7.2exp(cqrbtgbtgb

（6）Nr，Nc，Nq承载力系数，由下式表示： 228.1)1()245(NctgNrctgNqNctgeNqtg上式中βη分别为地面和基底的倾角。

几点说明：

（1）应用公式时，应满足ptgCaAph，以保证基底不因水平力过大而产生水平滑动。

Ph：作用在基底上的水平分力

P：作用在基底上的垂直分力

Ca：为基底与土之间的粘滞力

δ：为基底与土之间的摩擦力

A=L×B

（2）当基底受到偏心荷载作用时，先将其换成有效的基底面积，然后按中心荷载情况下的极限承载力公式进行计算。

若条形基础，其荷载的偏心距为e，则用有效宽度 B’=B－2e，来代替原来的宽度B。

若是矩形基础，并且在两个方面均有偏心，则用有效面积A’=B’×L’来代替原来的面积A。其中B’=B－2eB,L’=L－2eL

(3)对于成层土所组成的地基，当各土层的强度相差不大的情况下，汉森建议按下式近似确定持力层的深度。

Zmax＝λB

式中：λ：为系数，根据土层平均内摩擦角和荷载的倾角β从下表查出：

B：为基础的原宽度。

λ值表：单位为（度）

ψ

tgβ

≤20

21～35

36～45

≤0.2 0.6

1.20

2.00

0.21～0.30

0.4

0.90

1.60

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混凝土极限承载力计算原理

混凝土极限承载力计算原理

混凝土极限承载力计算原理

一、引言

混凝土结构工程设计中，混凝土极限承载力是一个非常重要的指标，它直接决定了结构的安全性和经济性。本文将从混凝土材料的力学性质、混凝土的应力应变关系、混凝土的破坏形式等方面，详细介绍混凝土极限承载力的计算原理。

二、混凝土材料的力学性质

混凝土是一种复合材料，由胶凝材料（水泥、石灰等）和集料（石子、沙子等）以及水按一定比例混合而成。混凝土的力学性质主要包括抗压强度、抗拉强度、剪切强度、弹性模量等。

1. 抗压强度

混凝土的抗压强度是指在规定的试验条件下，混凝土试样在受到垂直于试样上表面的压力作用下发生破坏时的最大应力值。抗压强度是混凝土最基本的力学性能指标，也是设计混凝土结构时最为重要的参数之一。

2. 抗拉强度

混凝土的抗拉强度很低，而且在受拉应力作用下容易发生裂缝。因此，在混凝土结构设计中，一般不考虑混凝土的抗拉强度。但是，在某些特殊情况下，如预应力混凝土结构中，混凝土的抗拉强度需要得到考虑。

3. 剪切强度

混凝土的剪切强度指在规定的试验条件下，混凝土试样在受到水平剪切力作用下发生破坏时的最大应力值。混凝土的剪切强度一般比抗压强度低，但在实际工程中，混凝土结构的受力状态往往是复杂的，需要考虑混凝土的剪切强度。

4. 弹性模量

混凝土的弹性模量是指在弹性阶段内，混凝土应变与应力之间的比值。弹性模量是混凝土结构设计中另一个重要的参数，它对结构的变形和刚度都有影响。

三、混凝土的应力应变关系

混凝土的应力应变关系是指在外力作用下，混凝土的应力和应变之间的关系。混凝土的应力应变关系是非线性的，通常可以分为三个阶段：弹性阶段、塑性阶段和破坏阶段。

1. 弹性阶段

当混凝土受到轻微的荷载时，其应变与应力之间的关系可以近似为线性关系，称为弹性阶段。在弹性阶段中，混凝土的应力随着应变的增加而线性增加，弹性模量就是应力应变曲线的斜率。

2. 塑性阶段

当荷载继续增大，混凝土的应力达到一定值时，混凝土开始产生塑性变形，应力应变曲线开始出现一定的非线性段，称为塑性阶段。

土壤的极限承载力计算公式

土壤的极限承载力计算公式

土壤的极限承载力计算公式

土壤的极限承载力是指土壤能够承受的最大荷载，是土壤工程设计中非常重要的参数之一。通过计算土壤的极限承载力，可以帮助工程师确定土壤的稳定性，并为工程设计提供重要参考。本文将介绍土壤的极限承载力计算公式及其相关知识。

土壤的极限承载力受到多种因素的影响，包括土壤类型、含水量、密实度、孔隙度等。在实际工程中，通常使用特定的计算公式来确定土壤的极限承载力。其中，较为常用的计算方法包括带水土壤和饱和土壤的极限承载力计算公式。

带水土壤的极限承载力计算公式如下：

\[ q_{ult} = cN_c + \gamma D_fN_q + 0.5\gamma BN_\gamma \]

其中，\( q_{ult} \)为土壤的极限承载力，\( c \)为土壤的内摩擦角，\( N_c \)、\( N_q \)、\( N_\gamma \)为土壤的容许承载力系数，\( \gamma \)为土壤的重度，\( D_f \)为土壤的深度，\( B \)为基础的宽度。

饱和土壤的极限承载力计算公式如下：

\[ q_{ult} = cN_c + \gamma D_fN_q + 0.5\gamma BN_\gamma + \gamma D_f \]

在这两个公式中，\( cN_c \)代表土壤的粘聚力对极限承载力的贡献，\( \gamma

D_fN_q \)代表土壤的重力对极限承载力的贡献，\( 0.5\gamma BN_\gamma \)代表土壤的基础尺寸对极限承载力的贡献，\( \gamma D_f \)代表土壤的饱和度对极限承载力的贡献。

通过以上两个公式的计算，可以得出土壤的极限承载力，从而为工程设计提供重要的参考依据。需要注意的是，不同类型的土壤和不同的工程条件会对极限承载力的计算结果产生影响，因此在实际应用中需要根据具体情况进行调整。

除了以上介绍的计算公式外，还有一些其他的方法可以用来计算土壤的极限承载力，例如采用现场试验数据进行分析，或者使用专业的土壤力学分析软件进行计算。在实际工程中，工程师可以根据具体情况选择合适的方法来确定土壤的极限承载力，以确保工程的稳定性和安全性。

按理论公式计算地基极限承载力

按理论公式计算地基极限承载力

按理论公式计算地基极限承载力

按理论公式计算地基极限承载力2010-04-1709:58地基的极限承载力pu是指地基发生剪切破坏失去整体稳定时的基底压力，地基承受荷载的极限压力。将地基极限承载力除以安全系数K，即为地基承载力的设计值。

求解地基的极限承载力的途径有二:一是用严密的数学方法求解土中某点达到极限平衡时的静力平衡方程组，以求得地基的极限承载力。此方法过程甚繁，未被广泛采用。二是根据模型试验的滑动面形状，通过简化得到假定的滑动面，然后借助该滑动面上的极限平衡条件，求出地基极限承载力。此类方法是半经验性质的，称为假定滑动面法。不同研究者所进行的假设不同，所得的结果不同，下面介绍的是几个常用的公式。

7.3.1普朗德尔公式

普朗德尔(Prandtl,1920)根据塑性理论，导得了刚性冲模压入无质量的半无限刚塑性介质时的极限压应力公式。若应用于地基极限承载力课题，则相当于一无限长、地板光滑的条形荷载板置于无质量(γ=0)的地基表面上，当土体处于极限平衡状态时，塑性区的边界如图7-3所示(此时基础的埋置深度d=0，基底以上土重q=γd=0)。由于基底光滑，Ⅰ区大主应力σ1为垂直向，其边界AD或A1D为直线，破裂面与水平面成45°+φ/2，称主动朗肯区。Ⅲ区大主应力σ1为方向水平，其边界EF或E1F1为直线，破裂面与水平面成45°-φ/2，称被动朗肯区。Ⅱ区的边界DE或DE1为对数螺旋线，方程为r=r0exp(θtanφ)，式中。取脱离体ODEC(见图7-4)，根据作用在脱离体上力的平衡条件，如不计基底以下地基土的重度(即γ=0)，可求得极限承载力为

(7-8)

其中

Nc=(7-9)

式中Nc--承载力系数，是仅与φ有关的无量纲系数; c--土的粘聚力(kPa)。

如果考虑到基础有一定的埋置深度d(见图7-3),将基底以上土重用均布超载q(=γd)代替，赖斯纳(Reissner,1924)导得了计入基础埋深后的极限承载力为

单桩极限承载力标准值计算

单桩极限承载力标准值计算

单桩极限承载力标准值计算

单桩极限承载力是指桩基在受到最大荷载时所能承受的最大承载力，是桩基设计中非常重要的参数。在工程实践中，根据桩基的设计要求和地质条件，需要对单桩的极限承载力进行准确计算，以保证工程的安全可靠性。本文将介绍单桩极限承载力的计算方法，并通过一个实例进行说明。

首先，我们需要了解单桩极限承载力的计算公式。在一般情况下，单桩极限承载力可按以下公式进行计算：

Qp = Ap σcp + π D L c Nc + π D L q Nq + 0.5 π D^2 γ Nγ。

其中，Qp为单桩的极限承载力，Ap为桩的截面积，σcp为桩身的极限抗压强度，D为桩的直径，L为桩的埋入深度，c、q、γ分别为土的凝聚力、内摩擦角和重度，Nc、Nq、Nγ为相应的修正系数。

在实际计算中，我们需要根据具体的工程情况确定桩的截面积、抗压强度和地层参数，并结合相关的规范和标准进行计算。在确定这些参数后，我们可以按照上述公式对单桩的极限承载力进行计算。

接下来，我们通过一个实例来说明单桩极限承载力的计算过程。假设某工程需要设计一根直径为1m，埋入深度为15m的桩基，地层土的凝聚力为60kPa，内摩擦角为30°，重度为18kN/m³，桩身的极限抗压强度为150kPa。根据规范，修正系数Nc、Nq、Nγ分别为14.6、27.5、10.3。

将这些参数代入上述公式，我们可以得到该单桩的极限承载力为：

Qp = π (1m)^2 150kPa + π 1m 15m 60kPa 14.6 + π 1m 15m 18kN/m³ 27.5

+ 0.5 π (1m)^2 18kN/m³ 10.3 ≈ 4716kN。

通过计算，我们得知该单桩的极限承载力约为4716kN。在实际工程中，我们可以根据这一计算结果来确定桩基的设计方案，以保证工程的安全可靠性。 总之，单桩极限承载力的计算是桩基设计中的重要环节，需要根据具体的工程情况和地质条件进行准确计算。通过本文的介绍和实例，相信读者对单桩极限承载力的计算方法有了更深入的了解，希望能对工程实践提供一定的帮助。