2019年高考数学试题全国三卷3理科数学
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2019·全国卷Ⅲ(理科数学)
1
.A1,E3[2019·全国卷
Ⅲ]已知集合
A={
-1,0,1,2},
B={
x|x2
≤1},则
A∩
B=()
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D. {0,1,2}
1.A[解析] 因为A={-1,0,1,2},B={x|x2
≤1}={x|-1≤x≤1},所以A∩B={-1,0,1}.
2.L4[2019·全国卷Ⅲ]若z(1+i)=2i,则z=()
A
.-1
-i B
.-1
+I C
.1
-i D
.1
+i
2.D[解析] z==-
-=1+i.
3.
I2[2019·全国卷Ⅲ
]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说
四大名著
.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》
的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,
则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ()
A
.0
.5 B
.0
.6 C
.0
.7 D
.0
.8
3.C[解析] 设只阅读过《西游记》的学生有x位,则x+60+(80-60)=90,解得x=10,所以阅读过《西游记》的学生
人数为10
+60
=70,故该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
=0
.7
.
4.J3[2019·全国卷Ⅲ] (1+2x2
)(1+x)4
的展开式中x3
的系数为()
A.12 B.16 C.20 D.24
4
.A[解析] 因为(1
+2
x2
)(1
+x)4
=(1
+x)4
+2
x2
(1
+x)4
,所以展开式中
x3
的系数为
+2
=12
.
5.D3[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{a
n}的前4项和为15,且a
5=3a
3+4a
1,则a
3=()
A.16 B.8 C.4 D.2
5
.C[解析] 设数列{
a
n}的公比为
q,由题知
a
1>0,
q>0且
q≠1,则-
-解得所以
a
3=a
1q2
=4
.
6.
B12[2019·全国卷Ⅲ
]已知曲线y=a
ex+x
ln x
在点(1,a
e)处的切线方程为y=
2x+b
,则()
A
.a=e,
b=-1 B
.a=e,
b=1 C
.a=e-1
,
b=1 D
.a=e-1
,
b=-1
6.D[解析] 令y=f(x)=aex
+xln x,则f'(x)=aex
+ln x+1,由题意知即
解得-
-
7.B8[2019·全国卷Ⅲ]函数y=
-在[-6,6]的图像大致为()
A B
C D
图1-1
7
.B[解析] 令
y=f(
x)
=
-,易知
f(
-x)
=-f(
x),所以
f(
x)为奇函数,排除选项C;
f(4)
=
-=>0,排除选项
D;f
(6)=
-=
≈6.
75,排除选项A.
故选B.
8
.G5[2019·全国卷
Ⅲ]如图1
-2,点
N为正方形
ABCD的中心,△
ECD为正三角形,平面
ECD⊥平面
ABCD,
M是线段
ED的中点,则()
图1
-2
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D
.BM≠
EN,且直线
BM,
EN是异面直线
8.B[解析] 连接BD,则N为BD的中点,连接MN,CM,BE.如图所示,在△EDB中,M,N分别是ED,BD的中点,所以
MN∥
BE,
MN=BE,则四边形
MNBE是梯形,
BM,
EN是梯形的两条对角线,所以直线
BM,
EN相交
.设正方形
ABCD
的边长为
a,由题意可得△
BCM为直角三角形,则
BM==a.
记CD的中点为H,连接EH,HN,则△EHN为直角三角形,则EN==a,故BM≠EN.综上所述,BM≠EN,且
直线BM,EN是相交直线.
9.D3, L1[2019·全国卷Ⅲ]执行图1-3的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于()
图1
-3
A.2- B.2- C.2- D.2-
9.C[解析]
x=1,
s=0,
s=0
+1
=1,
x=,
>0
.01;
s=1
+,
x=,
>0
.01;
s=1
++,
x=,
>0
.01;
s=1
+++,
x=,
>0
.01;
s=1
++++,
x=
,>0.01;s=1+++++,x=,>0.01;s=1++++++,x=,<0.01,输出
s=1++++++=-
-=2-.
10.H6[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△
PFO的面积为()
A
.B
.C
.2D
.3
10.A[解析] 设M为OF的中点,由题意知|OF|==,则|OM|=.因为|PO|=|PF|,所以点P在线段OF的垂
直平分线上,即点P的横坐标为.不妨设点P在第一象限,由题知双曲线的一条渐近线的方程为y=x,可得点P的
纵坐标为,所以△PFO的面积S=××=.
11.B3,B4[2019·全国卷Ⅲ]设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()
A
.f>f-
>f-
B.f>f-
>f-
C.f-
>f-
>f
D.f-
>f-
>f
11.C[解析] 因为f(x)为偶函数且在(0,+∞)单调递减,log
34>1,0<-
<-
<20
=1,所以f=f
(-
log
34)
=f(log
34)
f-
>f-
>f(20
)
=f(1),所以
f-
>f-
>f.
12.C4[2019·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=sin(
ω＞0),已知
f(
x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:
①ｆ(
x)在
(0,2π)有且仅有3个极大值点;
②ｆ(
x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点;
③ｆ(
x)在单调递增;④ω的取值范围是
.其中所有正确结论的编号是()
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
12
.D[解析] 由
x∈[0,2π],得
ωx+∈.设2ωπ+
=t,由题意及函数
y=sin
x的图像知,
t∈[5π,6π),则
ω∈
,故f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,而f(x)在(0,2π)可能有2个极小值点,也可能有3个极小值点,故①
正确,②不正确,④正确;
当x∈时,ωx+∈,因为ω∈,所以+<+=<,故f (x)在单调递增,③正确.故选D.
13.F3[2019·全国卷Ⅲ]已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos= .
13
.[解析] 因为
|c|=-
===3,
a·
c=a·(2
a-b)
=2
a2
-a·
b=2,所以cos
c>==.
14.D2[2019·全国卷Ⅲ]记S
n为等差数列{a
n}的前n项和.若a
1≠0,a
2=3a
1,则= .
14
.4[解析] 设数列{
a
n}的公差为
d,由题意得
a
1+d=3
a
1,即
d=2
a
1,则
S
5=5
a
1+d=25
a
1,
S
10=10
a
1+d=100
a
1,
所以==4.
15
.H5[2019·全国卷
Ⅲ]设
F
1,
F
2为椭圆
C:
+=1的两个焦点,
M为
C上一点且在第一象限
.若△
MF
1F
2为等腰三角
形,则
M的坐标为
.
15.(3,)[解析] 不妨设F
1为椭圆C的左焦点,由题意知|MF
1|=|F
1F
2|=8,则|MF
2|=12-|MF
1|=4.过M作MN垂直
于x轴,垂足为N,则在Rt△MF
1N和Rt△MF
2N中,分别有|MN|2
=|MF
1|2
-|NF
1|2
=64-|NF
1|2
,|MN|2
=|MF
2|2
-|NF
2|2
=16-
