大学物理刚体力学基础习题思考题与答案
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专业知识 整理分享 习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端
分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定
2
滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成
的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力分析如图，可建立方程：
2mgT22ma┄①
T1┄②
mgma T
(TT)rJ┄③ 2
(TT)
1rJ┄④
a，
r 2 Jmr┄⑤ /2
1 联立，解得：ag
4 11 ，Tmg
8 。
5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面
上，设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作
用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
解：（1）设杆的线密度为： m
l ，在杆上取
一小质元dmdx，有微元摩擦力：
dfdmggdx，
微元摩擦力矩：dMgxdx，
考虑对称性，有摩擦力矩：
l
1
M2gxdxmgl； 2
0
4
（2）根据转动定律
MJJ d
dt ，有： t
0 0 MdtJd， 0
11 2 mgltml，∴ 0 412 t
3 0 l
g 。
或利用： MtJJ，考虑到0， 0 1 2 Jml， WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 12
有：0 t 3 l
g 。 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量
可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为
2
R,其转动惯量为MR/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，
下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：
mgTma┄①
TR┄②
J
aR， 1 2 JmR┄③
2
2mgMmg
联立，解得：aT
，，M2mM2m
考虑到a dv
dt ，∴ vt2mg
dvdt 00 M2m ，有： v 2mgt
M2m 。
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均
匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而
在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O
2
轴的转动惯量J/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬
MR
时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？
解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
Mg T1人
Ma A
MM
T2ga物 B 44
T1RTRJ滑轮 2
2
由约束方程:aaRJ,解上述方程组
A和MR/4 B WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 得到 g a. 2
解二：
选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 du
物上升的速度，注意到u为匀速，0
dt ，系统对轴的角动量为：
1M3 2 LMvRM(uv)R(R)MvRMu 442 R
(B物体)(人)(A物体)
而力矩为： M 13
MgRMgRMgR，
44
根据角动量定理 dL3d3 M有：MgR(MvRMuR)，∴ dt4dt2 g a。 2
5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。
解：设球的半径为R，总重量为m，体密度
4 3 m
R 3 ，
考虑均质球体内一个微元： dmrdrdd，2sin 2sin
由定义：考虑微元到轴的距离为rsin
2
J(rsin)dm，有：
2R
22
J(rsin)rsindrdd 000
1 5R2 2r[(1cos)dcos] 0 5 0 2
5 2 mR。
5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲
度系数k40N/m，当0时弹簧无形变，细棒的质量
m，求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度
5.0kg
，才能转动到水平位置？
解：以图示下方的三角桩为轴，从
考虑机械能守恒，那么： 0 0~90时，
0时的机械能为：
l11 22 mg(重力势能)（ml）(转动动能)， WORD格式可编辑
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0 90时的机械能为： 1
2 kx 2 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 有： l111 222 mg（ml）kx 2232
根据几何关系： 21.5212
(x0.5)，得： 3.28rads 1
5-7．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若
盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；
（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，
下降过程机械能守恒，
有： 1 2 mgRJ，而
2 13 222 JmRmRmR 22
∴ 4
3 g
R vcR 4Rg
3 v2R A 16 Rg
3
7
（2）2
Fmg（重力）mR（向心力）mg，方向向上。 y 3
5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕
1
水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l
3 2
和l
3 ．轻杆原来
静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度 v与杆下端小球m作对 0
心碰撞，碰后以 1
2 v的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 0
解：根据角动量守恒，有：
2122ll 22 mvlmvlm()2m() 00 32333
有： 4221 22 (ll)vlvl 00 9933
3v 0 ∴
2lWORD格式可编辑
专业知识 整理分享 5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘
与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中
心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，
一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打
入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，
盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止
转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
1
2 2 MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)
解：（1）利用角动量守恒： mvR 1
2 MR 22 mR
得： 2mv
(2mM)R ；
（2）选微分dmrdrd，其中：面密度 M
R 2 ，
R M2
Mgrdmgr2πrdrMgR f 2 0 R3
∴由 MtJ有： f 21 22 MgRt(MRmR)0， 32
知： 2M2m tR 4Mg
将 2mv
M2mR 代入，即得： t
2 3 mv
Mg 。
5-10．有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放
在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点
O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动
的质量为 m的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端 2
A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后
的速度分别为 v和 1 v，如图所示。求碰撞后从细棒开 2
始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕O点的转动惯量 1 2 Jml) 1 WORD格式可编辑
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解：由碰撞时角动量守恒，考虑到 v和 1 v方向相反，以逆时针为正向，有： 2 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 1 2 mvlmlmvl，得： 21122 3 3 m2(vv) 12
ml 1
又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
lm 1 1 Mgxdxmgl f1 0l 2 ，利用 MJ f d
dt ，有：
1 2 tmld 0 1 3
dt
1 0
mgl 1 2 ，得： t 2l
3 2m(vv) 212
gmg 1 。
5-11．如图所示，滑轮转动惯量为 2 0，半径为7cm；物体的质量为5kg，
.01kgm
用一细绳与劲度系数k200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮
轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使
物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时
的位置及最大速率。
解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为 x。 max
由机械能守恒： 1
2 2 kxmgx，有： maxmax
2mg x0.49m max k ；
（2）当物体下落时，由机械能守恒： 111 222 kxmvJmgx， 222
考虑到 v
R ，有： 111 2222 kxmRJmgx，
222 d
欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令0
dx ，有：
1d 2 kx(mRJ)2mg 2dx d
，将0 dx mg 代入，有：x0.245(m)，
k
∴当x0.245m时物体速度达最大值，有：
