四川省高考数学试卷理科及答案

11．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N+）且{an}的前n项和为Sn，则 =（ ）
A．3B． C．2D．
12．（5分）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 =（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则 =（ ）
A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元
10．（5分）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）
根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）复数 =（ ）
A．﹣2iB． C．0D．2i
3．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
（Ⅰ）求证：CD=C1D；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．
20．（12分）设d为非零实数，
（Ⅰ）写出a1，a2，a3并判断﹛an﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．复数的虚部是（）A．﹣B．﹣C．D．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A．B．C．D．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．812．已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析版〕参考公式：假如事件互斥，那么 球的外表积公式()()()P A B P A P B 24S R假如事件互相HY ，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R 在n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n …第一局部 〔选择题 一共60分〕考前须知：1、选择题必须使需要用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目的号的位置上。

2、本局部一共12小题，每一小题5分，一共60分。

一、选择题：每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是〔 〕A 、42B 、35C 、28D 、21[答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7，令k=2，那么2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为 [点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这局部分值，首先需要纯熟掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算才能.2、复数2(1)2i i-=〔 〕 A 、1 B 、1- C 、i D 、i - [答案]B.[解析]2(1)2i i -=12212-=-+ii i [点评]突出考察知识点12-=i ，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以. 3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是〔 〕A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0[答案]A[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 那么sin CED ∠=〔 〕ABC[答案]B1010cos 1sin 10103EC ED 2CD -EC ED CED cos 1CD 5CB AB EA EC 2AD AE ED 11AE ][22222222=∠-=∠=•+=∠∴==++==+=∴=CED CED ，）（，正方形的边长也为解析 [点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5、函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是〔 〕[答案]C[解析]采用排除法. 函数(0,1)xy a a a a =->≠恒过〔1,0〕，选项只有C 符合，应选C.[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比拟常用，且简单易用.6、以下命题正确的选项是〔 〕A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B 、假设一个平面内有三个点到另一个平面的间隔 相等，那么这两个平面平行C 、假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D 、假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行[答案]C[解析]假设两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的间隔 相等，那么这两个平面平行，故B 错；假设两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；应选项C 正确.[点评]此题旨在考察立体几何的线、面位置关系及线面的断定和性质，需要纯熟掌握课本根底知识的定义、定理及公式. 7、设a 、b 都是非零向量，以下四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是〔 〕A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b =[答案]D[解析]假设使||||a b a b =成立，那么方向相同，与b a 选项里面只有D 能保证，应选D. [点评]此题考察的是向量相等条件⇔模相等且方向一样.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.8、抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2009年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合S={x||x|＜5}，T={x|x2+4x﹣21＜0}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{x|﹣7＜x＜5}2．（5分）已知函数连续，则常数a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）复数的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称D．函数f（x）是奇函数5．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°6．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．48．（5分）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（）A．B．πC．D．2π9．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．310．（5分）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元11．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．3612．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）的展开式的常数项是（用数字作答）14．（4分）若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．15．（4分）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是．16．（4分）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射f：V→V满足：对所有及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则②对设，则f是平面M上的线性变换；③若是平面M上的单位向量，对设，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，，若共线，则也共线．其中真命题是（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．（1）求A+B的值；（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．18．（12分）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°（I）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；（Ⅲ）求二面角F﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．21．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（1﹣a x）．（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；（2）若n∈N*，求；（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e f（x））（x2﹣m+1）．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．22．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立，记．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=b2n﹣b2n﹣1（n∈N*），设数列{c n}的前n项和为T n，求证：对任意正整数n都有；（Ⅲ）设数列{b n}的前n项和为R n．已知正实数λ满足：对任意正整数nR n≤λn 恒成立，求λ的最小值．2009年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•四川）设集合S={x||x|＜5}，T={x|x2+4x﹣21＜0}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{x|﹣7＜x＜5}【分析】由绝对值的意义解出集合S，再解出集合T，求交集即可．【解答】解：由S={x|﹣5＜x＜5}，T={x|﹣7＜x＜3}故S∩T={x|﹣5＜x＜3}，故选C2．（5分）（2009•四川）已知函数连续，则常数a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据x=2的左右极限和x=2时的函数值，结合函数在一点处的连续性的定义求解．【解答】解：由题意得：==4，又∵f（2）=a+log22=a+1，由函数在一点处的连续性的定义知f（2）=，故a+1=4，解得a=3．故选B．3．（5分）（2009•四川）复数的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】本题是一个复数的运算，包括除法和乘方，解题时要先计算分子上的乘方，再计算除法，注意虚数单位i的运算性质．【解答】解：∵====﹣1，∴原式=﹣1故选A．4．（5分）（2009•四川）已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称D．函数f（x）是奇函数【分析】先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．【解答】解：∵y=sin（x﹣）=﹣cosx，∴T=2π，A正确；y=cosx在[0，]上是减函数，y=﹣cosx在[0，]上是增函数，B正确；由图象知y=﹣cosx关于直线x=0对称，C正确．y=﹣cosx是偶函数，D错误．故选D5．（5分）（2009•四川）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．6．（5分）（2009•四川）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b ﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选B．7．（5分）（2009•四川）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2﹣y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，∴•=故选C8．（5分）（2009•四川）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（）A．B．πC．D．2π【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．【解答】解：∵AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O′是AC的中点．O′C=，AC=3，∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，则B、C两点的球面距离=．故选B．9．（5分）（2009•四川）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P 到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B10．（5分）（2009•四川）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．11．（5分）（2009•四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．36【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B．12．（5分）（2009•四川）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．【分析】从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选A．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2009•四川）的展开式的常数项是﹣20（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求得常数项．【解答】解：，令6﹣2r=0，得r=3故展开式的常数项为（﹣1）3C63=﹣20故答案为﹣2014．（4分）（2009•四川）若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【分析】画出草图，O1A⊥AO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（m，0），O1A⊥AO2，，∴m=±5AB=故答案为：415．（4分）（2009•四川）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°．【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【解答】解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，A2B=a，BM==a，A2M==a，∴A2B2+BM2=A2M2，∴∠MBA2=90°．故答案为90°．16．（4分）（2009•四川）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射f：V→V满足：对所有及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则②对设，则f是平面M上的线性变换；③若是平面M上的单位向量，对设，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，，若共线，则也共线．其中真命题是①②④（写出所有真命题的序号）【分析】本题考查的知识点的演绎推理，由已知中，若映射f：V→V满足：对所有及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论．【解答】解：令==，λ=μ=1，由题有f（）=2f（）⇒f（）=，故①正确；由题f（λ+μ）=2（λ+μ），λf（）+μf（）=2λ+2μ）=2（λ+μ），即f（λ+μ）=λf（）+μf（），故②正确；由题f（λ+μ）=λ+μ﹣，λf（）+μf（）=λ﹣+μ﹣，，即f（λ+μ≠λf（）+μf（），故③不正确；由题=λ，f（）=f（﹣λ）=f（）﹣λf（）⇒f（）=λf（），即f（），f（）也共线，故④正确；故答案为：①②④三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2009•四川）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．（1）求A+B的值；（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案．（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出abc的值．【解答】解：（1）∵A、B为锐角，sinB=，∴cosB==．又cos2A=1﹣2sin2A=，∴sinA=，cosA==．∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=×﹣×=．∵0＜A+B＜π，∴A+B=．（2）由（1）知C=，∴sinC=．由正弦定理==得a=b=c，即a=b，c=b．∵a﹣b=﹣1，∴b﹣b=﹣1，∴b=1．∴a=，c=．18．（12分）（2009•四川）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【分析】（Ⅰ）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论．（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，其中持银卡人数为随机变量ξ，则得到ξ的可能取值，做出变量在不同取值时对应的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）∵现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．∴由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．P（B）=P（A1）+P（A2）==所以，在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3P（ξ=0）=；，P（ξ=1）=．P=（ξ=2）=，P（ξ=3）=，所以ξ的分布列为ζ0123P∴Eξ=．19．（12分）（2009•四川）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°（I）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；（Ⅲ）求二面角F﹣BD﹣A的大小．【分析】（1）欲证EF⊥平面BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根据条件很显然；（2）取BE的中点N，连接CN，MN，易证PM∥CN，根据线面平行的判定定理很快得证；（3）作FG⊥AB，交BA的延长线于G，作GH⊥BD于H，连接FH，易证∠FHG 为二面角F﹣BD﹣A的平面角，在Rt△FGH中求出此角即可．【解答】解：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF ∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF所以BC⊥EF因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°，又因为∠AEF=45，所以∠FEB=90°，即EF⊥BE因为BC⊂平面ABCD，BE⊂平面BCE，BC∩BE=B所以EF⊥平面BCE（II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN==PC∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，∴PM∥平面BCE．（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、∴∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角、∵FA=FE，∠AEF=45°，∠AEF=90°，∠FAG=45°、设AB=1，则AE=1，AF=，则在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+=，，在Rt△FGH中，，∴二面角F﹣BD﹣A的大小为20．（12分）（2009•四川）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，右准线方程为x=2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）由已知得，解得，由此能得到所求椭圆的方程．（2）由题意知F1（﹣1，0）、F2（1，0），①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=﹣1，由得设、，，这与已知相矛盾．②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0．再由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（1）由已知得，解得∴∴所求椭圆的方程为（2）由（1）得F1（﹣1，0）、F2（1，0）①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=﹣1，由得设、，∴，这与已知相矛盾．②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0∴，∴．又∵∴∴化简得40k4﹣23k2﹣17=0解得k2=1或k2=（舍去）∴k=±1∴所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣121．（12分）（2009•四川）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（1﹣a x）．（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；（2）若n∈N*，求；（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e f（x））（x2﹣m+1）．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．【分析】（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减．（2）求出f（n）代入极限式，利用特殊函数的极限值求出极限．（3）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a x＞0所以当0＜a＜1时，f（x）的定义域是（0，+∞），a＞1时，f（x）的定义域是（﹣∞，0），f′（x）==当0＜a＜1时，x∈（0，+∞），因为a x﹣1＜0，a x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．当a＞1时，x∈（﹣∞，0），因为a x﹣1＜0，a x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．（2）因为f（n）=log a（1﹣a n），所以a f（n）=1﹣a n，由函数定义域知1﹣a n＞0，因为n是正整数，故0＜a＜1，所以=．（3）h（x）=e x（x2﹣m+1）（x＜0），所以h'（x）=e x（x2+2x﹣m+1），令h'（x）=0，即x2+2x﹣m+1=0，由题意应有△≥0，即m≥0．①当m=0时，h'（x）=0有实根x=﹣1，在x=﹣1点左右两侧均有h'（x）＞0，故h（x）无极值．②当0＜m＜1时，h'（x）=0有两个实根，．当x变化时，h'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，0）h′（x）+0 ﹣0 +h（x）递增极大值递减极小值递增∴h（x ）的极大值为，h（x ）的极小值为．③当m≥1时，h'（x）=0在定义域内有一个实根．同上可得h（x ）的极大值为．综上所述，m∈（0，+∞）时，函数h（x）有极值．当0＜m＜1时，h（x ）的极大值为，h（x ）的极小值为．当m≥1时，h（x ）的极大值为．22．（14分）（2009•四川）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立，记．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=b2n﹣b2n﹣1（n∈N*），设数列{c n}的前n项和为T n，求证：对任意正整数n都有；（Ⅲ）设数列{b n}的前n项和为R n．已知正实数λ满足：对任意正整数nR n≤λn 恒成立，求λ的最小值．﹣a n=5a n+1，即，所以，（Ⅰ）由题设条件能导出a n【分析】+1∴．（Ⅱ）由，知=，当n=1时，；当n≥2时，．（Ⅲ）由知R n=b1+b2+…+b2k+1==＞4n﹣1．由此入手能推导出正实数λ的最小值为4．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=5a1+1，∴又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1﹣a n=5a n+1，即∴a n+1∴数列a n成等比数列，其首项，公比是∴∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴=又，∴当n=1时，当n≥2时，=，故所证结论成立（Ⅲ）由（Ⅰ）知一方面，已知R n≤λn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1（k∈N+）则R n=b1+b2+…+b2k+1==＞4n﹣1∴λn≥R n＞4n﹣1，即（λ﹣4）n＞﹣1对一切大于1的奇数n恒成立∴λ≥4否则，（λ﹣4）n＞﹣1只对满足的正奇数n成立，矛盾．另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有R n≤4n事实上，对任意的正整数k，有==∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N+）则R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＜8m=4n当n为奇数时，设n=2m﹣1（m∈N+）则R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣3+b2n﹣2）+b2n﹣1＜8（m﹣1）+4=8m﹣4=4n∴对一切的正整数n，都有R n≤4n综上所述，正实数λ的最小值为4。