2018届高三数学每天一练半小时：第10练 二次函数与幂函数 含答案

一、选择题1．设函数f (x )＝13x 3－x ＋m 的极大值为1，则函数f (x )的极小值为( )A ．－13B ．－1 C.13D ．12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－234．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－26．(2016·河北保定一中模拟)已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥11 B ．a ≤11 C ．a ≥418D ．a ≤4187．(2016·唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324D.328．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)二、填空题9．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________________．10．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________________．11．(2017·郑州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．12．(2015·四川)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)答案精析1．A [求导可得f ′(x )＝x 2－1，由f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1，又因为函数在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，且f (－1)＝1，即m ＝13，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝13×13－1＋13＝－13，故选A.]2．D [因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )·(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，又因为x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.]3．A [由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.]4．D [当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错；当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，③正确；当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y＝f (x )无极值，⑤错．故选D.]5．B [∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b >0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0，∴f ?1?f ′?0?＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2，当且仅当a ＝c 时“＝”成立．] 6．A [f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x 2－1x3.令1x ＝t ，则当t ∈[12，1]时，a ≥9t ＋3t 2－t 3. 令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，则h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12. ∴h ′(t )在[12，1]上是增函数．∴h ′(x )min ＝h ′(12)＝－34＋12>0.∴h (t )在[12，1]上是增函数．∴a ≥h (1)＝11，故选A.]7．D [令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (x >0，t >0)，即t ＋ln t＝a ，则|AB |＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|.设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.]8．B [函数f (x )＝x (ln x －ax )(x >0)，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x－a )＝ln x －2ax ＋1.令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，等价于f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)．当a ＝12时，直线y ＝2ax －1与y ＝ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是(0，12)．]9．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. 因为f (x )既有极大值又有极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根． 所以Δ＝4a 2－4(a ＋2)>0， 所以a >2或a <－1. 10．(0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 11．－13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a 3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9. [f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 12．①④解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x的图象可看出，m ＝k AB >0恒成立，故①正确；对于②直线CD 的斜率可为负，即n <0，故②不正确； 对于③由m ＝n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x－x 2－ax ，则h ′(x )＝2xln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，得2xln 2＝2x ＋a ，结合图象知，当a 很小时，该方程无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2，使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 即不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故③不正确； 对于④由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2x ln 2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2x ln 2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.故④正确．综上可知①④正确．。

一、选择题阶段滚动检测【四)1.已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a 等于【 ) A ．0 B.14 C ．0，14D ．－14，02．已知f 【x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f 【x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f 【x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f 【4)等于【 ) A ．－3＋2 B ．1 C ．3D.3＋23．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是【 ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x4．【2016·原创预测卷)给出下列命题，正确命题的个数是【 )①若a >b ，则2a>2b； ②若a >b >0，则1a <1b；③若a >0，b >0，c >0，则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ≥3； ④若a >0，b >0，则不等式a ＋2b ab ≥92a ＋b恒成立． A ．1 B ．2 C ．3D ．45．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P 【x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是【 )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－536．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＝8，且S n ＋1＝p S n ＋1，则实数p 的值为【 ) A ．1 B ．2 C.34D ．47．【2017·广州调研)在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是【 ) A ．[12，2]B ．[0，32]C ．[12，32]D ．[0,1]8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC的面积为【 ) A.1574B.1572 C.574D.5729．【2016·长沙模拟)已知函数f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2【x )－af【x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是【 ) A ．【0,1) B ．【0,2) C ．【1,2)D ．【0,3)10．已知函数f 【x )＝ax 2＋2ax ＋4【0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则【 ) A ．f 【x 1)<f 【x 2) B ．f 【x 1)＝f 【x 2)C ．f 【x 1)>f 【x 2)D ．f 【x 1)与f 【x 2)的大小不能确定11．已知函数f 【x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f 【－1)的取值范围是【 ) A ．[－32，3]B ．[32，6]C ．[3,12]D ．[－32，12]12．【2016·北京朝阳区模拟)若函数f 【x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3 【－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则【OB →＋OC →)·OA →等于【 )A ．－32B ．－16C ．16D ．32二、填空题13．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2【a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.14．已知函数f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx，x ≥0，e x，x <0，若对任意的x ∈[1－2a ，2a －1]，不等式f [a 【x ＋1)－x ]≥[f 【x )]a恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．设n 是正整数，由数列1,2,3，…，n 分别求相邻两项的和，得到一个有n －1项的新数列：1＋2,2＋3,3＋4，…，【n －1)＋n ，即3,5,7，…，2n －1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是____________．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围是________________． 三、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A .【1)求角A 的大小；【2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．已知函数f 【x )＝a ln x －x ＋a －1x. 【1)若a ＝4，求f 【x )的极值；【2)若f 【x )在定义域内无极值，求实数a 的取值范围．19．已知f【x)＝【x－1)2，g【x)＝4【x－1)，数列{a n}满足：a1＝2，a n≠1，且【a n－a n＋1)g【a n)＝f【a n)【n∈N*)．【1)证明：数列{a n－1}是等比数列；【2)若数列{b n}满足b n＝2n－14n－1(a n－1)，求数列{b n}的前n项和T n.20．已知二次函数f【x)＝x2＋bx＋c【b，c∈R)．【1)若f【－1)＝f【2)，且不等式x≤f【x)≤2|x－1|＋1对x∈[0,2]恒成立，求函数f【x)的解析式；【2)若c<0，且函数f【x)在[－1,1]上有两个零点，求2b＋c的取值范围．21.已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋5n ，且满足a 4＝b 14，a 6＝b 126，令c n ＝log 2a n 【n ∈N *)．【1)求数列{b n }及{c n }的通项公式；【2)设P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n ，Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ，试比较P n 与Q n 的大小，并说明理由．22．已知函数f 【x )＝ln 【e x＋a ＋3)【a 为常数)是实数集R 上的奇函数． 【1)若关于x 的方程ln x f (x )＝x 2－2e x ＋m 有且只有一个实数根，求m 的值；【2)若函数g 【x )＝λf 【x )＋sin x 在区间[－1,1]上是减函数，且g 【x )≤λt －1在x ∈[－1,1]上恒成立，求实数t 的最大值．答案精析1．C [由A ∩B ＝A ∪B 知A ＝B ，又根据集合元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，a ≠b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，a ≠b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，故a ＝0或14.]2．D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3， f 【4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f 【4)＝3＋2，故选D.]3．D [y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得T＝π.] 4．D5．C [当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P 【x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点A 【－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.]6．B [因为数列{a n }是等比数列，由S n ＋1＝p S n ＋1，得S n ＋2＝p S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2a n ＋1＝p ，所以公比q ＝p ，由S n ＋1＝pS n ＋1，得a 1＋a 2＝pa 1＋1， 所以a 1＋pa 1＝pa 1＋1，即a 1＝1，由a 4＝8＝a 1p 3，得p 3＝8，所以p ＝2.故选B.]7．C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E 【x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，C 【1,1)，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC →＝【1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12·【1－x,1)＝【1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤【1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是[12，32]．]8．A [cos A ＝34，cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x＝37，解得BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.]9．A [设t ＝f 【x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f 【x )＝0或f 【x )＝a .如图，作出函数f 【x )的图象，由函数图象，可知f 【x )＝0的解有两个，故要使方程f 2【x )－af 【x )＝0恰有5个不同的解， 则方程f 【x )＝a 的解必有三个，此时0<a <1. 所以a 的取值范围是【0,1)．]10．A [f 【x )的对称轴为直线x ＝－1， 又∵x 1＋x 2＝1－a ，∴x 1＋x 22＝1－a2，0<a <3.∴1－a 2>－1.∵x 1<x 2，∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离． 又∵a >0，∴f 【x 1)<f 【x 2)．]11．C [方法一 由于f ′【x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，令g 【x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 结合二次函数图象可得只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝12－8b ＋c ≥0，g (－1)＝3－4b ＋c ≤0，g (1)＝3＋4b ＋c ≤0，g (2)＝12＋8b ＋c ≥0，此即为关于点【b ，c )的线性约束条件，作出其对应的平面区域，f 【－1)＝2b －c ，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f 【－1)＝2b －c 的最值问题，由线性规划易知 3≤f 【－1)≤12，故选C.方法二 方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]的条件也可以通过二分法处理，即只需g 【－2)g 【－1)≤0，g 【2)g 【1)≤0即可，利用同样的方法也可解答．]12．D [由f 【x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3＝0可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝6k －2，k ∈Z .∵－2<x <10，∴k ＝1，x ＝4，即A 【4,0)．设B 【x 1，y 1)，C 【x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于A 对称，即x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0，则【OB →＋OC →)·OA →＝【x 1＋x 2，y 1＋y 2)·【4,0)＝4【x 1＋x 2)＝32.故选D.] 13．2n解析 ∵2【a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， ∴2a n ＋2a n ·q 2＝5a n ·q ， 即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝2或q ＝12【舍去)．又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5， ∴a 5＝q 5＝25＝32. ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n.14．【12，1]解析 由题设知，f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx，x ≥0，e x，x <0，因为1－2a <2a －1，所以a >12，当x ≥0时，ax ≥0，当x <0时，ax <0，可得[f 【x )]a＝f 【ax )，因此，原不等式等价于f [a 【x ＋1)－x ]≥f 【ax )，因为f 【x )在R 上是增函数，所以a 【x ＋1)－x ≥ax ，即x ≤a 恒成立，又x ∈[1－2a,2a －1]，所以2a －1≤a ，解得a ≤1，又a >12，故a ∈【12，1]． 15．2n －2【n ＋1)解析 设数列{a n }为题干一系列新数列中的第一项，则由归纳推理得a n ＝2a n －1＋ 2n －2【n ≥2)⇒a n 2－a n －12＝14⇒即数列{a n 2}是首项为12，公差为14的等差数列⇒a n 2＝12＋14【n －1)＝n ＋14⇒a n ＝2n －2【n ＋1)，即最后一个数列的项是a n ＝2n －2【n ＋1)．16．【－∞，－2)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23解析 如图，只有直线y ＋2＝k 【x ＋1)从直线m 到直线n 移动，或者从直线a 到直线b 移动时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k ?x ＋1?表示的平面区域才是三角形．故实数k 的取值范围是0<k ≤23或者k <－2.17．解 【1)根据二倍角公式得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以【2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3. 【2)根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C，又a ＝1， 得b ＝23 sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23【sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3， 所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3，所以l ∈【2,3]． 18．解 【1)当a ＝4时，f 【x )＝4ln x －x ＋3x【x >0)， f ′【x )＝4x －1－3x 2＝－x 2＋4x －3x2， 令f ′【x )＝0，解得x ＝1或x ＝3.当0<x <1或x >3时，f ′【x )<0，当1<x <3时，f ′【x )>0，f 【1)＝2，f 【3)＝4ln 3－2，所以f 【x )的极小值为2，极大值为4ln 3－2.【2)f 【x )＝a ln x －x ＋a －1x【x >0)， f ′【x )＝a x －1－a －1x 2＝－x 2＋ax －(a －1)x 2， f 【x )在定义域内无极值，即f ′【x )≥0或f ′【x )≤0在定义域上恒成立．即方程f ′【x )＝0在【0，＋∞)上无变号零点．设g 【x )＝－x 2＋ax －【a －1)， 则Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，a 2≤0，g ?0?≤0，解得a ＝2，所以实数a 的取值范围为{2}．19．【1)证明 由【a n －a n ＋1)g 【a n )＝f 【a n )【n ∈N *)得，4【a n －a n ＋1)【a n －1)＝【a n －1)2【n ∈N *)．由题意知a n ≠1，所以4【a n －a n ＋1)＝a n －1【n ∈N *)，即3【a n －1)＝4【a n ＋1－1)【n ∈N *)，所以a n ＋1－1a n －1＝34. 又a 1＝2，所以a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是以1为首项，34为公比的等比数列． 【2)解 由【1)得a n －1＝【34)n －1， b n ＝2n －14n －1(a n －1)＝2n －13n －1. 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ① －②得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23×1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n . 所以T n ＝3－n ＋13n －1.20．解 【1)因为f 【－1)＝f 【2)，所以b ＝－1，因为当x ∈[0,2]时，都有x ≤f 【x )≤2|x －1|＋1，所以有f 【1)＝1，即c ＝1，所以f 【x )＝x 2－x ＋1.【2)因为f 【x )在[－1,1]上有两个零点，且c <0， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≥0，c <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划知识可得－2<2b ＋c <2.21．解 【1)b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)=⎩⎪⎨⎪⎧ 6(n ＝1)，2n ＋4(n ≥2)＝2n ＋4 【n ∈N *)． 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝b 14＝32，a 6＝b 126＝256，得q 2＝a 6a 4＝8，即q ＝22【负值舍去)．所以a n ＝a 4·q n －4＝32·【2)3n －12＝【2)3n －2，所以c n ＝log 2a n ＝3n －2【n ∈N *)．【2)由【1)知，cb n ＝3【2n ＋4)－2＝6n ＋10，所以{cb n }是以16为首项，6为公差的等差数列．同理，cc n ＝3【3n －2)－2＝9n －8，所以{cc n }是以1为首项，9为公差的等差数列． 所以P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n＝n (16＋6n ＋10)2＝3n 2＋13n ， Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ＝n (1＋9n －8)2＝92n 2－72n . 所以P n －Q n ＝－32n 【n －11)． 故当1≤n ≤10时，P n >Q n ；当n ＝11时，P n ＝Q n ；当n ≥12时，P n <Q n .22．解 【1)∵f 【x )＝ln 【e x ＋a ＋3)是实数集R 上的奇函数，∴f 【0)＝0，即ln 【e 0＋a ＋3)＝0，∴4＋a ＝1，a ＝－3.将a ＝－3代入f 【x )得f 【x )＝ln e x ＝x ，显然为奇函数．方程ln x f ?x ?＝x 2－2e x ＋m ， 即为ln x x＝x 2－2e x ＋m ， 令f 1【x )＝ln x x，f 2【x )＝x 2－2e x ＋m . ∵f ′1【x )＝1－ln x x 2， 故当x ∈【0，e]时，f ′1【x )≥0，∴f 1【x )在【0，e]上为增函数；当x ∈[e ，＋∞)时，f ′1【x )≤0，∴f 1【x )在[e ，＋∞)上为减函数；当x ＝e 时，f 1【x )max ＝1e. 而f 2【x )＝x 2－2e x ＋m ＝【x －e)2＋m －e 2，则当x ∈【0，e]时，f 2【x )是减函数，当x ∈[e ，＋∞)时，f 2【x )是增函数， ∴当x ＝e 时，f 2【x )min ＝m －e 2，只有当m －e 2＝1e ，即m ＝e 2＋1e时，方程有且只有一个实数根． 【2)由【1)知f 【x )＝x ，∵g 【x )＝λf 【x )＋sin x ＝λx ＋sin x ，∴g ′【x )＝λ＋cos x ，x ∈[－1,1]，∴要使g 【x )是区间[－1,1]上的减函数，则有g ′【x )≤0在[－1,1]上恒成立， ∴λ≤【－cos x )min ，则λ≤－1.要使g 【x )≤λt －1在[－1,1]上恒成立，只需g 【x )max ＝g 【－1)＝－λ－sin 1≤λt －1在λ≤－1时恒成立即可，即【t ＋1)λ＋sin 1－1≥0【其中λ≤－1)恒成立即可．令h 【λ)＝【t ＋1)λ＋sin 1－1【λ≤－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋1<0，h (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋1<0，－t －2＋sin 1≥0，∴t ≤si n 1－2，∴实数t 的最大值为sin 1－2.。

第4讲 二次函数与幂函数[学生用书P23]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b2a 对称常用结论一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”；(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x 12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数单调性规律掌握不到位；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错； (4)对幂函数的概念理解不到位．1．如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________．(填序号)解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a <0，b >0，所以二次函数图象的对称轴为x ＝－b2a >0，故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－12m ≤3，即m ≤－16. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－163．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞4．当x ∈(0，1)时，函数y ＝x m 的图象在直线y ＝x 的上方，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，1)[学生用书P24]幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析：选D.幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n ，所以－1<n <0，综上所述，选D.3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 方法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8， 即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R .都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为____________．解析：由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 所以b2＝1，所以b ＝2， 所以f (x )＝x 2－2x ＋3. 答案：f (x )＝x 2－2x ＋32．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．解析：设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2－49a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋40二次函数的图象与性质(多维探究)角度一通过图象识别二次函数如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.【答案】 B确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．角度二 二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0]【迁移探究】 (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a＝－1，解得a ＝－3.对于二次函数的单调性，关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．角度三 二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．角度四 一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为____________．【解析】 (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1)由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路：一是分离参数，二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值，若不分离参数，则一般需要对参数进行分类讨论求解；若分离参数，则a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D.A 项，因为a <0，－b 2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错．B 项，因为a <0，－b 2a >0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错．C 项，因为a >0，－b 2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b 2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.2．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )A ．a ＝0B ．a <0C ．0<a ≤13D ．a ≥1解析：选D.当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴为x ＝1a ，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≤1，解得a ≥1.故选D. 3．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．解析：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12[学生用书P26]思想方法系列4 分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2；(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，1上单调递增． 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a ； ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上单调递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2；(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1且a ≠0，－2，a ＝0，－1a ，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b 2a 为其最值点的横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况的最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[学生用书P281(单独成册)][A 级 基础练]1．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1 D.－2解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.2．设函数f (x )＝x 23，若f (a )>f (b )，则( )A ．a 2>b 2B ．a 2<b 2C ．a <bD ．a >b解析：选A.函数f (x )＝x 23＝(x 2)13，令t ＝x 2，易知y ＝t 13，在第一象限为单调递增函数．又f (a )>f (b )，所以a 2>b 2.故选A.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b 2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选A.由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：选D.二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.6．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m＝2.答案：27．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以3＝9a，即a＝13.所以y＝13(x－3)2＝13x2－2x＋3.答案：y＝13x2－2x＋38．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝2＋x＋2－x2＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.答案：[0，4]9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或a ＝－1.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．[B 级 综合练]11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a 2＜0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a 2＞1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．故选B.12．已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析：选C.由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．13．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)14．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值及f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝－3f 2（x ）＋2ax ＋1－a 在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．解：(1)幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2＝1，m 2－4m ＋3>0，解得m ＝0，故f (x )＝x 3. (2)由f (x )＝x 3，得g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a ＝－x 2＋2ax ＋1－a ， 函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x ＝a .因为在[0，2]上的最大值为3，所以①当a ≥2时，g (x )在[0，2]上单调递增，故g (x )max ＝g (2)＝3a －3＝3，解得a ＝2.②当a ≤0时，g (x )在[0，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (0)＝1－a ＝3，解得a ＝－2.③当0<a <2时，g (x )在[0，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (a )＝a 2＋1－a ＝3，解得a ＝－1(舍去)或a ＝2(舍去)．综上所述，a ＝±2.[C 级 提升练]15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0]．。

一、选择题1．(2017·长沙调研)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)2．(2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．63．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，16．已知函数f (x )＝x ＋sin x ＋2x－12x ＋1，且方程f (|f (x )|－a )＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[－1,2)D ．(－1,2)7．(2016·太原期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)8．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．(2015·湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．10．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.11．定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.则函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数为________．12．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根；②方程g [f (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f (x )]＝0有且仅有7个根；④方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根．其中正确命题的序号为________.答案精析1．C [∵函数f (x )＝|x －2|－ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f (1)＝1>0，f (2)＝－ln 2<0，f (3)＝1－ln 3<0，f (4)＝2－ln 4>0，f (5)＝3－ln 5>0，∴f (1)·f (2)<0，f (3)·f (4)<0.∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.]2．C [方程f (x )＝log 3|x |的零点个数，即函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |图象的交点个数，作函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.]3．C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3＝0，则2x＝－x ＋3，分别画出函数y ＝2x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点， 所以函数f (x )有一个零点，又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C.]4．D [当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝0，0<14m<2.解①得－18<m <0或0<m <38，解②得m ∈∅，解③得m ＝38.综上可知－18<m ≤38，故选D.]5．A [令f (x )－mx ＋2＝0，则f (x )＝mx －2，设g (x )＝mx －2，可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3与函数g (x )的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象，其中A (0，－2)，B (3,1)，C (4,0)，可知直线g (x )＝mx －2应介于直线AB 与直线AC 之间，其中k AB ＝1，k AC ＝12，故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选A.]6．B [由于f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称．由于(x ＋sin x )′＝1＋cos x ≥0，且2x－12x ＋1＝1－22x ＋1为增函数．故f (x )为R 上的增函数，且f (0)＝0.所以|f (x )|－a ＝0，即|f (x )|＝a 有两个不同的实数根，|f (x )|的图象是由f (x )图象的将x <0的部分关于x 轴对称翻折上来，x >0部分保持不变所得，所以a ∈(0，＋∞)．]7．D [由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，即为f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，则f (x )是周期为4的函数．当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，可得x ∈(0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1.在同一坐标系内作出f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)在区间(－2,6)内的图象，若要使它们有4个交点，则0<log a (6＋2)<1，即a >8，故选D.]8．B [令sgn(ln x )－ln 2x ＝0，得当ln x >0，即x >1时，1－ln 2x ＝0，解得x ＝e ； 当ln x <0，即0<x <1时，－1－ln 2x ＝0，无解； 当ln x ＝0，即x ＝1时，成立．故方程sgn(ln x )－ln 2x ＝0有两个根，即函数f (x )有2个零点．] 9．2解析 函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故函数f (x )有2个零点．10．5解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 11．4解析 ∵定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|，∴函数f (x )在区间[1,28]上的图象如图所示：函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数，即为函数f (x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2交点的个数，由图可得函数f (x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2有4个交点，故函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上有4个零点． 12．①④解析 ①设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，则t 1＝0或－2<t 2<－1或1<t 3<2.当t 1＝0时，g (x )＝0有2个不同根；当－2<t 2<－1时，g (x )＝t 2有2个不同根；当1<t 3<2时，g (x )＝t 3有2个不同根，∴方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根，故①正确．②设t ＝f (x )，若g [f (x )]＝0，则g (t )＝0，则－2<t 1<－1或0<t 2<1.当－2<t 1<－1时，f (x )＝t 1有1个根；当0<t 2<1时，f (x )＝t 2有3个不同根，∴方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，故②错误．③设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，则f(t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，f(x)＝t1有3个不同根；当－2<t2<－1时，f(x)＝t2有1个根；当1<t3<2时，f(x)＝t3有1个根，∴方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根，故③错误．④设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，g(x)＝t1有2个不同根；当0<t2<1时，g(x)＝t2有2个不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根，故④正确．综上，命题①④正确．。