2010年高考数学热点：攻略三角函数
一、考情分析
三角函数是基本初等函数之一，三角函数与三角恒等变换结合是高考考查的重点内容之一，也是高考的热点之一。在高考中，客观题、主观题均有所体现，近几年高考试题中，与三角函数有关的题目占到25分左右。有考查基础知识的选择、填空题，也有考查基本能力的解答题。由于高考考查时，主要以容易题和中档题为主，所以对学生来说是一个很重要的得分点，我们在复习中应该予以足够的重视。
从近几年全国各地的高考试题来看,三角函数这部分的试题有以下特点:
1.考小题，重在基础运用
考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。
2.考大题，难度明显降低
有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。
3.考应用，融入三角图形之中
这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来倍受命题者的青睐，主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解。
4.考综合，体现三角函数的工具性
由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处命题。因而对三角知识的考查总是与平面向量、数列、立体几何、解析几何、导数等综合在一起来考查，突出三角的工具性作用。
二、高考预测
预计2010年的高考对本单元内容及题型的考查上会保持稳定，还是以低中档题为考查重点。
1. 一般有2至3个选择、填空题主要考查三角函数的概念、图象和性质的问题，有一个解答题考查三角函数的图象和性质及三角变换，或者是以平面向量为背景考查三角，或者是三角形中正余弦定理及其应用；
2.三角函数的定义以及直接考查三角函数图象的问题（做出一个周期的图像、根据图像特征写出解析式）虽然近三年没出现，估计在2010年的高考中就会成为考点。
三、突破策略
三角函数的图像和性质是处理三角函数问题的基础,也是高考试题命制的重要来源, 高考加强了对三角函数的图像和性质的考查，三角函数的图像和性质是本单元复习的重点，在复习时，要充分运用数形结合的思想，把图像与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上三角函数线来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既能有利于掌握三角函数的图象和性质，又能熟练的运用数形结合的思想、方法。会用“五点法”作给定周期内的函数的图像。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）
A.
6π B.4π C.3π D.2
π
解: 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称
423k πφπ∴⋅
+=42()3k k Z πφπ∴=-⋅∈由此易得min ||3
π
φ=.故选C 例2(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得
图象的函数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.2
2cos y x = C.)4
2sin(1π
+
+=x y D.22sin y x =
【解析】将函数s i n 2
y x =的图象向左平移4
π个单位,得到函数s i n 2()4y x π
=+即
sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
21cos22cos y x x =+=,故选B.
答案:B
【点评】本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形。
近几年的高考试题,降低了对三角变换的要求,但基本的三角变换应是处理三角函数问题,研究三角函数的图像和性质的基础,所以在复习中要熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。在三角变换中经常出现公式的逆用或变形，尤其是二倍角余弦公式、两角和差的正切的变形应用较为广泛。另外，辅助角公式应用也较多，也是考生常出错的地方，应引起注意。
例3（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值. 解:（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，
∴函数()f x 的最小正周期为π.
（Ⅱ）由26
2
3
x x π
π
π
π-
≤≤
⇒-
≤≤，∴sin 212
x -
≤≤，
∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，最小值为【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上
的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． 例4(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2
cos
sin 2
πϕϕϕ
<<-+x x x 在π=x 处取最小值.
(1) 求ϕ的值；
(2) 在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3
)(=
A f ,求角C. 解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2
f x x x x ϕ
ϕ+=⋅
+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+
因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin(
)1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2
π
ϕ=
.所以()sin()cos 2
f x x x π
=+
=
（2）因为23)(=
A f ,所以cos 2
A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为
,2,1==b a 所以由正弦定理,得
sin sin a b A B =,也就是sin 1sin 22
b A B a ===, 因为b a >,所以4π
=
B 或4
3π=
B .
当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412
C πππ
π=--
=. 【点评】本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,
并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
最近几年,随着新课标的普及及高考改革的不断深入,高考试题注重考察学生应用数学知识解决实际问题的能力,在这个背景下,三角应用题异军突起,成为高考中的一个热点,一些航海,测量等问题频繁出现在高考题中. 所以在复习中既要注意在有些实际问题中建立三角函数模型，利用三角函数知识来解决问题；更要注意在代数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等问题中建立三角函数模型，使问题获得简捷的解法.
例5（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0
75，0
30，于水面C 处
