5.7《生活中的圆周运动》

5.7 课时作业 基础达标 1.

一辆卡车在丘陵地段匀速率行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是( ) A．a处 B．b处 C．c处 D．d处 【解析】 过最低点时，向心加速度向上，卡车处于超重状态，设所受支持力为FN1，

则有FN1－mg＝mv2r，故FN1＝mg＋mv2r；当过凸形路的最高点时设所受支持力为FN2，则

有mg－FN2＝mv2r，故FN2＝mg－mv2r，故FN1>FN2，且r越小，FN1越大，故在d处爆胎的可能性最大．所以D对． 【答案】 D 2.

如图所示，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( ) A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动 B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动 C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心 【解析】 F突然消失时，由于惯性小球从这时起将做匀速直线运动，即沿Pa运动；F突然减小，F不足以提供小球所需的向心力，小球将沿Pb做离心运动；F突然变大，F提供的向心力变大，小球将沿Pc做近心运动．综上所述A正确，B、C、D错误． 【答案】 A 3.

某公园的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( ) A．0 B.gR C.2gR D.3gR

【解析】 由题意知F＋mg＝2mg＝mv2R，故速度大小v＝2gR，C正确． 【答案】 C 4．摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心作用．行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．它的优点是能够在现有线路上运行，勿须对线路等设施进行较大的改造，而是靠摆式车体的先进性，实现高速行车，并能达到既安全又舒适的要求．运行实践表明：摆式列车通过曲线速度可提高20%～40%，最高可达50%，摆式列车不愧为“曲线冲刺能手”．假设有一超高速列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度拐弯，拐弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在拐弯过程中所需向心力为( ) A．500 N B．1 000 N C．5002 N D．0 【解析】 360 km/h＝100 m/s，乘客在列车转弯过程中所受的合外力提供向心力F＝

mv2r＝50×10021 000 N＝500 N. 【答案】 A

5．如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( ) A．小球通过最高点时的最小速度是Rg B．小球通过最高点时的最小速度为零 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 【解析】 圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确． 【答案】 BD 6.

如右图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是( ) A．两物体沿切线方向滑动 B．两物体沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动 D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体B发生滑动，离圆盘圆心越来越远 【解析】 A、B两物体的角速度相同，半径越大，所需的向心力越大，故B物体需要的向心力大于A物体需要的向心力，A、B用细线相连，之间有作用力，故烧断细线后，B物体所需的向心力大于所能提供的最大静摩擦力，而A物体所需的向心力仍小于A物体的最大静摩擦力，故物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体B发生滑动，且离圆盘圆心越来越远．D正确． 【答案】 D 7．如图所示，有一绳长为L，上端固定在滚轴A的轴上，下端挂一质量为m的物体，现滚轮和物体一起以速度v匀速向右运动，当滚轮碰到固定的挡板B，突然停止的瞬间，绳子的拉力为多大？

【解析】 当滚轮碰到固定挡板突然停止时，物体m的速度仍为v，绳子对物体的拉力突然变化，与重力的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得F－mg＝mv2L，

解得F＝mv2L＋mg. 【答案】 mv2L＋mg 8．在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m1＝0.1 kg，内部盛水质量m2＝0.4 kg，拉碗的绳子长l＝0.5 m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v1＝9 m/s，通过最低点的速度v2＝10 m/s，求： (1)碗在最高点时绳的拉力及水对碗的压力； (2)碗在最低点时绳的拉力及水对碗的压力．(g＝10 m/s2)

【解析】 (1)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT1＋mg＝mv21R，FT1＝mv21R－mg＝

0.5×810.5－0.5×10 N＝76 N，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F1，F1＋m2g＝

m2v21

R，F1＝60.8 N，水对碗的压力F1′＝F1＝60.8 N，方向竖直向上．

(2)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT2－mg＝mv22R，FT2＝mv22R＋mg＝105 N，以水为研究对象，F2－m2g＝m2v22R，F2＝84 N，水对碗的压力F2′＝F1＝84 N，方向竖直向下． 【答案】 (1)76 N 60.8 N (2)105 N 84 N 能力提升 1.

如图所示，半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，现给小物体一个水平初速度v0＝gR，则物体将( ) A．沿球面滑至M点 B．按半径大于R的新圆弧轨道运动 C．立即离开球面做平抛运动 D．先沿球面滑至某点N再离开球面做斜下抛运动

【解析】 在半圆球的顶部，当v0＝gR时，物体做圆周运动所需要的向心力F＝mv20R＝mg，即重力mg刚好提供向心力，物体与球之间无相互作用力．假设物体能沿球面下滑，因为重力的作用，物体速度将增大，其做圆周运动所需要的向心力也增大，而此时向心力只是由重力指向圆心方向的分力与球面对物体的弹力的合力(小于重力mg)提供，不能满足需要，物体将做离心运动而离开球面，所以物体不可能沿球面下滑，而是立即离开球面做平抛运动，故选项C正确． 【答案】 C 2．如图所示，两个半径不同，内壁光滑的半圆轨道固定在地面上，一个小球先后从与球心在同一水平高度上的A、B两点由静止开始自由下滑，通过轨道最低点时( ) A．小球对两轨道的压力相同 B．小球对两轨道的压力不同 C．小球的向心加速度不同 D．小球的速度相同 【解析】 设两圆轨道半径分别为ra、rb，由动能定理知，小球在最低点时的速度分别

为vA＝2grA，vB＝2grB，则D错误；由牛顿第二定律知FN－mg＝mv2r，从而FNA＝FNB＝

3mg，故A正确，B错误；向心加速度a＝v2r，可知C错误． 【答案】 A

3．试管中装了血液，封住管口后，将此管固定在转盘上，如图所示，当转盘以一定角速度转动时( ) A．血液中密度大的物质将聚集在管的外侧 B．血液中密度大的物质将聚集在管的内侧 C．血液中密度大的物质将聚集在管的中央 D．血液中的各物质仍均匀分布在管中 【解析】 对于血液中密度大的物质，在试管中间位置处做圆周运动所需的向心力大于血液中密度小的物质做圆周运动所需的向心力，故试管中密度大的物质会因做离心运动而聚集在管的外侧，A正确． 【答案】 A 4．(多选)如图所示，在光滑水平面上，钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上，现使小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )

A．小球的线速度变大 B．小球的角速度变大 C．小球的加速度变小 D．细绳对小球的拉力变小 【解析】 小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做圆周运动，小球的线速度不变，选项A错误；由于v＝ωr，两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，r增大，角速度减小，选项B错误；由a＝vω可知，小球的加速度变小，选项C正确；由牛顿第二定律可知，细绳对小球的拉力变小，选项D正确． 【答案】 CD 5．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg.求A、B两球落地点间的距离． 【解析】 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．

对A球应用牛顿第二定律得3mg＋mg＝mv2AR， 解得A球通过最高点C时的速度vA＝4gR， 对B球应用牛顿第二定律得mg－0.75 mg＝mv2BR，

解得B球通过最高点C时的速度vB＝14gR， 两球做平抛运动的水平分位移分别为 sA＝vAt＝vA4Rg＝4R，

sB＝vBt＝vB4Rg＝R， A、B两球落地点间的距离sA－sB＝3R. 【答案】 3R 6．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径与之对应轨道的高度差. 弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度h/mm 50 100 150 200 250 300 (1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值； (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L＝1435 mm，结合表中数据算出r＝440 m时火车的转弯速度v；(以km/h为单位，结果取整数；当倾角很小时，取sinα≈tanα) (3)随着人们生活节奏的加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析：提速时应采取怎样的有效措施？ 【解析】 (1)分析表中数据可得，每组的h与r之积均等于常数C＝660×50×10－3 m

＝33 m2，因此hr＝33 m2，当r＝440 m时，有h＝33440 m＝0.075 m＝75 mm.