5高等数学课件(完整版)详细

① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx

是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

解
0
计算反常积分‫׬‬−∞ − 。
0
‫׬‬−∞

−
0 −
‫ ׬‬
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分‫׬‬−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分‫׬‬−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分‫׬‬0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
‫׬‬0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
‫׬‬0

2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+

2
3
2
‫ ׬‬2
=
2 1
(

−
1
).

2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2

‫׬‬
2
=
2
‫׬‬

→+∞ 2
=
2 1
(

→+∞
1
− ).

1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =

思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割
T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1
部分路程值
si v( i )t i
若干个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
n 把区间[a , b] 分成 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
1 sin xdx. 0
i x i
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限， 即 f ( x )dx _________________ .
b a
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是_______________________ . 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
i i 1
小区间的长度x i q q
取 i q
i 1
q
i 1
(q 1) ,
，（i 1,2, , n ）
n

i 1
n
1 i 1 f ( i )xi xi i 1 q (q 1) i 1 q i 1 i
1
n
(q 1) n(q 1)
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 xdx ，( a b ) .