江苏南通、泰州市2018届高三数学一模试卷含答案

(新高考)2020-2021学年上学期高三期中备考卷数学1注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数31i 2iz a -=-为纯虚数，则实数a 的值为( )A.1-B.1C.2-D.2【参考答案】D【试题解答】由3221i 1i (1i)(2i)2i 2i 2(2)i2i 2i (2i)(2i)44a a a a a z a a a a a a-+++++--++=====---+++为纯虚数， 可得2020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2a =.2.已知集合{|(2)(2)5}A x x x =+-<，2{|log ()1,}B x x a a =->∈N ，若A B =∅，则a的可能取值组成的集合为( ) A.{0}B.{1}C.{0,1}D.(,1)-∞【参考答案】A【试题解答】{|(2)(2)5}{|33}A x x x x x =+-<=-<<，2{|log ()1,}{|2,}B x x a a x x a a =->∈=>+∈N N ，因为AB =∅，所以0a =.3.为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间[50,100]上，分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为( )A.15B.16C.17D.18【参考答案】A【试题解答】由频率分布直方图可知，评分在区间[50,60)上的频率为1(0.0070.020.030.04)100.03-+++⨯=，所以评分在区间[50,60)上的客户有0.0350015⨯=(人)， 即对该公司的服务质量不满意的客户有15人.4.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(1)0f -=，若3(log 8)a f =-，2(log 4)b f =-，23(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a <<【参考答案】A【试题解答】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减且(1)0f -=， 所以(1)0f =，又2321>，所以23(2)0c f =<，而321log 8log 42->->-=-，所以0b a >>，所以c a b <<.5.已知四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，2AB DC =，0AD AB ⋅=，若||2||2AB AD ==，则AF DE ⋅=( )A.14B.12C.34D.1【参考答案】A【试题解答】依题意，可知四边形ABCD 为直角梯形，AB DC ∥，AB AD ⊥，且1113()2224DE DA AB DC AD AB =++=-+，14AF AD AB =+， 所以22113131()()4242164AF DE AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-+=-+=.6.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1A D ，AC 上的点，且满足13A D MD =，2AN NC =，则异面直线MN 与11C D 所成角的余弦值为( )A.25B.5 C.3 D.2 【参考答案】A【试题解答】取线段AD 上一点E ，使2AE ED =，连接ME ，NE ，如图所示， 因为13A D MD =，2AN NC =，所以113MD CN DE A D AC AD ===， 所以NE CD ∥，1NE AA ∥，又11CD C D ∥，所以易知MNE ∠为异面直线MN 与11C D 所成的角. 设该正方体的棱长为3a ，则223EN CD a ==，113ME AA a ==， 所以在MNE Rt △中，22MN ME EN =+=22(2)5a a a +=，所以25cos 55EN MNE MN a∠===.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线分别为1l ，2l ，点A 是x 轴上与坐标原点O 不重合的一点，以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ，B ，交直线2l 于点O ，C ，若2||3||BC OA =，则该双曲线的离心率是( )A.23或3 B.2 C.23或2 D.3【参考答案】C【试题解答】由题意，不妨设1:b l y x a =，2:bl y x a=-， 设BOA θ∠=，则tan baθ=， 设||4(0)OA m m =>，由2||3||BC OA =，得||23BC m =， 由对称性知，BC OA ⊥，且线段BC 被OA 平分. 如图，设BC 与OA 交于点D ，则||3BD m =，连接AB ，由于OA 为直径，所以OB AB ⊥，则||||sin 4sin AB OA m θθ==，||||cos 4cos OB OA m θθ==，由||||||||OA BD OA AB ⋅=⋅，得224316sin cos m m θθ=，3sin 22θ=， 因为π02θ<<，所以π23θ=或2π23θ=，即π6θ=或π23θ=. 又tan ba θ=，所以33b a =或3b a=.当3b a =时，223a b =，则22233a c a =-，离心率23e =； 当3ba=时，223b a =，则2223c a a -=，离心率2e =.8.若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A.(1,)eB.1(,1)eC.1(,)e+∞D.(,)e +∞【参考答案】C【试题解答】由题意知，2()x f x m e-'=-+，当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增，没有两个不同的零点； 当0m >时，2()0x f x m e-'=-+=，得2ln x m =+，2ln x m >+，()0f x '>，函数()f x 在(2ln ,)m ++∞上单调递增； 2ln x m <+，()0f x '<，函数()f x 在(,2ln )m -∞+上单调递减，故()f x 在2ln x m =+处取得最小值， 所以ln (2ln )(2ln )0mf m m m e +=-++<，得1m e>， 所以m 的取值范围为1(,)e+∞.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知241(3)x x+的展开式中各项系数之和为A ，第二项的二项式系数为B ，则( ) A.256A =B.260A B +=C.展开式中存在常数项 D .展开式中含2x 项的系数为54 【参考答案】ABD【试题解答】令1x =，得241(3)x x+的展开式中各项系数之和为44256=，所以256A =， 选项A 正确；241(3)x x+的展开式中第二项的二项式系数为14C 4=，所以4B =，260A B +=，选项B正确；241(3)x x +的展开式的通项公式为244831441C (3)()3C r r r r r rr T x x x---+==，令830r -=，则83r =，所以展开式中不存在常数项，选项C 错误；令832r -=，则2r =，所以展开式中含2x 项的系数为42243C 54-=，选项D 正确.10.已知函数π()sin()(03)4f x x ωω=+<≤的图象的一条对称轴为直线π8x =，()f x '为函数()f x 的导函数，函数()()()g x f x f x '=+，则下列说法正确的是( )A.直线π8x =是()g x 图象的一条对称轴 B.()g x 的最小正周期为π C.π(,0)8是()g x 图象的一个对称中心 D.()g x 的最大值为5【参考答案】BD【试题解答】因为π()sin()4f x x ω=+的图象的一条对称轴为直线π8x =， 所以ππππ842k ω+=+，k ∈Z ，所以82k ω=+，k ∈Z ， 又03ω<≤，所以2ω=，所以π()sin(2)4f x x =+，所以π()2cos(2)4f x x '=+，所以ππ322()sin(2)2cos(2)cos 2sin 24422g x x x x x =+++=-15cos(2)(tan )3x ϕϕ=+=，ππ4k ϕ≠+，且3ππ4k ϕ≠+，所以()g x 的最大值为5，最小正周期为π，故A 、C 错误，B 、D 正确.11.如图，直接三棱柱111ABC A B C -，ABC △为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则( )A.FM 与BD 一定是异面直线B.三棱锥D MEF -的体积为定值13C.直线11B C 与BD 所成角为π2D.若D 为1AA 的中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球表面积为5π 【参考答案】BCD【试题解答】A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故该说法错误； B 项，由已知可得111B F AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11CAA C ，所以1B F ⊥平面11CAA C ，在矩形1AEFA 中，DEF △的面积11121122S EF A F =⨯⨯=⨯⨯=， 又111112B F AC ==，所以三棱锥D MEF -的体积111111333M DEF V S B F -=⨯=⨯⨯=， 所以该说法正确；C 项，由1AA ⊥平面111A B C ，得111AA B C ⊥，又1111B C A B ⊥，所以11B C ⊥平面11A B BA ，所以11B C BD ⊥，所以该说法正确； D 项，由题意可得四边形1BB FE 为矩形，连接BF ，则矩形1BB FE 外接圆的圆心为BF 的中点1O ，且11O F O B == 过1O 作1O N EF ⊥与点N ，连接DN ，1O D ，则112O N =，1DN =，1O N DN ⊥，故1O D =，所以1O 就是四棱锥1D BB FE -的外接球的球心，所以外接球半径R = 故外接球的表面积24π5πS R ==，故该说法正确. 12.若存在两个不相等的实数1x ，2x ，使1x ，2x ，122x x +均在函数()f x 的定义域内，且满足1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质T ，下列函数具有性质T 的是( ) A.()2xf x = B.2()|2|f x x x =- C.()lg f x x =D.()sin f x x x =+【参考答案】BD【试题解答】对于A ，因为函数()f x 的定义域为R ，()20xf x =>，所以1212()()2222x x f x f x ++=≥121222()2x x x x f ++==， 由于12x x ≠，所以1212()()()22f x f x x xf ++>恒成立，故A 不具有性质T ；对于B ，函数()f x 的定义域为R ，取11x =21x =，则1212x x +=，所以1212()()()12x x f x f x f +===，所以1212()()()22x x f x f x f ++=成立，故B 具有性质T ；对于C ，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当10x >，20x >时，122x x +≥由于12x x ≠，所以122x x +>()lg f x x =在(0,)+∞上单调递增， 所以1212()()()22f x f x x x f ++<恒成立，故C 不具有性质T ；对于D ，函数()f x 的定义域为R ，易知()f x 为奇函数，取210x x =-≠，则1202x x +=，所以21()()0f x f x +=，12()(0)02x xf f +==， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=成立，故D 具有性质T .第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从6，7，8，9，10这5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为 .【参考答案】110【试题解答】从6，7，8，9，10这5个正整数中随机抽取3个数，可能的情况有(6,7,8)，(6,7,9)，(6,7,10)，(6,8,9)，(6,8,10)，(6,9,10)，(7,8,9)，(7,8,10)，(7,9,10)，(8,9,10)共10种，其中恰好构成勾股数的情况有1种，为(6,8,10)， 所以所求概率为110.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为 .【试题解答】由题意知24c =，则2c =， 又23c e a ==，∴3a =，由椭圆的定义得12||||26PF PF a +==， 又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴2||4PF =，1||2PF =， 过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则||1PD =，2||DF ∴12PF F △的面积为122⨯=15.已知正实数a ，b 满足2(2)4ab a b +=，则a b +的最小值为 . 【参考答案】2【试题解答】由2(2)4ab a b +=，得24(2)a a b b+=，故22224()(2)4a b a a b b b b +=++=+≥(当且仅当b =，2a =时取等号)， 所以a b +的最小值为2.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11122n n a a +=+，则n S = ；若12n n S na t ≤+恒成立，则实数t 的取值范围为 .(本题第一空2分，第二空3分)【参考答案】12(1)2n n +-，[4,)+∞【试题解答】由12a =，11122n n a a +=+，得111(1)2n n a a +-=-，111a -=，所以数列{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以111111()22n n n a ---=⨯=，1112n n a -=+，12211111112(1)2(1)222122nn n n nS a a a n n n --=+++=+++++=+=+--.又12n n n na n -=+，所以11112(1)()2(1)2222n n n n n n n t S na n n -+≥-=+--+=-恒成立， 即14(1)2n n t +≥-，n *∈N 恒成立.令12n n n b +=，则111210222n n n n n n n nb b +++++-=-=-<，所以{}n b 是递减数列，所以1012n n +<≤，10112n n +≤-<，即4t ≥，实数t 的取值范围为[4,)+∞.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①1cos 3B =，②2b =，ABC △的周长为8，③3c =，ABC △的外接圆半径为2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2cos b a C =， ?，求sin A . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【参考答案】见解析. 【试题解答】若选条件①，由正弦定理2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =， 又()B A C π=-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=， sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0πA <<，0πC <<，所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，则22cos cos(π)cos(π2)cos 2(12sin )2sin 1B A C A A A A =--=-=-=--=-，又1cos 3B =，所以212sin 13A -=，22sin 3A =，sin A =.若选条件②，由正弦定理，2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =， 又π()B A C =-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=，sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0πA <<，0πC <<，所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，所以a c =， 因为ABC △的周长为8，2b =，所以3a c ==，由余弦定理可得2223231cos 2233A +-==⨯⨯，所以sin 3A =.若选条件③，由正弦定理，2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =， 又π()B A C =-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=， sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0πA <<，0πC <<，所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，所以a c =， 又3c =，所以3a =，因为ABC △的外接圆半径为2，所以34sin A =，所以3sin 4A =. 18.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122(2,)n n S S n n *-=+≥∈N ，数列{}n b 中，1122a b ==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2211n n b b -=+，212n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前10项和.【参考答案】(1)2nn a =；(2)139.【试题解答】(1)由122(2)n n S S n -=+≥①，可得1222(3)n n S S n --=+≥②， ①-②1122()n n n n S S S S ----=-，所以12(3)n n a a n -=≥， 又21122a a a +=+，12a =，所以24a =，所以212a a =，故{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn a =.(2)由题意得2211n n b b --=，2122n n n b b +-=，所以212112nn n b b +--=+，则1212312n n n b b ----=+，2232512n n n b b ----=+，…，25312b b -=+，13112b b -=+，所以11212112(12)1(222)123(2)12n n n n b b n n n n -----=-++++=-+=+-≥-，所以2122(2)n n b n n -=+-≥，所以221(2)nn b n n =+-≥， 所以1221223(2)n n n b b n n +-+=+-≥，易得12b b +也适合上式，所以{}n b 的前10项和为23612910(222)(117)139b b b b ++++=++++-+++=.19.(12分)在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成A ，B 两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：(1)分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中； (2)在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记X 为这2个人评分之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.【参考答案】(1)9.1A x =，20.266A s =；9.0B x =，20.056B s =；B 组的评分更集中一些；(2)分布列见解析；67280EX =. 【试题解答】(1)1(8.39.39.69.48.59.68.88.49.49.7)9.110A x =+++++++++=； 1(8.69.19.28.89.29.19.29.38.88.7)9.010B x =+++++++++=. 22221[(8.39.1)(9.39.1)(9.79.1)]0.26610A s =-+-++-=； 22221[(8.69.0)(9.19.0)(8.79.0)]0.05610B s =-+-++-=. 根据方差的概念及实际含义可知，B 组的评分的几种程度更高一些. (2)从B 组评分中去掉一个最高分9.3，去掉一个最低分8.6， 易知X 的所有可能取值为0，0.1，0.3，0.4，0.5.从8人的评分中任取2人的评分，共有28C 28=种等可能的结果，把B 组成绩按照从大到小排成一列为8.7，8.8，8.8，9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，则222223C C C 5(0)2828P X ++===，12111223C C C C 82(0.1)28287P X +====，1222C C 41(0.3)28287P X ====，11111223C C C C 82(0.4)28287P X +====，1113C C 3(0.5)2828P X ===，所以X 的分布列是X 的数学期望521236700.10.30.40.52877728280EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.(12分)如图，在多面体ABCDP 中，ABC △是边长为4的等边三角形，PA AC =，22BD CD ==，42PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC .(1)求证：DE ∥平面PAC ；(2)线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由.【参考答案】(1)证明见解析；(2)当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角.【试题解答】(1)因为22BD CD ==ABC △是边长为4的等边三角形，所以22222(22)(22)16BD CD BC +=+==，所以BDC △是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒. 又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥， 因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC平面ABC BC =，所以DE ⊥平面ABC .因为42PC PB ==，4PA AC AB ===，所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==， 所以PA AC ⊥，PA AB ⊥， 又ACAB A =，所以PA ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，所以DE ∥平面PAC .(2)存在满足题意的T ，连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设存在(,0,0)T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤， 设平面BAD 的法向量为1111(,,)x y z =n ， 则由(2,0,2)BD =，(0,2)AD =-，得11110x z z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，得11x =-，1y =，故1(=-n ； 设平面TAD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则由(,0,2)DT λ=-，(,AT λ=-，由212220x z x λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=，2y =22(λ=n ，由1221cos ,0-++〈〉==n n ，得12103λ-+=，故32λ=， 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角.21.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:1x y C c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e，且满足12:e e =A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且18||5PB =.(1)求椭圆1C 的方程；(2)与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求||MN 的最大值.【参考答案】(1)2193x y 2+=；32.【试题解答】(1)由题意知1ce a =，222222c b c a e --==， 因为12:3e e =22232c c a a -=，222223c a c -，将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=， 即2222(2)(23)0a c a c --=，所以2232a c =， 又222abc =+，所以3a b =，2c b =，所以2,0)A b ，(0,)B b -，所以直线AB 的方程为2y x b =-， 与椭圆22122:13x y C b b+=联立并消去y ，得22223()3x x b b +-=， 整理得10x =，2625x b =，所以62(,)55b bP ， 因为18||5PB =226218(0)()555b b b -++=， 得3b =3a =，椭圆1C 的方程为2193x y 2+=.(2)当直线MN 的斜率不存在时，易得||2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线:(0)MN y kx m k =+≠，与椭圆222:163x y C +=联立并消去y ，得222(12)4260k x kmx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以2222164(12)(26)0Δk m k m =-+-=， 整理得22630k m +-=(*)，将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得222(13)6390k x kmx m +++-=， 由(*)式可得2222222364(13)(39)12(93)36Δk m k m k m k =-+-=+-=.设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，则2613M N kmx x k-+=+，223913M N m x x k -=+，所以2|||13M N MN x x k =-==+，设213k t +=，则1t >，||MN ==≤，22<，所以当4t =，即1k =±时，||MN 最大，且最大值为2. 22.(12分)已知函数()ln xf x x x ae a =-+，其中a ∈R . (1)若()f x 在定义域内是单调函数，求a 的取值范围；(2)当1a =时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos f x x <成立. 【参考答案】(1)1[,)e+∞；(2)证明见解析.【试题解答】(1)因为()ln xf x x x ae a =-+，所以()ln 1xf x x ae '=+-， 要使()f x 在定义域内是单调函数，需满足()0f x '≥或()0f x '≤. ①若()0f x '≥，则ln 1xx a e +≤，令ln 1()(0)x x G x x e +=>，得1ln 1()xx x G x e--'=， 易知(1)0G '=，且函数1ln 1y x x=--在(0,)+∞上单调递减，当0x >时，1x e >，所以在区间(0,1)上，()0G x '>；在(1,)+∞上()0G x '<，所以ln 1()x x G x e +=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 此时ln 1()xx G x e+=无最小值，不满足题意； ②若()0f x '≤，则ln 1xx a e+≥， 由①知，()G x 的最大值为1(1)G e=，所以当1a e≥时，()f x 在定义域上单调递减，满足题意.综上，a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)当1a =时，()ln 1xf x x x e =-+，要证()cos f x x <，即证ln cos 1x x x e x <+-， 当01x <≤时，ln 0x x ≤，而cos 11cos11cos10x e x +->+-=>， 所以ln cos 1x x x e x <+-成立，即()cos f x x <成立.当1x >时，令()cos ln 1(1)xh x e x x x x =+-->，则()sin ln 1xh x e x x '=---， 设()sin ln 1(1)xg x e x x x =--->，则1()cos x g x e x x'=--， ∵1x >，所以1()cos 110x g x e x e x'=-->-->，所以当1x >时，()g x 单调递增， 所以()sin 10g x e x >-->，即()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()cos110h x e >+->，即()cos f x x <成立. 综上，对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos f x x <成立.。

2018届高三模拟考试试卷(十三)数学2018．3(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则∁U A＝________．2. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第3题) (第4题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为________．6. 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________． 10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________． 14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x 2－1－x 2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)．(1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为42.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足：QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证： △PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19. (本小题满分16分)设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d ≠0.记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．20. (本小题满分16分) 设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝12，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数．① 若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x 0，使g(x 0)＜0； ② 若g(x 1)＝g(x 2)(x 1≠x 2)，求证： x 1x 2＜4b 2.2018届高三模拟考试试卷(十三) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB ·DC ＋OD 2＝OA 2.B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋c c （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．(1) 求概率P(X ＝600)；(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x 2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝(2k ＋1)a n －k .(1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n ＋2整除．2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 13 6.2＋627. 43 8. 979. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分) 因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1， 所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a ∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0.化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin(β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.(2分) 又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分) 因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC ∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC ∥平面AEF.(14分)17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a 29＋a2.(4分)因为PB 1＝x 20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a 29＋a2，解得a 2＝18. 所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3.(8分) 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k 2k 2＋1.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.(14分)18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分) 解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x2，a ≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x2，a ≤20x .(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)(方法2)2a ≤x ≤20a ，从而a ≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a ≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1） dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分)【评分说明】① 直接“由x ·(2x ＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；② 方法1中的求解过程要体现V ≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分，其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分)因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22＝a 1a 3. 所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分) (2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c 22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分)由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d ∈R |d ≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分)(3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝c 1 ①，a 1q ＋b 1＋d ＝c 1q 1②，a 1q 2＋b 1＋2d ＝c 1q 21 ③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q 31④.(10分)将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2 ⑤，将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2 ⑥，(12分) 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d ≠0矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1＝c 3c 2＝c 4c 3.(10分)所以c 3－c 2c 2－c 1＝c 4－c 3c 3－c 2，即a 3－a 2＋d a 2－a 1＋d ＝a 4－a 3＋d a 3－a 2＋d .两边同时减1，得a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝a 4－2a 3＋a 2a 3－a 2＋d .(12分)因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝q （a 3－2a 2＋a 1）a 3－a 2＋d.又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x ∈R 恒成立． 因为a>0，所以1a≥cos x 对x ∈R 恒成立．因为(cos x)max ＝1，所以1a≥1，从而0<a ≤1.(3分)(2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g ′(x)＝1－12cos x ＋bx .若b<0，则存在－b 2>0，使g ′(－b 2)＝－1－12cos(－b2)<0，不合题意，所以b>0.(5分)取x 0＝e －3b，则0<x 0<1.此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)② 依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1. 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1，所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)，所以－2b>x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.(12分)下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t>t ，只要证明ln t －t －1t<0 (*)．设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h ′(t)＝－（t －1）22t t <0在(1，＋∞)上恒成立．所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证．所以－2b>x 1x 2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD ·DC ＝DE ·DA ＝(OD ＋OE)·(OA －OD)．(5分) 因为OE ＝OA ，所以DB ·DC ＝(OA ＋OD)·(OA －OD)＝OA 2－OD 2. 所以DB ·DC ＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2.(5分)则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤60，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A ′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)． 从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分)C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy. 则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分)所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2.故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分)化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(10分)D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋c c （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3c c （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bcac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分)22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形， 则事件“X ＝600”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形， 所以P(X ＝600)＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521.(3分)(2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则P(X ＝300)＝C 34C 39＝484＝121，P(X ＝400)＝C 11·C 24C 39＝2484＝27，P(X ＝500)＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C 11·C 24C 39＝684＝114.所以X 的概率分布列为所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分)23. 解：由二项式定理，得a i＝C i2n＋1(i＝0，1，2，…，2n＋1)．(1) T2＝a2＋3a1＋5a0＝C25＋3C15＋5C05＝30.(2分)(2) 因为(n＋1＋k)C n＋1＋k2n＋1＝(n＋1＋k)·（2n＋1）！（n＋1＋k）！（n－k）！＝（2n＋1）·（2n）！（n＋k）！（n－k）！＝(2n＋1)C n＋k2n，(4分)（8分）T n＝(2n＋1)C n2n＝(2n＋1)(C n－12n－1＋C n2n－1)＝2(2n＋1)C n2n－1.因为C n2n－1∈N*，所以T n能被4n＋2整除．(10分)。

1．.【解析】分析：设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.2．.【解析】分析：若恒成立，满足的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：画出表示的可行域，如图，直线过定点，若恒成立，可行域在直线下面，当直线过时，有最小值，最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.3．.【解析】分析：由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用诱导公式得.点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.4．.【解析】分析：先证明为等比数列，求得，，利用等比数列求和公式可得结果.详解：由，得，为等比数列，，，，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.5．.【解析】分析：设甲食物重，乙两食物重，则，混合物重，利用线性规划可得结果.详解：点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 6．.【解析】分析：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，可得，从而可得结果.详解：由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8．.【解析】分析：函数恰有个零点，等价于与有个交点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.详解：在两图象有一个交点，在上有两个交点，只需在有一个交点即可，画出两函数图象，如图，由图可得，，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．详解：设，，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，，又到直线的距离为，，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.10．.【解析】分析：在斜中，，结合可得，利用基本不等式可得结果.又在中，，，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11．证明见解析.【解析】分析：设直线的方程为，，，则, 将代入，得，利用韦达定理,.详解：当与轴垂直时，此时点与点重合，从而，，.当点与点不重合时，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，则.点睛：探索定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.12．(1) .(2) 这台收割机使用年，可使年均收益最大.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到函数关系记使用年，年均收益为（元），利用基本不等式求最值即可解析：（Ⅰ）依题意，当，；，，即，解得，所以.（Ⅱ）记使用年，年均收益为（元），则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.13．(1) 函数的定义域为.(2) 当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.详解：（1）过点作，垂足为.在中,所以故所以据题意，，所以且当点重合于点时，所以函数的定义域为.（2）由（1）可知，当且仅当时，不等号取等号又故答：当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二倍角公式、基本不等式求最值的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.14．(1) .(2) .试题解析：（1）设直线与轴的交点是，依题意，即,,,,即………①因为圆过两点，所以线段的中点的坐标为又………②由①和②得，所以圆心坐标为故所求圆方程为15．(1) .(2) .(3) .【解析】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）是方程的两个正根，可得，则可化为，令，可得在上单调递增，所以；（3）对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，讨论的范围，令的最小值不小于零，可得到实数的取值范围.（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，即的两个正根为所以，即所以所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.16．(1) .(2)3个，证明见解析.详解：（1），则（2）不妨设，由令，原问题转化为关于的方程①最多有多少个解.下面我们证明：当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解当时，考虑函数，则如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果，且不妨设由得由唯一零点，于是当时，恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于这样在区间与上是单调函数，故方程①最多有个解当时，如果如果为奇数，则方程①变为显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①如果为偶数，则方程①变为，由的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有个这样，最多有个正数满足方程①对于，同理可以证明，方程①最多有个解.综上所述，集合中的元素个数最多有个.再由（1）可知集合中的元素个数最多有个.点睛：本题主要考查数列的综合性质以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.17．(1) .(2)分布列见解析，.共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.18．(1) .(2) 分布列见解析，.详解：（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，所以，（2）当时，的所有可能取值为则所以的数学期望.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 19．(1) .(2) .详解：（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则所以，因为，所以，即，解得所以的长为.（2）因为，所以，又，故据图可知，二面角大小的余弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．(1) ，.(2) ①证明见解析. ②证明见解析.【解析】分析：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，；(2) 设求得,,利用斜率公式消去、可得直线的斜率为；②设点的横坐标分别为，求得，，根据中点坐标公式化简即可的结果.详解：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，②设点的横坐标分别为由①知，直线的方程为：令得，又直线的方程为：令得，所以所以是线段的中点.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．。

江苏省南通市2018届⾼三数学最后⼀卷备⽤题Word版含详细答案数学备⽤题第Ⅰ卷（共60分）第Ⅱ卷（共90分）⼀、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1.如图，已知圆锥的⾼是底⾯半径的2倍，侧⾯积为π，若正⽅形ABCD 内接于底⾯圆O ，则四棱锥P ABCD -侧⾯积为．2.已知实数,x y 满⾜22024010x y x y x y +-≥??+-≤??--≤?，且(1)20k x y k --+-≥恒成⽴，则实数k 的最⼩值是．3.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ω?ω?π=+>>≤<在R 上的部分图象如图所⽰，则(2018)f 的值为．4.已知数列{}n a 的⾸项12a =，且*111()22n n a a n N +=+∈，则数列11n a -??的前10项的和为．5.甲、⼄两种⾷物的维⽣素含量如下表：分别取这两种⾷物若⼲并混合，且使混合物中维⽣素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最⼩值为 kg ．6.在ABC ?中，5,4,AB AC ==且12AB AC ?=，设P 是平⾯ABC 上的⼀点，则()PA PB PC ?+的最⼩值是．7.如图，在平⾯四边形ABCD 中，,E G 分别为线段AD 的两个三等分点，,F H 分别为线段BC 的两个三等分点，且4,3,11EF GH EF GH ==?=，则AB DC ?的值为．8.已知函数()()y f x x R =∈满⾜()2(1)f x f x =-+，当[)0,1x ∈时，2()f x x =，若函数4()log (1)(0)y af x x a =-+>恰有个4零点，则a 的取值范围是．9.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点P 为直线:40l kx y -+=上⼀点，点,M N 在圆22:(1)4C x y -+=上运动，且满⾜2MN =，若OM NP =，则实数k 的取值范围是． 10.在斜ABC ?中，若11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最⼤值是．⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 11.如图，已知圆O 的⽅程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点,A B ，与x 轴交于点Q ，设,QA PA QB uPB λ==，求证：u λ+为定值.12. 秸秆还⽥是当今世界上普通重视的⼀项培肥地⼒的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的⼤⽓污染的同时还有增肥增产作⽤．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还⽥，花137600元购买了⼀台新型联合收割机，每年⽤于收割可以收⼊6万元（已减去所⽤柴油费）；该收割机每年都要定期进⾏维修保养，第⼀年由⼚⽅免费维修保养，第⼆年及以后由该农机户付费维修保养，所付费⽤y （元）与使⽤年数n 的关系为：*(2,n )y kn b n N =+≥∈且，已知第⼆年付费1800元，第五年付费6000元．（1）试求出该农机户⽤于维修保养的费⽤()f n （元）与使⽤年数*()n n N ∈的函数关系；（2）这台收割机使⽤多少年，可使平均收益最⼤？（收益=收⼊-维修保养费⽤-购买机械费⽤）13.如图，某机械⼚欲从2AB =⽶，AD =ABEF 加⼯成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的⾯积为()f θ（单位：平⽅⽶）. （1）求()f θ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的⾯积最⼩，并求出最⼩值.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ，（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ?为等腰三⾓形，求椭圆离⼼率的取值范围；（2）在（1）的条件下，当e 取最⼤值时，A 点坐标为(2,0)-，设B M N 、、是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中⼼为原点，过,A F 两点的圆⽅程.15. 已知函数215()ln 24f x ax ax x a =-++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线⽅程；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求12()()f x f x +的取值范围；（3）若不等式()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成⽴，求实数a 的取值范围. 16. 已知等差数列{}n a 与等⽐数列{}n b 是⾮常数的实数列，设{}*,k k A k a b k N ==∈.（1）请举出⼀对数列{}n a 与{}n b ，使集合A 中有三个元素；（2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论；三、解答题17. 已知正六棱锥S ABCDEF -的底⾯边长为2，⾼为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三⾓形，设随机变量X 表⽰所得三⾓形的⾯积.（1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．18. 从集合{}1,2,3,4,5的所有⾮空⼦集中，等可能地取出m 个．（1）若1m =，求所取⼦集的元素既有奇数⼜有偶数的概率；（2）若2m =，记所取⼦集的元素个数之差为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ． 19. 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中,11,3,4,AB AC AB AC B C AC ⊥==⊥．（1）求1AA 的长．（2）若1BP =，求⼆⾯⾓1P AC A --的余弦值．20. 如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点(1,)(0)T t t <到抛物线22(0)y px p =>焦点的距离为2．（1）求,p t 的值；（2）设,A B 是抛物线上异于T 的两个不同点，过A 作y 轴的垂线，与直线TB 交于点C ，过B 作y 轴的垂线，与直线TA 交于点D ，过T 作y 轴的垂线，与直线,AB CD 分别交于点,E F ．求证：①直线CD 的斜率为定值；②T 是线段EF 的中点．试卷答案⼀、填空题4 3.2 4.1023 5.306.658-7. 5 8.4416log 6a <≤ 9.1k ≤12k ≥+10.⼆、填空题11.证明：当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合，从⽽2λ=，23u =，83u λ+=. 当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在.设直线AB 的⽅程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1,0Q k ??-.由题设，得112211,x x x ux k k λ+=+=，即12111,1u x k x kλ=+=+. 所以12121211112x x u x k kx kx x λ++=+++=+ 将1y kx =+代⼊224x y +=，得22(1)230k x kx ++-=，则0?>，12221k x x k +=-+，12231x x k=-+，所以222812331k k u k k λ-++=+=?- ?+综上，u λ+为定值83. 说明①本题亦可设点坐标求解；②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题⽅法类似.12.解：（1）依题意，当2n =，1800y =；5n =，6000y =，即1800260005k b k b =+??=+?，解得14001000k b =??=-?所以*0,1()14001000,2n f n n n n Nπ=?=?-≥∈?且（2）记使⽤n 年，年均收益为W （元），则依题意，2n ≥，[]1600001376001400(23...)1000(1)W n n n=-++++-- 1(1)(n 2)6000013760014001000(1)2n n n -+??=-+?--211372006000013760070030060300(700)n n n n n=-+-=-+6000040700≤-= 当且仅当137200700n n=，即14n =时取等号. 所以这台收割机使⽤14年，可使年均收益最⼤. 13.解：（1）过点F 作FM BE ⊥，垂⾜为M .在Rt FME ?中,2,,2MF EMF FEM πθ=∠=∠=所以22,ME sin tan EF θθ== 故22sin tan AF BM EF EM θθ==-=- 所以1()(AF )2f BE AB θ=+?122242()22sin tan sin sin tan θθθθθ=?-+?=- 据题意，AF BE <，所以2πθ<且当点E 重合于点C时，2,4EF EB FM πθ====所以函数42()sin tan f θθθ=-的定义域为,42ππ??（2）由（1）可知，22224(sin cos )42222()sin tan 2sin cos 2tan2221tan 2f θθθθθθθθθ+=-=--1112tan tan 3tan 222tan tan tan 222θθθθθθ=+--=+≥当且仅当13tan2tan2θθ=时，不等号取等号⼜,,,42284ππθππθ∈∈故tan,2263θθππθ===222sin sin tan BE θθθ===-= 答：当,BE AFABEF 的⾯积最⼩，最⼩值为.14.解：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即22,2,12a a a cc a c a c c c c a-≥+≥+≥+ 2112,210e e e e≥++-≤ 102e <≤（2）当12e =且A(2,0)-时，F(1,0)，故2,1a c ==所以b =椭圆⽅程是：22143x y += 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则222211221,14343x y x y +=+= 由3455OB OM ON =+，得12123434(,)5555B x x y y ++ 因为B 是椭圆C 上⼀点，所以2212123434()()5555143x x y y +++=即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x x y y ++++??+= 1212043 x x y y +=①因为圆过,A F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +-⼜()2222212121212121111()23131224444y y y y y y x x y y +=++=-+-+ ? ???②由①和②得222121212111()3131324442y y x x x x +=-+-+- ? ? ???2123131212()(2)444416x x ??=-+=?-=所以圆⼼坐标为1(,2-故所求圆⽅程为22157(x )(y 2416++±=15.解：（1）当1a =时，215()ln 24f x x x x =-++，故3(1)4f =. 且1'()1f x x x=-+，故'(1)0f = 所以函数()f x 在1x =处的切线⽅程为304y -= （2）由215()ln 24f x ax ax x a =-++，0x >可得211'()ax ax f x ax a x x-+=-+=因为函数()f x 存在两个极值点12,x x ，所以12,x x 是⽅程'()0f x =的两个正根，即2 10ax ax -+=的两个正根为12,x x所以2121240110a a x x x x a =->?+==>?，即1212411a x x x x a ??>?+==所以22121112221515()()ln ln 2424f x f x ax ax x a ax ax x a +=-+++-++ ()()212121212152()ln 2ln 122a x x x x a x x x x a a a =+--+++=-- 令()2ln 1,4g a a a a =-->，故1'()20g a a=->，()g a 在(4,)+∞上单调递增，所以()(4)7ln 4g a g >=-。