一、选择题1．(文)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f ⎝⎛⎭⎫14的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，则4α＝12，α＝－12，即f (x )＝x 12-，于是f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫1412-＝2.1．(理)已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．2．(2013·临沂模拟)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：选D ∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．D 项正确．3．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (0)<f (2)<f (－2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：选C ∵f (1＋x )＝f (－x )， ∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f (0)<f (2)<f (－2)．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A ．－b 2a B ．－baC ．cD.4ac －b 24a解析：选C ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－ba .∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·ba＋c ＝c .5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0 C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)＞0，f (p )＜0，故－1＜p ＜0，p ＋1＞0，所以f (p ＋1)＞0.6．(理)(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－235，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 解析：选C 令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )图象与x 轴在[1,5]上有交点， 则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≥0. 解得－235≤a ≤1.6．(文)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 二、填空题7．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a24c ，解得c ＝9. 答案：98．若二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则a ＋c 的最小值为________． 解析：由已知a >0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c >0.∴a ＋c ≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号， ∴a ＋c 的最小值为2. 答案：29．已知函数y ＝mx 2＋(m －3)x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________． 解析：当m ＝0时，y ＝－3x ＋1，显然成立． 当m ≠0时，要使y ∈[0，＋∞)，只要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(m －3)2－4×m ×1≥0， 解得0＜m ≤1或m ≥9.综上m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)． 答案：[0,1]∪[9，＋∞) 三、解答题10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解：设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝0， 16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0,20a 2－16a －4＝0， 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15，或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15(x －1)(x －3)．11．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．解：∵f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－4a .①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]． 综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，∵f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于 －1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x－x 的最小值为0，－1x－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.故b的取值范围为[－2,0]。
学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质教学内容一. 【复习目标】1.准确理解函数的有关概念.2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.一、幂函数(1)幂函数的定义形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数(2)幂函数的图象函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)例1.下列函数中是幂函数的是（ ）A ．y ＝2x 2B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x例2. (2011·陕西高考)函数y ＝13x的图象是( )例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3B ．0C ．1D ．2练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x －2C ．f (x )＝x 12xD ．f (x )＝12x-设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．二、二次函数1、二次函数的三种形式【1】【2】【3】2.二次函数的图像和性质二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
