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《回归分析》

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第六章 回归分析 引 言 一、变量间的关系 1.确定关系(函数关系) 如∶正方形的面积y与边长x的关系、做匀速直线运动的质点的位移S与时间t的关系等等。 2.非确定关系(相关关系) 例1．作物的单位面积产量y与施肥量x的关系。 例2．人的体重y与身高x的关系。 例3．人的血压y与年龄x的关系。 例4．某种商品(如糖果)的消费量y与居民(按 人口计算)的平均收入x的关系。 共同点∶变量间虽然存在着密切的关系，但从一个变量的每一确定值，不能求出另一变量的确定的值。可是在大量的试验中，这种不确定的联系，具有统计规律性，表现为 yx|的一个确定的概率分布

定义. 设有两个随机变量，对其中某一个变量的每一个可能的值，另一个变量有一个确定的概率分布与之对应。则称这两个随机变量间存在着相关关系。 二、回归分析 1.回归关系 设y与x之间存在着某种相关关系。其中x是可以控制或可以精确观察的变量(如年龄、试验的温度等等)，即，可以随意指定x的n个值nxxx,,,21

。因此视x为普通变量。此时称变量y

对x具有回归关系。 [问题]如何表达变量y对x的回归关系? 回归分析是研究相关(回归)关系的一种数学工具,它能帮助我们从一个变量的取值去估计另外一个变量所取得的值.在各个学科领域得到广泛应用。

2.回归分析要解决的一些问题 设通过试验或抽样调查得到了x和y的一组观察值 ),(,),,(),,(2211nnyxyxyx

利用这些数据研究y与x之间的关系，需解决如下几个问题∶ (1)如何判断y与x间是否存在相关关系(或者回归关系)? ————利用样本数据做y与x的散点图，由散点图的趋势初步判断两者是否有线性关系 (2)如何确定y与x之间的定量关系式(即回归函数)? ——————用最小二乘法 (3)如何对所确定的关系(回归模型)的可信程度作统计检验?——t分布检验法、相关系数r检验法 (4)如何利用所得到y与x的定量关系式(回归模型)来解决实际问题？————对变量进行预测和控制。 下面，将围绕这四个问题展开讨论 §6.1 一元线性回归 设通过试验或抽样调查得到了x和y的一组观察值 ),(,),,(),,(2211nnyxyxyx

利用这些数据研究y与x之间的关系。 一、散点图 利用x和y的一组观察值 ),(,),,(),,(2211nnyxyxyx

在直角坐标系上描点，得到散点图，根据散点图的趋势，来观察x和y是否想直线关系。如果是，可以考虑建立线性回归模型。

例如，下列散点图中，上面两个象直线关系，可考虑对变量x和y建立线性回归模型。

[例1]为研究全国人均国民收入x(元)与人均消费金额y(元)之间的关系，收集到1981—1990年10年的样本数据10,,2,1),,(iyxii如下表∶

年 份 1981 1982 1983 1984 1985 人均国民收入 393 419 461 544 668 人均消费金额 249 267 289 329 406 年 份 1986 1987 1988 1989 1990 人均国民收入 738 860 1069 1169 1251 人均消费金额 451 513 643 699 713

20040060080010001200X200400600Y 0 回归分析解法后面将介绍：

(n10, x757.2, 2xnS909739.6, y455.9,

niiy14559, 2ynS288428.9, niiiyx13963622,

,5623.06.9097394592.7573963622)(2111xniiniiinSyxyxb 126.302.7575623.09.45510xbyb 经验线性回归方程为 xy5623.0126.30ˆ )

二、模型 xy

10 (1) 其中，0、1为常数，x为普通变量，y、为随机变量，满足),0(~2N，即),(~210xNy。 x—自变量，y—因变量，—随机波动项(误差)

于是样本),(,),,(),,(2211nnyxyxyx满足∶

iiixy10，(ni,,2,1) (2) 假设n,,,21相互独立，从而nyyy,,,21

满足独立、正态、

等方差的前提条件。 “确定y与x之间的定量关系式(即回归函数)”的问题归结为“如何在上述假定下确定0、1和”的问题。 [注1]当0、1和已知时，由),(~210xNy可得

01(){||}1yxPU

对可靠性%951，96.1U 于是，y的点估计为xy10ˆ



，

误差限为96.1，y的置信区 间为∶ ]96.1,96.1[1010xx

虚线为y的95%的置信区间控制线

[注2]两类误差 实际问题中0、1

和未知的，要通过观测数据),(,),,(),,(2211nnyxyxyx进行估计。这样用x来预测y时，就面临两类误差∶ (i)所代表的误差—随机误差，由y与x的关系的紧密程度决定，与数据),(iiyx(ni,2,1)无关。 (ii)利用样本),(iiyx(ni,2,1)对0、1和的估计所产生的误差，与数据及数据量的大小有关。

三、最小二乘估计 线性回归模型: xy10

设 00ˆb，11ˆb，则iy的估计值为

iixbby10ˆ，),,2,1(ni

残差∶ )(ˆ10iiiiixbbyyye，),,2,1(ni 残差平方和∶

niiiniiiniiexbbyyyeSS12101212

)()ˆ(

它描述了用线性函数01ˆybbx来近似表示y产生的误差程度。 最小二乘原则∶选取0b和1b使eSS达到最小。按照这种方法确定

的00ˆb和11ˆb叫做0和1的最小二乘估计，这种方法也叫做最小二乘法。  0

和1的最小二乘估计确定

关于0b和1b二元函数eSS的极值在二阶偏导书为0的点取得：

0)1)((21100niiiexbbyb

SS

0))((21101niiiiexxbbyb

SS 



niiiniiniiniiniiyxbxbxybxbn1112011110)()()(

—正规方程

方程两边同除以n得 



niiiniiyxnbxnbxybxb11120101)1( 其解为





niiniiniiniiniiiniiniiixnxyxnyxxxyyxxbxbyb121211112111100)(1)()(1)())((ˆ

ˆ



——0和1的最小二乘估计 称： xbby10ˆ

为y对x经验线性回归方程。

四、2的无偏估计 (1) 2)2(][nSSEe (2) （重要！）记 )2/(2nSSSexy， ----y对x的回归剩余方差 ,显然22.[]yxES，即2yxS为2的无偏估计。 )2/(nSSSexy -----y对x的回归剩余标准差

[注]:简化最小二乘估计的计算步骤 记 niixxxnS122)(，niiyyynS122)( 注意： 2211()nxiiSxxn，2211()nyiiSyyn，表示样本二阶中心矩。不是样本方差，要注意区分。

则

xbybnSyxyxbxniiniii10021111ˆ,)(ˆ

niiiniiiniiexbbyyyeSS12101212

)()ˆ(

2212xynSbnS

， )2/(ˆnSSSexy

a.将nxxx,,,21输入计算器，求出x 和 2xnS

b.将nyyy,,,21输入计算器，求出y、niiy1 和 2ynS

c.将nnyxyxyx,,,2211 输入计算器，求出niiiyx1

d.计算xbybnSyxyxbxniiniii102111,)( e.写出经验线性回归方程 xbby10ˆ

f.计算 2212xyenSbnSSS， )2/(ˆnSSSexy 注:实际上，利用具有回归功能的计算器，输入相关数据后,就可

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《应用回归分析》课后题答案解析

《应用回归分析》课后题答案解析

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《应用回归分析》部分课后习题答案
第一章 回归分析概述
1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？ 答：变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量 唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另 外一个变量的确定关系。
1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？ 答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。区别有 a. 在回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的特殊地位。在相关分析中，变 量 x 和变量 y 处于平等的地位，即研究变量 y 与变量 x 的密切程度与研究变量 x 与变量 y 的密切程度是一回事。b.相关分析中所涉及的变量 y 与变量 x 全是随机 变量。而在回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量也可以 是非随机的确定变量。C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的 密切程度。而回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归 方程进行预测和控制。
1 3
即为：（2.49，11.5）
33，7+2.353 1 3
33）
0
N
(0
,
(
1 n
(x)2 Lxx
)
2
)
t
0 0
0 0
(
1
(
x)2
)
2
1 (x)2
n Lxx
n Lxx
服从自由度为 n-2 的 t 分布。因而
P |
0 0
1 (x)2
| t /2 (n 2) 1
n Lxx页脚源自 ..1330 6.1
3
（5）由于 1
N
(1,
回归分析

回归分析


回归分析的模型
按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归，多元回归 基本的步骤：利用SPSS得到模型关系式，是否 是我们所要的，要看回归方程的显著性检验（F 检验）和回归系数b的显著性检验(T检验)，还要 看拟合程度R2 (相关系数的平方,一元回归用R Square，多元回归用Adjusted R Square)
(Prob(event) <0.5 预测事件将不会发生， > 0.5 预测事件将会发生）
补充：回归分析
以下的讲义是吴喜之教授有 关回归分析的讲义，很简单， 但很实用
定量变量的线性回归分析
对例1(highschoo.sav)的两个变量的数据进行线性回归， 就是要找到一条直线来最好地代表散点图中的那些点。
b0为常数项 b1、b2、…、称为y对应于x1、x2、…、xn的偏回归系数 用Adjusted R2调整判定系数判定一个多元线性回归方程的拟合程度：
用来说明用自变量解释因变量变异的程度（所占比例）
一元线性回归模型的确定:一般先做散点图(Graphs ->Scatter>Simple),以便进行简单地观测（如：Salary与Salbegin的关系) 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方程，若不呈线 性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳 方程式（曲线估计）
关系是否有线性特点
Graphs ->Scatter->Simple X Axis： Salbegin Y Axis： Salary
2. 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性回归模型
Analyze->Regression->Linear Dependent: Salary Independents: Salbegin,prevexp,jobtime,jobcat,edcu等变量 Method: Stepwise
回归分析报告

回归分析报告

回归分析报告回归分析报告回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。

本报告将介绍一项回归分析研究的结果。

本次研究的目的是分析销售额与广告投入之间的关系。

我们收集了一家公司过去12个月的销售额和对应的广告投入数据，通过对这些数据进行回归分析，我们希望了解广告投入对销售额的影响程度。

在进行回归分析之前，我们首先进行了数据的可视化分析。

通过绘制散点图，我们可以直观地观察到销售额和广告投入之间的关系。

图1展示了销售额与广告投入之间的散点图，从图中可以看出两者呈现较强的正向线性关系。

接下来，我们进行了回归分析。

通过拟合线性回归模型，我们得到了相关的统计参数。

模型的拟合结果如下：销售额 = 0.8 * 广告投入 + 100通过对模型的参数进行解释，我们可以得出以下结论：1. 广告投入对销售额有显著的正向影响。

模型中的参数0.8表示，每增加1单位的广告投入，预计销售额将增加0.8单位。

2. 模型中的截距项100表示，在没有广告投入的情况下，销售额预计为100单位。

这可以解释为公司的一些其他因素（如品牌知名度、市场份额等）对销售额的影响。

为了验证模型的有效性，我们进行了残差分析。

残差是指实际销售额与预测值之间的差异。

我们绘制了残差图，如图2所示。

从残差图中可以看出，残差的分布较为平均，没有明显的系统性偏差，说明我们的回归模型对数据的拟合效果较好。

最后，我们还对模型进行了显著性检验。

通过计算模型的F统计量和P值，我们可以判断模型是否显著。

在本次研究中，F统计量为20，P值为0.001，显著性水平设置为0.05。

由于P值小于显著性水平，我们可以认为模型是显著的，即广告投入对销售额的影响是显著的。

综上所述，通过回归分析，我们发现了销售额与广告投入之间的关系，并建立了一个显著的线性回归模型。

我们的研究结果表明，广告投入对销售额有正向的影响，每增加1单位的广告投入，销售额预计增加0.8单位。

这对于公司在制定广告策略和预测销售额方面具有重要的借鉴意义。

回归分析论文

回归分析论文

回归分析论文合肥学院2015－2016第二学期《多元统计分析》课程论文论文题目回归分析姓名陈毅学号 1307021036 专业数学与应用数学（1）成绩2015.5一元线性回归分析及其应用摘要应用一元线性回归分析南极站CAPETOWN68816从1901年到1960年这60年一月份的温度，根据最小二乘法的原理，采用SAS 统计软件进行数据的处理,拟合出年份与温度间的线性关系。

分析软件运算的结果，最终得到实际的一元线性关系。

关键词温度与年份 一元线性回归 t 检验一、 线性回归理论 （1）一元线性回归模型其中0β，β为模型参数，ε为随机误差项，X 是自变量，Y 是因变量。

对（X ，Y ）进行观察，得到n 组样本观测值n i y x i i ,,2,1,, =）（，则有i i y εββ++=10，其中1β为x 对y 的线性影响而形成的系统部分，反映两变量的平均变动关系，即本质特征，i ε为随机干扰：各种偶然因素、观察误差和其他被忽视因素的影响。

（2）最小二乘估计参数β的最小二乘估计量βˆ使误差平方和)(βQ 达到最小，即)(min )ˆ(βββQ Q = 其中正规方程： ，若X X '可逆， 经验回归方程： 201,()0,()ββεεεσ=++==Y X E Var 2201111ˆˆ()min ()()()()()nni i i p ip i i Q Q Q Q y x x y X y X βββββββεβββεεββ=====----''==--∑∑参数的最小二乘估计量使误差平方和()达到最小，即其中1ˆˆ()XX X y X X X X X y ββ-''='''=正规方程：若可逆，1ˆˆ()X X X y X X X X X y ββ-''='''=正规方程：若可逆，011ˆˆˆˆβββ=+++p pY X X回归拟合值和残差：回归拟合值 ： 拟合向量： 残差值： 残差向量：（3）最小二乘估计的性质（4）回归方程的显著性检验212121ˆˆ∑∑∑===-+-=-ni i ni i ni iyy y y y y ）（）（）（011ˆˆˆp py x x βββ=---ˆi y 11ˆˆ()ˆˆ(,,)n y X X X X X y Hy y yβ-''==='=11ˆˆ()ˆˆ(,,)n yX X X X X y Hy yyβ-''==='=ˆˆi i i y y ε=-ˆˆ()y X I H y εβ=-=-ˆ0ˆ0,1,,ˆˆ0i i i ij i x j py εεε⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪'=⎩∑∑21ˆˆ1.E(),Var()()X X βββσ-'==ˆ2.BLUE .是的最优线性无偏估计量()ββ2ˆˆ3.()ˆˆˆˆE()0,Var()(),Cov(,)0y X I H y I H εβεεσβε=-=-==-=残差向量满足22ˆˆESS ˆ4.11是的无偏估计n p n p εεσσ'==----ˆ222ˆ()ˆ(()())ˆ()()()---====---∑∑∑∑∑i yy iiiyy y y y y MSS R r TSSy y yy y y复相关系数：决定系数2R ： 2aR ：即修正的2R线性模型回归的检验：方差来源 平方和 自由度 F 值 回归 误差 总计RSS ESS TSSp n-p -1 n -1回归系数检验：二、问题提出与分析下表为南极南部海洋站CAPETOWN68816从1901年到196021==-MSS ESSR TSS TSS22/(1)111(1)/(1)1---=-=-----a ESS n p n R R TSS n n p 012:0p H βββ====22112220122,~(0,)ˆ1~(,())(2)~(1)ˆ(3)(4):0,~()n p p y =X N I N X X ESSn p ESS MSSH p βεεσββσχσββββχσ-++'--====定理：在模型下，有（）与相互独立成立时/()/(1)=--MSS p F ESS n p 0,~(,1)/(1)(,1),.若成立若则拒绝原假设α=---->--H F F p n p ESS n p F F p n p 0:0i H β=21ˆ~(,),()()i i ii ij N c X X l ββσ-'=其中2ˆ~(1,1)/(1)ii ii F F n p l ESS n p β=----年这60年一月份的温度，建立建立SAS数据文件,探讨年份与温度的关系。